基于田口法和MOPSO算法的PMSM轉矩優化設計

曹 敏，楊國龍

(1.廣東海洋大學 寸金學院，湛江 524000；2.湛江幼兒師范專科學校，湛江 524000)

0 引 言

永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)具有結構簡單、控制方便、功率密度較高等特點，被廣泛應用于精密儀器上，包括機床、機器人、醫學器材等設備[1-4]。對于PMSM來說，為了提高控制的高效性以及精度和力度，需要提高電機電磁轉矩的各類參數，對電機的電磁轉矩進行優化。國內外專家學者對電機電磁轉矩優化提出了各類方法，包括優化定子槽型結構、優化轉子磁鋼結構以及優化槽極配合等。

文獻[5]針對機床用直接驅動力矩電機的要求，設計一種不等定子齒頂部寬度的結構，并結合轉子斜極的措施，提高了繞組利用系數，抑制了電磁轉矩的波動程度。文獻[6]對于電機的轉矩脈動系數，采用了最小二乘法支持向量機與粒子群優化算法相結合的方式，對影響電機轉矩脈動的相關系數進行了尋優分析，并利用有限元軟件進行仿真驗證。文獻[7]采用了三維有限元仿真方法對軸向磁通永磁同步電機進行仿真分析，通過改變徑向極弧系數，有效地削弱電機的齒槽轉矩和電磁轉矩波動。文獻[8]采用解析法推導了氣隙磁場與電磁轉矩的計算模型，以電磁轉矩參數與齒槽轉矩參數作為目標，采用多目標優化方法進行優化分析，并采用有限元方法進行驗證。文獻[9]分析了電動汽車用集中繞組電機的力矩波動較大的原因，針對電機起動時的起動性能問題以及高速運轉的轉矩波動問題，對轉子結構進行了設計分析和優化。

本文針對PMSM的電磁轉矩進行優化，以起動轉矩幅值、電磁轉矩穩定值以及轉矩波動系數為目標變量，以磁鋼厚度、極弧系數、磁鋼偏心距、定子槽口寬度為參數，以Taguchi法安排了各個參數的不同水平的合理搭配，并采用有限元軟件仿真分析得到各不同搭配的電磁轉矩的參數，并以此作為樣本數據集合進行函數擬合，最后采用多目標粒子群優化算法(以下簡稱MOPSO算法)進行尋優得到最優解，并用有限元軟件進行驗證分析。

1 PMSM電磁轉矩產生機理分析

對于PMSM來說，當定子繞組中通以對稱三相電流，定子磁場與位于轉子上的磁鋼產生的永磁體磁場相互作用，從而產生了電磁轉矩。假定當鐵心處于不飽和狀態且轉子無阻尼繞組的影響，可以得到d,q坐標系下的PMSM的電壓方程與磁鏈方程[10-12]：

(1)

(2)

式中：ud與uq分別為d軸與q軸電壓；id與iq分別為d軸與q軸電流；ψd與ψq分別為定子直、交軸磁鏈；Ld與Lq分別為定子直、交軸電感；r1為定子繞組相電阻；ψf為永磁體基波磁場在定子繞組中產生的磁鏈。

則PMSM的電磁轉矩可以表示：

Te=p[ψfiq+(Ld-Lq)idiq]

(3)

理想狀況下，定子電流與反電動勢都是正弦波，且氣隙磁場與永磁體磁場諧波含量很少時，電磁轉矩幾乎為恒定值。而事實上，由于氣隙磁場諧波與永磁體磁場諧波的存在，電機的電磁轉矩不可避免地含有大量的諧波分量，且不同諧波分量的電動勢與電流會相互作用產生紋波轉矩。另外，對于永磁電機的特殊結構來說，當定轉子相對運動時，磁鋼兩側對應的小段氣隙的區域內，磁導變化較大，引起磁場儲能變化，從而產生齒槽轉矩[13-14]，故其電磁轉矩表達式:

Te=Tavg+Tcog+Thar

(4)

式中：Tavg為穩定平均電磁轉矩；Tcog為電機齒槽轉矩；Thar為紋波轉矩。

對于紋波轉矩，假設磁場不飽和，定子繞組Y型鏈接無中線且空間分布三相對稱，則感應電動勢中無3次諧波，以5次、7次諧波為主，并假設相電流為正弦波，則穩定平均電磁轉矩和紋波轉矩表達式[14]：

(5)

式中:E1,E5,E7分別為基波、5次、7次諧波相電壓幅值；I1為基波相電流幅值；Ω為機械角速度；φ為定子相電流與相電壓的相位差。

由式(5)可以看出，感應電動勢的基波與相電流相互作用產生穩定平均電磁轉矩Tavg，而感應電動勢的諧波分量，則會與相電流產生紋波轉矩Thar。

齒槽轉矩表現為電樞繞組不通電時，定轉子相互作用產生的電磁轉矩，其表達式[2]：

(6)

式中：La為定子鐵心軸向長度；R1與R2分別為定子內半徑與轉子外半徑；n為使nz/(2p)為整數的整數。

2 Taguchi法分析與函數擬合

2.1 PMSM有限元模型建立

本文以一款36槽8極PMSM為例，進行仿真分析，其相關基本參數如表1所示。根據表1數據，利用有限元軟件ANSYS Maxwell 2D建立PMSM有限元模型，如圖1所示，其仿真分析得到的電磁轉矩曲線如圖2所示。由圖2可知，起動轉矩幅值Tmax為900.608 2 N·m，按照電機穩定運行時間段內計算電磁轉矩穩定值Tavg以及轉矩波動系數Krip，其值分別為373.606 0 N·m以及2.825%。

表1 PMSM初始相關參數

圖1 PMSM初始有限元模型

圖2 PMSM電磁轉矩曲線

2.2 Taguchi法實驗設計與分析

本文采用磁鋼厚度、極弧系數、磁鋼偏心距、定子槽口寬度為參數，以起動轉矩幅值、電磁轉矩穩定值以及轉矩波動系數為目標變量，對PMSM電磁轉矩進行優化。按照電機的實際工藝情況，各尺寸參數取值范圍：

(7)

式中：h,αp,O,B分別為磁鋼厚度、極弧系數、磁鋼偏心距、定子槽口寬度。

采用Taguchi法對各個變量正交實驗，即不同因素水平進行合理的組合搭配，給出因素水平表如表2所示，可以看出,每個變量皆含有4個水平。按照正交表的要求，選定L16(45)正交表，去除第五列后采用，則可得其實驗搭配及順序如表3所示。利用有限元軟件仿真分析不同參數水平搭配下的電磁轉矩目標變量，即Tmax，Tavg，Krip如表3后三列所示。

表2 參數水平表

表3 正交設計表

2.3 目標函數擬合

以表3為樣本數據，采用最小二乘法對Tmax,Tavg,Krip的函數進行擬合，擬合結果如下：

Tmax=-17.65+119.13h+370.74αp+

16.01O+49.32B+4.35hαp-1.91hO-

0.93hB-7.10αpO+12.10αpB-2.10OB

Tavg=-28.73+43.55h+229.33αp+11.26O+

4.72B-11.72hαp-1.44hO+8.33hB-

2.27αpO-5.46αpB-1.78OB

Krip=5.65+1.76h-1.16αp-0.17O-

2.79B+0.07hO+1.11αpB+0.19OB

其方差分析如表4～表6所示。對Tmax,Tavg,Krip擬合函數進行方差分析，其決定系數為0.996 2、0.989 9、0.856 7，大于0.85，說明參數對于目標函數的解釋程度高，變量之間關系顯著，且三個擬合函數的回歸分析的P值皆小于等于0.1，說明模型顯著性較強，擬合程度較高，統計學意義明顯。

表4 Tmax函數方差分析

表5 Tavg函數方差分析

表6 Krip函數方差分析

3 MOPSO算法尋優與有限元驗證

3.1 MOPSO算法尋優

粒子群優化算法是模擬大自然中鳥類覓食的行為而構建的一種人工智能算法，其根據粒子的移動位置以及移動方向、速度進行尋優。對于MOPSO算法來說，算法的運算結果及其執行效率很大程度上依賴于Pareto最優解的質量，衡量質量的方面包括解的多樣性和均衡性，求解Pareto最優解的過程就是在各種指標之間平衡的過程[15-18]。MOPSO算法的步驟如下:

(1) 種群粒子初始化，包括初始化粒子速度與位置；

(2) 計算粒子適應度，按照支配關系計算非支配解集；

(3) 更新外部檔案集的解，并刪除部分質量差的解；

(4) 更新Pbest粒子，根據Pareto支配關系進行粒子更新；

(5) 在外部檔案集中選擇一部分粒子作為Gbest；

(6) 更新粒子中屬性，即位置與速度；

(7) 迭代與終止。

按照MOPSO算法，設置粒子個數為30個，迭代次數為5 000次，對Tmax，Tavg，Krip的函數進行多目標尋優。尋優目標為Tmax和Tavg最大且Krip最小，參數取值范圍如式(7)所示。

尋優結果如圖3所示。可以看出，Tmax的解區間位于944.971 1N·m～962.073 9N·m之間，Tavg的解區間位于391.947 6N·m～398.783 4N·m之間，Krip解區間位于1.454 6%至1.682 9%之間。按照起動轉矩幅值較大、電磁轉矩穩定值較大以及轉矩波動系數較小的原則，對Pareto解空間進行篩選，選取參數：h=4.688 8mm；αp=0.899 0；O=16.539 9mm；B=2.7830mm，則其對應的Tmax,Tavg,Krip分別為962.0739N·m，398.7834N·m，1.4546%。

(a) 三維空間分布

(b) Tmax與Tavg

(c) Tavg與Krip

(d) Tmax與Krip

3.2 有限元驗證

對MOPSO算法得出的解，通過有限元方法進行驗證分析。將磁鋼厚度h、極弧系數αp、磁鋼偏心距O、定子槽口寬度B分別取值為4.68mm、0.89、16.53mm、2.78mm，并建立PMSM有限元模型進行仿真分析，結果如圖4所示。可以看出，起動轉矩幅值為962.103 9N·m，相較于優化前上升了6.83%；電磁轉矩穩定值為398.938 4N·m，相較于優化前上升了6.78%；轉矩波動系數為1.545 6%，相較于優化前下降了45.28%。以上分析結果與MOPSO算法得出的結果相近，驗證了該算法在電機電磁轉矩優化方面的有效性。

圖4 優化前后PMSM電磁轉矩曲線

4 結 語

本文針對于PMSM的電磁轉矩要求，以一款36槽8極PMSM為例，進行優化設計，以起動轉矩幅值、電磁轉矩穩定值以及轉矩波動系數為目標變量，以磁鋼厚度h、極弧系數αp、磁鋼偏心距O、定子槽口寬度B為參數，利用Taguchi法安排了正交實驗進行仿真分析，并利用最小二乘法進行了擬合，對擬合函數進行了方差分析，擬合模型較優，解釋程度較高。采用MOPSO模型對3個目標變量進行尋優，得到的結果利用有限元軟件進行仿真驗證，仿真結果驗證了基于Taguchi法的MOPSO算法的有效性與準確性。