例談不等式部分易錯題型及解法探討

◎ 王艷青

不等式是高中數學的重要內容，在高考中很多時候會結合數列或導數以壓軸題的形式出現，并且其在填空題和選擇題中占有不少分值。下面筆者將以四類易錯題型為例，對其解法進行探討，力求為高中數學不等式教學提供有益的理論借鑒。

一、端點取舍類問題

利用命題的充分必要條件求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象。

實例分析1.若關于x的不等式|x-1|

此題常用數軸法求解，大部分學生會這樣做：由題意知0 3，由此選C。但本題的正確不等式組的寫法是，正確答案是D。產生錯誤的原因：沒有注意區間端點值的檢驗，如果學生注意了端點值的取舍，就會舉一反三，從而獲得準確答案。若把不等式“|x-1

二、基本不等式類問題

利用基本不等式求最值，使用前提是必須同時滿足“一正，二定，三相等”。

學生的第一反應就是利用基本不等式解得最小值為2，判斷選正確，本題的正確答案是判斷為錯誤。產生錯誤的原因：忽略了使用基本不等式的前提是要滿足a>0,b>0。

實例分析3.若不等式x2+ax+1 ≥0 對一切成立，則a的最小值為( )。A.0，B.-2，C.。此題學生首先分離參數a，得到，然后令，利用基本不等式求函數，由此得出a≥2，得出錯解B，本題正確的答案是C。產生錯誤的原因：學生沒有考慮到使用基本不等式的前提為當且僅當“a=b”時，“＝”成立。而本題當且僅當“時，解得x=±1 不在的范圍之內，所以“＝”不成立，本題不能利用基本不等式求解，可以使用其他方法，如利用二次函數圖像，通過數形結合對a進行分類討論求解。

三、參數不等式類問題

參數不等式是解不等式中比較難的一種題型，解決參數不等式的關鍵是對不等式中的未知參數進行具體分析，高中數學教師要引導學生形成分類討論的數學思維，要向學生強調討論結果必須涵蓋所有的情況，做到不重不漏。

實例分析4.對任意的實數x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4 <0 恒成立，求實數a的取值范圍。A.(-∞,2)，B.(-∞,2 ]，C.(-2,2)，D.(-2,2 ]。對任意的x，y<0 恒成立，所以函數的圖像開口向下，圖像都在x軸下方，這告訴我們圖像與x軸沒有交點，所以滿足，得到-2

實例分析5.解關于x的不等式ax2-2 ≥2x-ax(x∈R)。第一步，需要先對二次項系數進行討論。(1)當a=0 時，原不等式化為x+1 ≤0，解得x≤-1。(2) 當a>0 時，原不等式化為，解得或x≤-1。(3)當a<0 時，原不等式化為。第二步，再比較(相應方程)根的大小，當，即a<-2 時，解得，即a=-2 時，解得x=-1 滿足題意；當，即-2

四、高次不等式類問題

學生在求解高次不等式的解集時往往無從下手，主要原因是未掌握“穿針引線法”的函數升降規律。

實例分析6.求不等式(x+1)(x-2)(x-3)>0的解集。教師可以引導學生先求出不等式對應方程的三個根x1=-1,x2=2,x3=3，利用三個根把區間分成四個部分，再利用穿針引線法，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根，教師注意引導學生在草稿紙上標注好代表不等式大于零的區域以及小于零的區域，可以通過正負號表示出來。本題大于零的區域為，小于零的區域為，所以本題不等式的解集為。若兩個解都是同一個數字，如，那么穿的時候不要透過根1，口訣為“自上而下，從右至左，奇次根一穿而過，偶次根一穿不過”。

五、結束語

不等式雖然是高中數學的重難點，但是只要我們肯對不等式易錯題型進行歸納與總結，并針對性地進行解法探討，就能掌握不等式一般題型的解題方法，有效提高學生的解題正確性，建立較完善的數學知識結構。高中數學教師要在教學過程中不斷總結經驗，汲取教訓，提高不等式易錯題型及解題探究教學水平。