構(gòu)建探究思路 培養(yǎng)推理能力

王桂華 余文奇

推理是得出數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證。培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，既是落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。七年級(jí)下冊的《平行線的性質(zhì)》是學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的第一次系統(tǒng)研究，也是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的好素材。筆者以此內(nèi)容的教學(xué)為例，談?wù)劤踔猩鷶?shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。

一、不同推理形式的交融使用

教學(xué)中，教師要結(jié)合具體的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生選用不同的推理形式。

探究平行線的性質(zhì)1（兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等）時(shí)，由于難以找到已有命題或結(jié)論做基礎(chǔ)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用操作確認(rèn)的方式，通過歸納推理得到這個(gè)性質(zhì)。有了性質(zhì)1做基礎(chǔ)，在探究平行線的性質(zhì)2（兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等）時(shí)，學(xué)生可以同時(shí)采用兩種推理形式進(jìn)行探究，體驗(yàn)不同推理方法的特點(diǎn)。在探究平行線的性質(zhì)3（兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）時(shí)，有了性質(zhì)1和性質(zhì)2做起點(diǎn)，學(xué)生可以直接運(yùn)用演繹推理來解決問題。

在這個(gè)過程中，學(xué)生結(jié)合具體的問題選用不同的推理方式，能感悟到推導(dǎo)結(jié)論時(shí)，要針對(duì)具體問題，看是否有恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論或命題作為起點(diǎn)。如果有，就選擇演繹推理;如果沒有，就選擇合情推理。還有的時(shí)候可以猜想出結(jié)論，再通過演繹推理進(jìn)行論證。

二、經(jīng)歷完整的推理過程，掌握基本的推理方法

不同的推理都有其基本的方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程，感悟每種推理形式的基本方法，積累推理經(jīng)驗(yàn)。

1.經(jīng)歷過程，掌握歸納推理的基本方法

歸納推理是以特殊的知識(shí)為前提推出一般性結(jié)論，應(yīng)該通過一類或一些“特例”發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不能簡單地以一個(gè)特例得出結(jié)論。

如建構(gòu)“平行線的性質(zhì)1”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道了平行線的判定，以此作為起點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)以下三個(gè)步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程。

第一步，獨(dú)立操作，通過一個(gè)特例，初步舉證。課件出示圖1。

學(xué)生猜測出同位角相等后，選用不同的方法進(jìn)行驗(yàn)證。此時(shí)，每位學(xué)生都只選用了一種方法或圖形進(jìn)行驗(yàn)證。這個(gè)過程中，雖然每位學(xué)生只有一個(gè)特例，但是這個(gè)特例能讓學(xué)生初步體會(huì)到自己的猜想是正確的。

第二步，全班展示，分享一些特例，進(jìn)行歸納。在小組內(nèi)交流驗(yàn)證方法的基礎(chǔ)上全班展示：有的學(xué)生用度量的方法，用量角器進(jìn)行測量;有的學(xué)生畫出同位角后，通過剪紙，采用疊合法進(jìn)行比較;還有的學(xué)生運(yùn)用圖形計(jì)算器畫圖，顯示出同位角相等，而且每位學(xué)生的圖形不同。在此過程中，雖然每位學(xué)生都只驗(yàn)證了一組同位角（個(gè)例）的關(guān)系，但是對(duì)于全班學(xué)生來說，所有的特例都有一個(gè)共同規(guī)律——同位角相等。由此可以歸納出性質(zhì)1。

第三步，方法類推，探究一類特例，確認(rèn)結(jié)論。學(xué)生小組合作，改變截線的位置，確認(rèn)結(jié)論。學(xué)生可能作出多個(gè)圖形，分別通過度量驗(yàn)證，也可能使用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件的相關(guān)功能讓截線運(yùn)動(dòng)起來，發(fā)現(xiàn)不管怎樣改變截線的位置，同位角的大小不變的數(shù)量關(guān)系。

這三個(gè)步驟，由特殊到一般，讓學(xué)生體會(huì)到依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。

2.經(jīng)歷過程，感悟演繹推理的關(guān)鍵要素

演繹推理的關(guān)鍵要素是邏輯的起點(diǎn)、推理的形式、結(jié)論的表達(dá)。在教學(xué)過程中，教師要啟發(fā)學(xué)生選用恰當(dāng)?shù)氖聦?shí)和命題作為推理的起點(diǎn)，用合理的形式進(jìn)行推理，并正確地表述推理結(jié)論，從而感受推理要有理有據(jù)，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硭季S。下面是某節(jié)課教學(xué)平行線的性質(zhì)2的部分片段。

師：我們通過動(dòng)手操作，歸納得到了平行線的性質(zhì)1。你打算采用什么方法來研究內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)系呢？

生1：還是用研究同位角的方法，用測量來研究。

師：有沒有不同的想法呢？

生2：因?yàn)橹白C明過“兩直線平行，同位角相等”，能不能用這條性質(zhì)來證得“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”。

師：非常好！用已知的或者已經(jīng)解決的問題的結(jié)論研究去解決新遇到的問題，是我們在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常用到的方法。

在此，教師沒有直接要求學(xué)生進(jìn)行演繹推理，而是讓他們選擇合適的方法。通過交流，學(xué)生感受到，現(xiàn)在有結(jié)論可用了，可以進(jìn)行演繹推理，從而形成了演繹推理的一般認(rèn)知，也就是要有基本的邏輯起點(diǎn)，才能進(jìn)行演繹推理。教師在黑板上完整地呈現(xiàn)問題：如圖2，直線a∥b，c為截線，能推出∠1和∠2的關(guān)系嗎？全班學(xué)生獨(dú)立推理，一名學(xué)生板演。

板演的學(xué)生在圖2中補(bǔ)充上∠3，得到圖3，再進(jìn)行推導(dǎo)。他直接將∠2=∠3作為條件，再由對(duì)頂角相等得到∠1=∠3，最后推出∠2=∠3 。

很明顯，這位學(xué)生的推理出現(xiàn)了兩個(gè)邏輯錯(cuò)誤：一是邏輯起點(diǎn)的錯(cuò)誤，忽略了兩條直線平行是∠2=∠3成立的條件;二是推理結(jié)論的錯(cuò)誤，本次是要推導(dǎo)內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)系，得到的結(jié)論卻是同位角相等。針對(duì)學(xué)生的板演，教師引導(dǎo)學(xué)生辨析、交流，讓學(xué)生感悟到∠2=∠3是在“a∥b”的條件下推理得到的，要將條件和結(jié)論完整呈現(xiàn)，并逐步分析推理過程，得到內(nèi)錯(cuò)角∠1=∠2的正確結(jié)論。這樣就清晰、簡潔、正確地呈現(xiàn)了性質(zhì)2的推理過程。

3.注重多種推理語言的轉(zhuǎn)換，提升推理表達(dá)能力

推理表達(dá)的形式是多樣的，有文字語言、符號(hào)語言及圖形語言。教師在教學(xué)中，一方面要注重引導(dǎo)學(xué)生用不同的形式表達(dá)同一結(jié)論;另一方面，不管哪種語言，都要規(guī)范、簡潔。

如上所述，在推理性質(zhì)2時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用四種不同的語言進(jìn)行推理表達(dá)。首先是圖形表達(dá)（如圖2），接著是符號(hào)語言表達(dá)（如上述推理過程）。在學(xué)生用符號(hào)語言簡潔、清晰地表達(dá)出推導(dǎo)過程后，教師引導(dǎo)學(xué)生口頭表述，將符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為文字語言進(jìn)行表述：因?yàn)橹本€a平行于直線b，所以同位角∠2等于∠3;又因?yàn)椤?和∠3是對(duì)頂角，所以∠1等于∠3;因?yàn)椤?等于∠3，∠1也等于∠3，等量代換，所以∠1等于∠2。這個(gè)過程將符號(hào)語言具體化，讓學(xué)生深刻理解了符號(hào)語言表達(dá)的內(nèi)涵。最后，教師要求學(xué)生用文字語言表達(dá)。在學(xué)生表述出“如果兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等”后，教師進(jìn)行規(guī)范板書：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

在不同語言的轉(zhuǎn)化過程中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從直觀到抽象、具體到一般的轉(zhuǎn)化，溝通了各種表達(dá)形式之間的聯(lián)系，提升了推理表達(dá)能力。

（作者單位：黃岡師范學(xué)院）

責(zé)任編輯? 張敏