立足科學思維 注重數學思想
——2020年全國高考理綜卷Ⅰ第18題的一題多解

陜西 成均武 黨維軍

2020年全國高考理綜卷Ⅰ第18題，考查帶電粒子在有界勻強磁場中做圓周運動的臨界極值問題。此類問題是高考的熱點，也是考查學生科學思維及核心素養的重點題型。本文立足科學思維，根據帶電粒子受洛倫茲力的特點，建立圓周運動模型，根據物理規律，科學推理轉化極值問題，運用數學方法，科學論證極值條件。注重數理思想，運用分類討論思想分析臨界極值狀態，通過幾何圖解法、函數極值法和焦點三角形法計算極值及其存在的條件。另外，通過尺規作圖、特殊值法和排除法得出正確答案，形成了多種解題方法，充分體現應用數學思想方法解決物理問題的重要性。

一、真題呈現

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圖1

二、審題與分析

圖2

三、最大圓心角的3種數學解法

解法1：幾何圖解法

圖3

圖4

【思路點撥】分析題意作圖后，應考慮當粒子出射點在何處時，軌跡弧所對的圓心角有最大值。因直線cabd上方的軌跡弧恒為半圓，故半圓形區域內的軌跡弧所對的圓心角有最大值即可。最大值的確定需要運用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半、圓的切線及直角三角形相關幾何知識。幾何圖解法是本題最簡捷的一種解題方法，但是需要學生具有較好的平面幾何素養。

解法2：函數極值法

圖5

根據幾何關系有PO=R，PO′=r，O′O=2R-r，由余弦定理可知

【思路點撥】作圖分析題意后，不難發現磁場中軌跡弧的圓心角α隨著軌跡半徑r的變化而變化，根據余弦定理建立函數關系，整理函數表達式后再求函數極值。一般的臨界極值問題都可以運用函數思想方法，確定自變量和因變量，建立函數關系解出函數表達式，運用數學方法分析取極值的條件，確定函數極值。運用函數思想方法求極值是比較嚴謹的一種方法，但是運算量較大、耗時較多，考試中可優先考慮其他方法，此方法可作為最后的保底方法。

解法3：焦點三角形法

如圖6所示，△O′PO中，OP長度恒為R，O′O=2R-r，PO′=r，軌跡圓心O′到P點和O點的距離之和恒為2R。根據橢圓的第一定義：平面上到兩定點距離之和等于常數的點的集合。所以，圓心O′始終在以P和O為焦點、長軸為2R的橢圓上，因點P不是定點會使橢圓位置變化，但其形狀不變，不影響對α角的判斷。

圖6

圖7

四、尺規作圖排除法

圖8

圖9

【思路點撥】選擇題審題不僅要閱讀題干，觀察配圖，更要分析選項。分析選項有時能對解題帶來提示，例如本題每個選項都對應一個角度，看似問最長的運動時間，實則求軌跡弧最大圓心角。D選項是四個備選答案中角度最大的一個，可先使用尺規作圖法排除，A和B選項可用作圖量角或特殊值法排除。規范作圖的能力是學習物理必備的基本功，審題與解題時，規范地作圖會有事半功倍的效果，臨場考試中規范的尺規作圖、角度測量與合理推斷也可作為一種解題方法。

五、備考建議

帶電粒子在有界勻強磁場中做圓周運動的臨界極值問題，一直是考查科學思維的熱點題型，對建立運動模型、科學推理、科學論證、幾何作圖、數理思想等能力素養有較高的要求。復習備考中要立足科學思維、注重數理結合思想，追求一題多解才能跳出題海。面對極值問題，運用物理規律科學推理轉化問題是解題的重要環節；培養規范的尺規作圖能力，儲備常用的幾何定理，判斷幾何關系、解決極值問題才能得心應手；臨場考試中選擇題審題時不忘分析選項，運用特殊值法、排除法等往往能快速得到正確答案。