體驗中洞察臨界問題的本質 實踐中領會處理臨界問題的方法

湖南 王經天 陳 康

臨界問題貫穿整個高中物理，且臨界問題沒有統一的解法，老師苦惱，學生痛苦，總感覺臨界問題無論做多少不同類型題還是會有新的臨界題型出現。究其根本，臨界之苦，苦在未洞察臨界問題的本質。本文從洞察臨界問題的本質入手，找到處理臨界問題的方法，消除學生對臨界問題的困惑。

一、洞察臨界問題的本質一——位置的臨界

1.過程體驗領悟本質

【例1】(2015年全國卷Ⅰ第18題)一帶有乒乓球發射機的乒乓球臺如圖1所示。水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網高度為h。發射機安裝于臺面左側邊緣的中點，能以不同速率向右側不同方向水平發射乒乓球，發射點距臺面高度為3h。不計空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發射速率v在某范圍內，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網右側臺面上，則v的最大取值范圍是

( )

圖1

【解析】尋找臨界位置：

乒乓球發射后運動的豎直位移相同，即運動時間相同，速度的臨界值對應水平位移的臨界位置。如圖2所示，當發球機發射的乒乓球沿中線方向水平發射且恰好過球網時，乒乓球所對應的速度為乒乓球落到球網右側臺面上的最小速度vmin，此時M點即為乒乓球能過網的臨界位置。

圖2

如圖3所示，當發球機發射的乒乓球沿ON方向水平發射且恰好擊中N點時，乒乓球所對應的速度為乒乓球落到球網右側臺面上的最大速度vmax，此時N點即為乒乓球不出右側臺面的臨界位置。

圖3

求解臨界速度：

2.形成結論構建模型

在限定質點所能達到的區域時，質點所能達到的區域和不能達到的區域的交界位置，即為“位置的臨界”。

3.自主探究形成能力

圖4

【解析】尋找臨界位置：

原本打到P點的離子在加速電壓改變后打到QN區域，對應的Q和N兩點為臨界位置。

求解臨界電壓：

對打到P點的離子分析可知

改變加速電壓后對打到Q點的離子分析可知

改變加速電壓后對打到N點的離子分析可知

r2=L⑨

二、洞察臨界問題的本質二——力的臨界

(一)力的臨界之“靜摩擦力”的臨界

1.過程體驗領悟本質

【例2】如圖5所示，豎直細桿上套有一個質量為1 kg的小圓環，小圓環左側系有一勁度系數為k=500 N/m的輕質彈簧，已知彈簧與豎直方向的夾角為θ=53°(sin53°=0.8，cos53°=0.6)，小圓環與細桿間的動摩擦因數為μ=0.75，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，彈簧一直處于彈性限度內，g取10 m/s2。

圖5

(1)當彈簧的伸長量為多少時，小圓環和細桿間剛好無摩擦力；

(2)當彈簧的伸長量至少為多少時，小圓環才不會沿細桿下滑；

(3)試判斷小圓環在彈簧的作用下是否可能沿細桿上滑。

【解析】明顯可判此題為“靜摩擦力”的臨界

尋找靜摩擦力的臨界值：

臨界值三 當彈簧對小圓環的彈力的豎直分量等于圓環的重力和最大靜摩擦力之和，即kxcos53°=mg+μkxsin53°時，小圓環才會沿細桿上滑，而kxcos53°=μkxsin53°，所以kxcos53°=mg+μkxsin53°不可能成立，所以小圓環不可能沿細桿上滑。

2.形成結論構建模型

靜摩擦力為被動力，物體受到的其他力會影響靜摩擦力的大小和方向，靜摩擦力的臨界有可能是靜摩擦力剛好為零，也可能是靜摩擦力剛好達到最大靜摩擦力。

3.自主探究形成能力

【自主探究2】如圖6所示，水平轉臺上的小物體A和B通過輕彈簧連接，并隨轉臺一起勻速轉動，其質量分別為m、2m，A、B與轉臺的動摩擦因數均為μ，A、B離轉臺中心的距離分別為1.5r、r，已知彈簧的原長為1.5r，勁度系數為k，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，以下說法正確的是

( )

圖6

【解析】尋找靜摩擦力的臨界狀態：

靜摩擦力剛好為零

靜摩擦力剛好達最大靜摩擦力

綜上分析可得，BD選項正確。

【點評】此題是靜摩擦力的臨界，既考查了靜摩擦力為零的臨界狀態，又考查了靜摩擦力為最大值的臨界狀態，洞察臨界問題的本質，求出對應的臨界值，是解決臨界問題的關鍵。

(二)力的臨界之“支持力和壓力”的臨界

1.過程體驗領悟本質

【例3】如圖7所示，在光滑水平面上放著緊靠在一起的A、B兩物體，B的質量是A的2倍，B受到水平向右的恒力FB=2 N，A受到的水平向右的變力FA=(9-2t) N，t的單位是s。從t=0開始計時，則

( )

B.t>4 s后，B物體做勻加速直線運動

C.t=4.5 s時，A物體的速度為零

D.t>4.5 s后，A、B的加速度方向相反

圖7

【解析】尋找“支持力和壓力”的臨界狀態：

對于A、B整體，根據牛頓第二定律有FA+FB=(mA+mB)a

設A、B間的作用力為F，則對于B，據牛頓第二定律可得F+FB=mBa

當t=4 s時F=0，A、B兩物體開始分離，此時即為“支持力和壓力”的臨界狀態

2.形成結論構建模型

兩個接觸且相互擠壓的物體間有相互作用的支持力和壓力，隨著物體受力變化，在兩物體即將發生分離的瞬間，兩物體間的支持力和壓力為零，此時即為“支持力和壓力”臨界。

3.自主探究形成能力

【自主探究3】如圖8所示，空間有一垂直紙面向外的磁感應強度B=0.5 T的勻強磁場，一質量為M=0.2 kg且足夠長的絕緣木板靜止在光滑水平面上，在木板右端無初速度地放上一質量為m=0.1 kg、電荷量q=+0.2 C的滑塊，滑塊和絕緣木板之間的動摩擦因數為μ=0.5，滑塊受到的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力。t=0時，對滑塊施加水平向左、大小為0.6 N的恒力F，重力加速度g=10 m/s2。則

( )

圖8

A.木板和滑塊一直做加速度為2 m/s2的勻加速運動

B.滑塊先做勻加速直線運動，再做加速度增大的變加速直線運動，最后做速度為10 m/s的勻速直線運動

C.木板先向左做加速度為2 m/s2的勻加速直線運動，再做加速度減小的變加速直線運動，最后做勻速直線運動

D.t=1 s時，滑塊和木板開始發生相對滑動

【解析】尋找臨界狀態

臨界狀態一：靜摩擦力的臨界

在木板和滑塊即將發生相對滑動的瞬間

對木板和滑塊整體，根據牛頓第二定律有F=(M+m)a

解得a=2 m/s2①

對滑塊，根據牛頓第二定律有F-μ(mg-qv1B)=ma

解得v1=2 m/s ②

臨界狀態二：“支持力和壓力”的臨界

當木板和滑塊速度增加到v1=2 m/s后，滑塊和木板發生相對滑動，隨著滑塊的速度增加，滑塊和木板之間的彈力逐漸減小，滑動摩擦力也減小，滑塊的加速度逐漸增大，木板的加速度逐漸減小，當滑塊所受的洛倫茲力等于重力時，即mg=qv2B時，滑塊和木板之間的彈力消失，木板在光滑地面上做勻速直線運動，此時滑塊速度v2=10 m/s。當滑塊速度達到v2=10 m/s，滑塊脫離木板上表面做變加速曲線運動。C選項正確，B選項錯誤。

(三)力的臨界之“拉力”的臨界

1.過程體驗領悟本質

【例4】如圖9所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質量為m的小球上，OA=OB=AB，現通過轉動豎直桿，使水平桿在水平面內做勻速圓周運動，三角形OAB始終在豎直平面內，若轉動過程OB、AB兩繩始終處于拉直狀態，則下列說法正確的是

( )

圖9

【解析】尋找拉力的臨界值：

臨界值一OB繩拉力的最小值與AB繩拉力的最大值

2.形成結論構建模型

輕繩或輕桿拉著某個物體運動時，隨著運動狀態的變化，輕繩或輕桿對物體的拉力發生變化，當輕繩或輕桿的拉力剛好為零或達到最大值，此時即為“拉力”的臨界。

3.自主探究形成能力

【自主探究4】如圖10所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，FN-v2圖像如圖11所示。下列說法正確的是

( )

圖10

圖11

C.v2=c時，桿對小球彈力方向向上

D.若c=2b，桿對小球彈力大小為2a

【解析】尋找拉力的臨界狀態

【點評】本題既是“力”的臨界，也是“速度”的臨界，還是“位置”的臨界。

三、洞察臨界問題的本質三——“速度或加速度”的臨界

1.過程體驗領悟本質

(1)經多長時間AB整體相對地面開始滑動；

(2)經多長時間AB間發生相對滑動。

圖12

【解析】尋找臨界狀態：

②B對A的最大靜摩擦力FfBAmax=2μmg

2.形成結論構建模型

在變化外力的作用下，兩物體以變化的相同的速度(加速度)運動，當變化的外力變化到某一個值，兩物體間就會發生相對滑動，發生相對滑動瞬間的速度就是“臨界”速度，發生相對滑動瞬間的加速度就是“臨界”加速度。

3.自主探究形成能力

【自主探究5】如圖13所示，三物體A、B、C均靜止，輕繩兩端分別與A、C兩物體相連接且伸直，mA=3 kg，mB=2 kg，mC=1 kg，物體A、B、C間的動摩擦因數均為μ=0.1，地面光滑，輕繩與滑輪間的摩擦可忽略不計。若用力將B物體從AC間拉動出，則作用在B物體上水平向左的拉力F至少應大于(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10 m/s2)

( )

A.3 N B.5 N C.8 N D.9 N

圖13

【解析】要將B物體從AC間拉動出，B既要相對A發生相對滑動，又要相對C發生相對滑動，A和C的加速度大小相等。

尋找臨界狀態：

臨界問題的核心是洞察臨界問題的本質。通過分析問題判斷涉及的臨界問題具體是“位置”的臨界、“力”的臨界還是“速度或加速度”的臨界。如果是“位置”的臨界，往往需要找到臨界位置，畫出經過臨界位置的運動示意圖，借助運動學規律求解；如果是“力”的臨界，往往要找到力的最大值、最小值或為零的臨界狀態，借助力的平衡知識建立平衡方程進行求解或借助牛頓第二定律建立方程進行求解；如果是“速度或加速度”的臨界，往往需要根據牛頓第二定律和運動學公式建立方程進行求解。在實際應用中“力”的臨界和“速度或加速度”的臨界有可能結合在一起，從不同的角度去看屬于不同類型的臨界，但對解決臨界問題的方法并沒有影響，依然是洞察臨界問題的本質，抓住臨界狀態建立方程。