變加速直線運動問題解法分析

福建 姚龍楷

物體所受合外力的方向與速度方向在同一條直線上，物體做直線運動。如果合外力發生變化，那么物體的加速度可能是大小發生變化，也可能是方向發生變化，還可能是大小方向均發生變化，從而引起物體運動過程中速度大小、方向的變化，進而物體的位移大小、方向發生一系列變化。變加速直線運動問題的物理情境和過程較為復雜，是學生學習的難點。本文試著對此類運動問題整理分析，給出解決此類問題的一些思路，以期能對讀者起到一定的啟迪作用。

一、分析受力情況，明確運動過程

清楚分析物體的受力情況，是解決變加速直線運動問題的第一步，要明確：當合外力的方向與物體運動方向一致時，即加速度方向與速度方向相同，合外力的作用效果是推動物體運動，物體做加速運動；當合外力的方向與物體運動方向相反時，即加速度方向與速度方向相反，合外力的作用效果是阻礙物體運動，物體做減速運動。

【例1】如圖1所示，一木塊靜止在光滑水平面上，在恒力F的作用下向右運動，其正前方固定有一勁度系數足夠大的彈簧，當木塊接觸彈簧后，下列關于木塊說法正確的是

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圖1

A.立即做減速運動

B.立即做勻速運動

C.在一段時間內速度繼續增大

D.當彈簧處于最大壓縮量時，木塊的加速度不為零

【解析】木塊與彈簧接觸前，水平方向僅受恒力F作用而向右做勻加速直線運動，木塊與彈簧接觸后，彈簧被壓縮而產生彈力，由于彈力作用，使木塊的加速度減小，但速度繼續增大，直到彈力與恒力F的大小相等時，速度達到最大，C選項正確，AB選項錯誤；木塊繼續向右運動，這時彈簧的彈力已經大于恒力F，木塊加速度方向變為向左，開始做減速運動，隨著彈簧壓縮量的繼續增大，木塊的加速度繼續增大，而速度減小。當彈簧壓縮量達到最大時，木塊水平向右方向的加速度達到最大，D選項正確。

【點評】此類問題的基本分析思路是：力→加速度→速度。即物體受到的合外力決定物體的加速度，加速度決定單位時間內速度的變化，而與物體的瞬時速度無關。本題中由于彈簧彈力是變力，物體做變加速運動，務必要做好受力分析，逐步分析其運動過程，分析清楚彈簧的形變量、彈力、加速度如何變化，以便對運動情況作出正確的判斷。

二、找準特殊點，簡化過程分析

在很多物理問題中由于存在變力作用，導致物體的加速度不斷變化，使得這類問題復雜化。若把分析勻變速直線運動問題的思路移植到變加速直線運動問題中，則容易出現失誤。此時仔細尋找物體運動過程中的一些特殊點，將是解決這類問題的關鍵。

【例2】如圖2所示，水平固定的小圓盤A均勻帶電，帶電荷量為Q，電勢為零，從小圓盤中心處O點釋放一質量為m，帶電荷量為+q的小球，由于電場力的作用，小球豎直上升的最大高度可達到圓盤中心豎直線上的C點，OC=h1。又知過豎直線上B點時小球速度最大，已知重力加速度為g，由此可確定

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圖2

A.B點的場強 B.C點的場強

C.B點的電勢 D.C點的電勢

【點評】分析變加速直線運動的關鍵集中在特殊點的分析上，比較常見的有初始位置、平衡位置(加速度為零)、速度最小(常常為零)的位置，如本題的C點。速度最大(加速度為零)的位置，如本題的B點。只有研究好各個特殊點，才能正確全面地分析物體的運動過程，才能合理地選取過程，應用相應規律予以解決。

【例3】如圖3所示，一個質量m=0.1 g，電荷量q=4×10-4C帶正電的小環，套在很長的絕緣直棒上，可以沿絕緣直棒上下滑動。將絕緣直棒置于正交的勻強電場和勻強磁場內，E=10 N/C，B=0.5 T。小環與棒之間的動摩擦因數μ=0.2。求小環從靜止沿棒豎直下落過程中的最大加速度和最大速度。取g=10 m/s2，小環電荷量不變。

圖3

【解析】開始時，小環速度為零，小環受重力mg、水平向右的電場力F=qE，由于絕緣直棒固定，絕緣直棒給小環的彈力FN與電場力F平衡，即FN=qE。小環向下滑動，受到摩擦力為Ff=μFN=μqE。已知mg>μqE，所以，小環將加速下滑。

小環加速下滑過程，受水平向右的洛倫茲力F洛=qvB，因而彈力FN、摩擦力Ff都將相應地增大，根據牛頓第二定律mg-μFN=ma可知小環的加速度減小，小環做加速度減小的加速運動，于是洛倫茲力F洛、彈力FN、摩擦力Ff又將隨之增加，小球的加速度繼續減小。當小球的加速度減為零時，速度達到最大值。

分析小環豎直方向的受力情況，由牛頓第二定律得mg-μFN=ma，即mg-μ(qE+qvB)=ma。

當v=0時，即剛下落時，小環運動的加速度最大，代入數值得am=2 m/s2。

當a=0時，下落速度v達到最大值，代入數值得vm=5 m/s。

【變式二】若本題其他條件不變，只是磁場方向改為垂直紙面向外，小環運動后，受到洛倫茲力的方向改為水平向左，與電場力方向相反，于是桿對小環的彈力FN將減少，當qvB=qE時，FN=0，因而Ff=0，小環的加速度增大到g，自此以后小環速度再增加，會使qvB>qE，彈力FN從零變為FN=qvB-qE，直到FN增大到使μFN=mg，小環運動穩定，有μ(qvmB-qE)=mg。

【點評】小環速度的變化，引起洛倫茲力、彈力、摩擦力的變化，小球加速度的變化，最終又反過來引起速度的變化，這是帶電體在磁場中運動所具有最突出的特點。分析時，應以速度對洛倫茲力的影響為線索來討論其他力的變化特征。

三、應用動量與能量觀點，優化解題過程

變加速直線運動的物體受到的合外力是變力，若利用高中的數學知識，沿著牛頓第二定律F合=ma為主線列方程，將會遇到極大的困難，所以我們要利用動量與能量觀點來解決相應問題。

【例4】如圖4所示，兩根彼此平行的光滑金屬導軌水平放置，其間距為L，導軌的左端與一光滑絕緣的曲面相切，在水平導軌上距切點x處垂直于導軌靜置一質量為m、電阻為R1的金屬棒P，水平導軌處于磁感應強度大小為B、方向豎直向上的勻強磁場中。現從曲面上距底端高h處靜止釋放一質量也為m、電阻為R2的金屬棒Q，該金屬棒將沿曲面下滑并滑上水平導軌。設運動過程中兩金屬棒始終保持平行并與導軌良好接觸，導軌足夠長且不計電阻。

圖4

(1)求運動過程中金屬棒P所能獲得的最大加速度；

(2)當x滿足什么條件時，可保證兩金屬棒在運動過程中始終不相碰；

(3)求整個過程中損失的機械能。

【例5】如圖5所示，擋板P固定在足夠高的水平桌面上，小物塊A和B大小可忽略，它們分別帶有+QA和+QB的電荷，質量分別為mA和mB，由絕緣的輕彈簧相連，一不可伸長的輕繩跨過滑輪，一端與小物塊B連接，另一端連接一輕質小鉤。整個裝置處于場強為E、方向水平向左的勻強電場中。小物塊A、B開始時靜止，已知彈簧的勁度系數為k，不計一切摩擦及小物塊A、B間的庫侖力，小物塊A、B所帶電荷量保持不變，小物塊B始終不會碰到滑輪。

(1)若在小鉤上掛一質量為M的小物塊C并由靜止釋放，可使小物塊A對擋板P的壓力恰為零，但不會離開擋板P，求小物塊C下降的最大距離；

(2)若小物塊C的質量改為2M，則當小物塊A剛離開擋板P時，小物塊B的速度多大。

圖5

(2)由能量守恒定律可知，小物塊C下落h過程中，小物塊C重力勢能的減少量等于小物塊B電勢能的增加量和彈簧彈性勢能的增加量以及系統動能的增加量之和。當小物塊C的質量為M時，Mgh=QBEh+ΔEp④

當小物塊C的質量為2M時，設小物塊A剛離開擋板時小物塊B的速度為v，則有

【點評】在高中不涉及彈簧彈力做功表達式的問題，在用到彈性勢能時，一般是通過彈簧形變量相同時(如伸長量和壓縮量相同)彈性勢能也相同來處理。本題中，掛上小物塊C后，小物塊B在電場力及彈簧彈力作用下做變加速運動，小物塊C下降過程繩子拉力是變力，所以，用牛頓第二定律難以解答，而應用動量與能量觀點可以回避運動過程分析，從而使解題過程達到最優化。

【總結】對于變加速直線運動的分析，具體步驟如下：首先，分析物體的受力情況，利用牛頓第二定律判斷物體加速度的方向；其次，由加速度方向與初速度方向的關系判斷物體是加速運動還是減速運動；再根據運動過程中物體受力情況判斷加速度如何變化，物體做什么性質的運動；最后，根據運動過程的特點，選用恰當的規律解決問題。