基于無味變換的邊坡可靠性分析

向子林　許曉亮　黃聞捷　陳將宏

摘 要：巖土工程不確定性問題是近年研究的熱點之一，以邊坡可靠性分析為出發(fā)點，通過介紹無味變換原理，給出基于無味變換的邊坡可靠性分析方法及實施步驟，借助已有研究中的均質邊坡和分層邊坡算例，探討了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的合理性和適用性，結果表明：基于無味變換原理開展邊坡可靠性分析可不依賴于變量的分布類型，應用方便且計算效率高;在分析可靠性較高的邊坡時，由于失效概率量值較小，引起的相對誤差較大，應謹慎選擇，但對于工程上更為關注的可靠性較低（較高失效概率，Pf>7%）的邊坡，與蒙特卡洛方法相比，基于無味變換方法的計算結果相對誤差約在5%以內，且變量相關系數(shù)的變化引起的誤差波動較小，適用性較好。

關鍵詞：邊坡;可靠性分析;無味變換;抗剪強度參數(shù);相關性;失效概率

中圖分類號：TU457? ?文獻標志碼：A ??文章編號：2096-6717（2021）02-0076-08

Abstract： The uncertainty problem of geotechnical engineering is one of the research hotspots in recent years. The slope reliability analysis is a foundation.According to the principle of unscented transformation，the analysis methods and implementation steps of slope reliability are given.Based on the existing examples of the homogeneous slope and the layered slope， the rationality and applicability of slope reliability analysis method based on unscented transformation are discussed. The results show that the reliability analysis of slope based on the unscented transformation does not depend on the distribution types of variables，and this method is convenient in application and efficient in calculation. When the slope with higher reliabilityis analyzed，a large relative error is caused because the value of failure probability is small.Therefore， the method should be chosen carefully.But for the slope with lower reliability （higher failure probability，Pf>7%） is more concerned in the engineering，the method of slope reliability analysis has better applicability than the Monte Carlo method. Mean while，the relative error of this method is approximately within 5% and the error fluctuation caused by the change of variable correlation coefficient is small.

Keywords：slope; reliability analysis; unscented transformation; shear strength parameters; correlation; failure probability

由于邊坡工程巖土體力學參數(shù)及破壞模式的隨機性和復雜性，可靠性分析逐漸成為了邊坡穩(wěn)定評價及工程設計的另一主要途徑和參考依據(jù)[1-2]。

目前，在邊坡可靠性分析方面的研究大致可以分為兩類[3]。一類是邊坡單一破壞模式的單元可靠性分析，如：祝玉學等[4]研究了巖質邊坡雙滑面破壞模式的可靠性計算方法;Low[5]提出了基于Excel的可靠指標計算新算法，并將結果用于巖質邊坡單滑面破壞的可靠度分析，采用Beta分布描述黏聚力和摩擦角的分布，采用截尾指數(shù)分布描述張裂縫中充水深度系數(shù)的分布。第二類是多滑面或多個失效模式的邊坡體系可靠性分析，如鄭智洋等[6]利用雙折減系數(shù)法對多滑面邊坡穩(wěn)定性進行分析和研究;譚曉慧等[7]采用Ditle-vsen窄界限公式估算了巖質邊坡各失穩(wěn)模式組成的串聯(lián)體系的可靠指標;Jimenez-Rodriguez等[8]提出了采用不相交的割集來分析楔體多失效模式的體系可靠度問題，并采用順序條件重要抽樣方法計算體系可靠指標。

與此同時，在傳統(tǒng)的一階可靠度分析方法（first-order reliability，F(xiàn)ORM）、蒙特卡洛法（Monte Carlo method，MCS method）、響應面法（response surface methodology，RSM）的基礎上，新的邊坡可靠性分析方法也不斷得到了豐富和發(fā)展，如隨機有限元法[9]、重要抽樣法[10]、copula積分法[2，11]，分別在變量相關性描述、高效抽樣、功能函數(shù)逼近方面做了有益的探索。上述方法中，蒙特卡洛法作為計算失效概率最直接的方法，其計算精度高，已被廣泛應用，但當需要大量抽樣時，蒙特卡洛法的計算效率較低，特別是對于復雜系統(tǒng)的多維相關變量及非線性問題的求解;此外，工程中比較常用的中心點、驗算點等一階可靠度分析方法通常需要將相關非正態(tài)變量進行獨立化和標準化[12]，增加了計算的近似程度與復雜程度。

因此，有必要進一步探究具有更大靈活性、更高計算效率和更強非線性處理能力的邊坡可靠性分析方法。無味變換[13-16]是利用變量的均值和協(xié)方差來近似其非線性轉換后變量統(tǒng)計特性的方法，相對于蒙特卡洛及一階可靠度分析方法等，具有計算效率高、精度高（均值、協(xié)方差傳播精度均可達到二階以上）、不依賴于分布類型以及應用方便（無需求解非線性方程的Jacobi矩陣[14]，甚至無需知道非線性方程的顯式方程）等優(yōu)點，能夠較好地處理高維抽樣及非線性傳遞問題，已在自動控制、導航制導、人工智能等領域得到成功的應用[13]。筆者將無味變換引入到邊坡可靠性分析之中，給出了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法，開展了算例邊坡的可靠度指標和失效概率計算，并通過不同方法結果的對比分析，闡述所提出方法的合理性和適用性。

1 基于無味變換的邊坡可靠性分析方法

1.1 無味變換原理介紹

傳統(tǒng)線性化方法的基本思路是對非線性映射做某種線性近似，然后再運用各種線性近似的方法進行分析，相比較于傳統(tǒng)的線性化方法，用有限的參數(shù)來近似隨機變量的概率特性要比近似任意的非線性映射函數(shù)更為容易，而且用更少的計算量可以達到更高的精度?；诖耍琒avin等[15]、Julier等[16]提出了無味變換（unscented transformation，UT），其核心在于借助有限個特征點的信息來近似表達n維隨機變量的整體信息（概率密度函數(shù)）。

假設有隨機變量x的均值矩陣為mx，協(xié)方差矩陣為Vx，隨機變量y是關于x的函數(shù)，通過式（1）所示方式進行映射。

1.2 基于無味變換的邊坡可靠性分析步驟

無味變換計算效率高，運用方便[13]，能夠用有限的數(shù)據(jù)點信息近似整體概率分布信息，且不依賴于變量的分布類型，可用于邊坡工程的可靠性分析。此時，通過確定抗剪強度參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ等隨機變量的均值、方差，并借助FS=f（c，φ，…）映射關系（即功能函數(shù)），便可得出安全系數(shù)FS的均值方差，進而計算邊坡的可靠度指標β及失效概率Pf。圖1給出了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的技術路線，其主要實施步驟：

1）分析選定對邊坡可靠性更為敏感的參數(shù)作為隨機變量，如通常將邊坡土體的黏聚力c和摩擦角φ作為隨機變量[11];

2）根據(jù)參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ的均值、方差及相關系數(shù)ρcφ，計算得到隨機變量的均值矩陣和協(xié)方差矩陣;

3）利用Step2得到的協(xié)方差矩陣進行平方根分解，并結合均值矩陣和引入的尺度參數(shù)，計算得到2n+1個σ點，見式（2）～式（7）;

4）建立目標邊坡計算模型，同時，將Step3得到的2n+1個σ點代入模型，并開展二維極限平衡計算，通過搜索最危險的滑面，得到2n+1個安全系數(shù)FS的值，見式（8）;

5）利用權值的定義和λ、η等參數(shù)，分別得出2n+1個FS的均值和協(xié)方差的權值，見式（11）～式（13）;

6）根據(jù)Step4得到的2n+1個FS值，并結合Step5計算得到的權值，分別借助式（9）、式（10）計算得到FS的均值和方差;

7）借助可靠度指標的定義（均值與標準差的比）直接計算邊坡可靠度指標β值，同時，可借助失效概率與可靠度指標的關系進一步計算相應的失效概率。

2 算例分析

2.1 均質邊坡算例

算例1為軟土層上的均質邊坡[17]，典型剖面見圖2，圖中各層土體的參數(shù)見表1，且分布類型為正態(tài)分布[17-18]。借助Slide軟件，采用簡化的Bishop法進行極限平衡計算，得出坡體參數(shù)采用均值時的安全系數(shù)為1.165，安全系數(shù)與最危險滑面的位置均與Cho[18]計算（FS=1.164）非常接近。

在不考慮邊坡土體黏聚力c和摩擦角φ的相關性時，根據(jù)表1土體參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ的均值和方差，計算得到個9個σ點，并利用Slide開展二維極限平衡計算，從而得到9組安全系數(shù)，如表2所示，進而通過無味變換的邊坡可靠度分析法得到算例1中邊坡的失效概率為19.66%，與相應蒙特卡洛法（MCS）和一階可靠度分析（FORM）驗算點法得到的失效概率計算結果基本一致，相對誤差在6%以內，如表3所示。

在考慮邊坡土體抗剪強度參數(shù)間相關性時，表4為給出不同c和φ的相關系數(shù)ρcφ條件下分別采用無味變換法及蒙特卡洛（MCS）模擬得到的邊坡失效概率。由于邊坡主要的破壞模式（最危險滑面）均出現(xiàn)在土層1，土層2參數(shù)對于邊坡穩(wěn)定性及可靠度結果幾乎沒有影響，計算中土層2中c和φ的相關系數(shù)與土層1保持一致。綜合表3和表4可知，在ρcφ由負到正的過程中，邊坡失效概率明顯增大，土體黏聚力c和摩擦角φ的相關性對坡體可靠性分析結果影響顯著，這與一般結論相吻合[11，20]。

此外，表4還給出了以MCS的失效概率為基準值的當量比值R，其結果介于1.05～1.12之間，且隨著c和φ的負相關性逐漸增強（ρcφ逐漸減?。琑值逐漸增大，即無味變換法的相對誤差δ（δ=|R-1|×100%）不斷增大，而當c和φ呈現(xiàn)正相關關系時，R≤1.08，即相對誤差均在8%以內。進一步分析可知，造成上述誤差變化的主要原因在于失效概率量值的差異性，失效概率量值較大時，兩種方法結果的差異性越不顯著，反之，引起的相對誤差較大。可見，本例中，在較低失效概率（Pf<15%）時，可靠性分析結果對計算方法的選擇比較敏感。

2.2 分層邊坡算例

算例2為一個分層邊坡，計算剖面見圖3，邊坡土層參數(shù)見表5，不確定參數(shù)服從正態(tài)分布[21]。采用抗剪強度參數(shù)均值，應用簡化的Bishop法得出相應的坡體安全系數(shù)為1.509。

本例中，兩層土坡共涉及抗剪強度參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ等4個變量，依據(jù)表6中相關系數(shù)及各變量的均值和方差獲取相應的均值矩陣及協(xié)方差矩陣，進而確定出9個σ點，得出基于無味變換的邊坡可靠度指標β，見表6。

為分析兩種方法結果的差異性，表6中還給出了以文獻[21]中MCS得出的可靠度指標為基準值的當量比值R，同時，圖4給出了無味變換與蒙特卡洛法[21]（MCS）計算結果的對比。分析發(fā)現(xiàn)，ρcφ越小，（負相關性越顯著）R值越大，β>3時，相對誤差整體超過了10%，但進一步結合圖4和表5分析發(fā)現(xiàn)，本例中坡體安全系數(shù)達到1.509，整體可靠度指標較大，特別是當ρcφ越小時，β越大，相應Pf更低，與算例1所述相同，說明較低失效概率易增加不同計算結果的差異性。

為進一步驗證上述結論，通過不同程度地降低坡體土層c和φ的均值，即減小坡體安全系數(shù)，增大相應失效概率，得出了不同安全系數(shù)下無味變換法和MCS法的可靠度指標，見表7和圖5。由表7和圖5可見，邊坡安全系數(shù)越小、可靠度越低時，相關系數(shù)的變化引起的誤差波動越小，在β<1.5，即Pf>7%時，相對于MCS法，基于無味變化方法得出的誤差均在5%以內，兩種方法的計算結果差異性較小。

可見，相對于穩(wěn)定性較好的邊坡，基于無味變換的邊坡可靠性分析方法能更好地應用于較低可靠度β<1.5（較高失效概率，Pf >7%）的坡體分析中，而該類邊坡往往是工程中更為關注的對象，進而體現(xiàn)了所提出的基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的適用性。

3 計算效率分析

為了更好地說明基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的計算效率，從花費的計算時間角度分別對算例1和算例2進行了分析?；跓o味變換的邊坡可靠性分析的計算時間由3部分組成：利用Matlab計算得到σ點的用時，利用σ點開展二維極限平衡計算，得到安全系數(shù)和利用無味變換法進行失效概率計算的用時。對于算例1和2，表8給出了以上各部分計算用時及總時間情況。

同樣，仍以蒙特卡洛法作為對比對象，由于該方法計算時間與計算精度均與抽樣次數(shù)有關，一般需要進行20 000次以上的模擬才會收斂[22]，同時，抽樣次數(shù)越多，計算精度越高，但耗時更長。故分別選取20 000次（所需最少計算次數(shù)）和500 000次的蒙特卡洛模擬與無味變換方法進行計算時間對比，兩種方法均考慮變量相互獨立的情況，且均在配置內存為8 GB、處理器為Intel（R）Corei7、CPU主頻為2.00 GHz的計算機上進行，計算用時結果如表9所示。顯然，兩個算例中，相對于蒙特卡洛模擬，無味變換方法用時更少，效率更高，對于最少計算次數(shù)（20 000次抽樣）和較高精度（500 000次抽樣）的蒙特卡洛模擬，算例1（均質邊坡）中，無味變換法用時分別減少了17.9%和58.95%，而對于非均質邊坡（算例2），無味變換法用時分別減少了8.21%和55.46%。

4 結論

1）基于無味變換的邊坡可靠性分析方法應用方便，不依賴于變量的分布類型，能夠顯著提高計算效率，對于有n個主控隨機變量的功能函數(shù)，只需2n+1次計算。

2）算例結果顯示，在低失效概率時（Pf ≤7%），基于無味變換方法的計算結果誤差達到5%以上，可靠性分析結果對計算方法的選擇較為敏感，直接采用基于無味變換的方法會引起對可靠性結果過高的估計;但對于工程中關注更多的較高失效概率（Pf>7%）的邊坡，基于無味變換方法計算結果相對誤差在5%以內，且相關系數(shù)的變化引起的誤差波動較小，適用性好。

3）借助無味變換原理豐富了邊坡可靠性分析方法，但針對低失效概率條件下計算誤差較大的內在機理以及如何實現(xiàn)較高計算精度的問題，還需從推求具有更佳逼近效果的σ點入手展開進一步的探索，期待提出的基于無味變換的邊坡可靠性分析方法有更多的關注與發(fā)展。

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（編輯 胡玲）