圓柱側面積的公式推導及應用

趙福章

摘?要：小學學習時期屬于九年義務教育的范疇，而六年級則是小學生涯中最為關鍵的一學年。其中，數學是大多數學生比較薄弱的一門學科，相較于其他學科，數學需要運用理性和數學思維去思考問題，比較注重思維邏輯內在的連貫性。在人教版的數學教材中，六年級下冊的第三章將會學習到《圓柱與圓錐》的相關知識。在學習圓柱知識時，教師在講臺上奮力地講解圓柱側面積的公式推導，由于許多學生沒有立體幾何圖形的空間概念，缺乏空間想象能力，對該類知識的掌握十分欠缺。

關鍵詞：六年級數學;圓柱側面積;公式推導應用

一、引言

低年級學生最初接觸的是正方形、長方形、圓等平面圖形，從最基礎最常見的圖形開始學習，讓學生對圖形有了初步的了解和認識。到較高年級時，學生會進行正方體、長方體等立體幾何圖形的學習，到六年級會學習圓柱、圓錐等知識，由淺顯到深層，逐步加深學生對幾何圖形的學習。圓柱知識的學習，對學生來說是一道門檻，不少學生不知道如何求解圓柱的側面積，更不用說運用公式來解決實際應用題。本文將從圓柱側面積公式的重要性進行闡述說明，進而提出幾點可行性措施用于圓柱側面積公式推導及應用的課堂教學，幫助六年級學生輕松掌握圓柱知識。

二、圓柱側面積公式的重要性

（一）進一步認識圓柱體

由于學生之前學習過圓的各種知識，能夠明確區分圓的半徑、直徑，也會運用公式求解圓的周長和面積，那么進行圓柱知識的學習時可能比較容易理解，而圓柱的側面積公式，是學習圓柱知識必不可少的一環。圓柱是由兩個底面和一個側面組成的，兩個底面都是平面圖形圓，這一點學生通過肉眼能直接觀察到，不需要教師多加贅述。但是，圓柱是一個立體圖形，其側面是曲面的，不是學生認知里的平面圖形，通過學習圓柱的側面積公式，學生將能進一步認識圓柱體，培養學生的空間想象能力。

（二）為學習立體幾何圖形奠定基礎

圓柱的側面積公式的學習與認識，直接影響到學生對圓柱表面積知識的學習。如若學生只是單純依靠背公式解決問題，不能很好地理解圓柱側面積公式的求解方法，將會對后面圓柱表面積、體積的求解以及圓錐的學習產生不良影響。只有充分理解圓柱側面積公式的推導過程，才能對立體幾何圖形有一個空間概念，在腦海中構建立體圖形的三維模擬圖，培養立體幾何的形象思維，為今后學習其他立體幾何圖形奠定基礎，甚至為中學立體幾何的證明求解作好鋪墊。

（三）解決實際應用題

關于圓柱這一章的數學內容，在課后題以及考試測試題中，不可能單純地考查一個圓柱側面積公式，而是運用公式知識，靈活變通地解決實際應用題，甚至運用數學知識解決現實生活中遇到的問題。此外，圓柱側面積公式與圓柱表面積公式有著密切聯系，只有先掌握好側面積公式，才能深入學習圓柱的其他知識，在解答圓柱實際應用題時才能輕松自如地寫下正確答案。

三、圓柱側面積公式推導及應用的課堂教學

（一）借助多媒體，激發學習興趣

由于圓柱是立體圖形，教材書本的圖畫是平面構圖的，學生對圓柱體沒有直觀形象的認識，看到的只是課本上枯燥的文字內容。教師在進行圓柱這一章節的講授時，可以借助多媒體等教學設備，播放一些生活中常見的圖片，讓學生指出哪些地方是由圓柱體組成的，然后把圓柱體底面、側面等各組成部分，引導學生一一對應，在和諧歡快的氛圍下輕松學習圓柱的基礎知識，對圓柱各組成部分有一個充分的了解。此外，教師可以借助教室內的幾何模型向學生進行展示，讓學生用肉眼看到圓柱的側面是曲面的，認識到其求解方式與圓柱底面是不同的，激發學生對新知識的好奇心，然后逐步引導學生自主參與到側面積公式推導的教學活動中，在推導過程中加深對公式的理解，讓學生不光知道側面積公式是什么，還要知其所以然。

（二）引導學生動手制作，加深理解

只是聽教師講解，學生腦海中可能沒有圖形的立體空間概念，這就需要教師培養學生的動手能力，讓學生親自動手制作一個圓柱體。要知道圓柱是一個旋轉體，是由一個長方形或正方形，以某條邊為軸，由線帶面旋轉而成。學生制作圓柱底面只需確定底面圓的半徑再借助圓規等工具就能完成。難點是圓柱的側面的制作，教師先用剪刀把一個半徑r為5cm，高h為10cm的圓柱模型分解開，讓學生清楚地看到模型分解出兩個圓和一個長方形，學生驚嘆圓柱的側面竟然是一個四邊形，這時學生提出疑問：“如何才能制作側面來與圓柱底面相匹配？”這時，教師把剛才分解出的長方形圍成圓筒，置于底面上方，引導學生思考底面圓的周長與長方形之間的關系，學生不難發現用長方形圍成的圓筒與底面圓恰好一致，然后展開圓筒，學生認出這是長方形的長邊，自然就能得出分解出的長方形的長等于底面圓的周長，長方形的寬則與圓柱的高一樣。現在已知長方形的面積=長×寬，長方形的長=底面圓的周長=2πr，長方形的寬=圓柱的高=h，那么圓柱側面積=底面周長×高=2πrh。在學生明白側面積公式的推導過程后，引導學生來制作屬于自己的圓柱，學生可以選擇一個任意的半徑，在制作側面時需要學生自己動手計算出側面展開圖的長和寬，在實踐中加深對圓柱側面積公式的理解。

（三）借助公式解決應用題

學生明白圓柱側面積公式的推導過程后，需要一些課后的應用題來加深記憶鞏固知識。例如，在這樣一道課后練習題中：一臺壓路機的前輪是圓柱形，輪寬2m，直徑1.2m。前輪轉動一周，壓路的面積是多少平方米？學生初次讀題，需要找出的關鍵點是“前輪是圓柱形”，根據已給條件和問題之間的聯系可以知道，該題需要用到圓柱側面積公式，其中學生要明白所給的“輪寬”就是圓柱體的高。首先借助所給直徑求出輪的周長，然后通過計算周長與輪寬的乘積得出前輪轉動一周的側面積，也就是問題中所問的“壓路面積”。只有學會分析具體問題，選用合適的定理公式，才能運用所學知識解答出實際問題。

四、結束語

通過輕松有趣的教學活動，激發學生對圓柱知識學習的興趣，充分調動學生學習的主動性，讓學生從被動地接受知識轉變為主動參與到學習活動。教師應當注重對學生立體空間想象能力的培養，讓學生在實踐活動中加深對所學知識的了解，學生只有清楚公式推導的來龍去脈，才能應用到實際問題中去。

參考文獻：

[1]任新玉. 讓圓柱側面"展開"得慢一些——"圓柱的表面積"磨課札記[J]. 新課程（中），2017（2）.

[2]吳國和. 巧用圓柱側面積與體積的關系解題[J]. 讀寫算：小學高年級，2017，000（003）：P.41-42.

[3]梅紅. 在操作中探究，在推理中計算——以蘇教版六年級下冊"圓柱體側面積"為例[J]. 數學教學通訊，2019，000（028）：P.32-33.

（貴州省遵義市桐梓縣夜郎鎮中山小學）