牽連體速度問題解析

湖北 許 文

在運動的合成與分解中，牽連體速度問題尤為常見。對于這類問題學生往往因不能正確判斷物體合運動與分運動的關系，導致求解出錯，特別是涉及動滑輪的牽連體、桿的牽連體等速度問題。運動物體的速度按矢量運算法則可任意分解，但牽連體的速度存在某種關聯，這種關聯受具體物理情景的制約，不能一概而論。速度按矢量法分解沒有錯誤，但分速度是否有關聯呢？這要受具體運動制約，因此這一點與力的分解有所不同。本文通過實例分析，幫助同學們有效地理解合運動與分運動關系，拓展解決牽連體速度問題的思維方法。

一、常規問題分析

【問題】如圖1所示，人用繩子通過固定在岸邊的定滑輪以不變的速度v拉水面上的小船，假設小船只在水平方向上運動，不計水的阻力。當繩與水平方向成θ角時，小船的速度v1的大小是多少？

圖1

圖2

【錯解】處理這種問題，大多數同學幾乎不假思考地把力的分解方法遷移過來，簡單地認為繩與船連接點(繩子末端)的速度v是船運動的合速度，按如圖2所示的分解方法將速度v進行分解，從而得出v1=vcosθ。

【質疑】1.從力的觀點看：根據牛頓第二定律可知，繩子對小船拉力的水平分力Fx會使小船在水平方向上不斷加速，實際上小船的速度v1應不斷增大。小船向左運動過程中，角θ不斷增大，可知cosθ不斷減小，即以上答案中v1是不斷減小的，與實際不符合。

2.從運動的觀點看：設在一段時間Δt內小船在水平方向向左運動的位移大小為Δx，繩子拉出的長度Δl=l1-l2。如圖3所示，由幾何關系有l1-l2=Δl<Δx，即實際上有vv1=vcosθ，與實際不符合。

出現以上錯解的原因在于對船的合運動與分運動認識不清。物體實際的運動是合運動，某時刻小船的實際速度v1是合速度。那么船的分運動是什么？怎樣將船的合運動進行分解？

圖3

【類比】如圖4所示，一只小猴子懸掛在樹藤的一端，從與水平桌面等高處擺下，如果它想抓到水平桌面上整齊排列的所有桃子，那么猴子應同時做兩種運動，即繞繩子懸掛點O的圓周運動與沿繩子向上的攀爬運動。而我們看到猴子的實際運動是水平方向的直線運動，這是猴子的實際運動，實際運動是合運動。所以可以將猴子沿水平方向上直線運動的合速度v分解為如圖5所示。

圖4

圖5

在前面提出的問題中，小船實際沿水面向左的直線運動是小船的合運動，這個合運動可以分解為小船沿繩靠近定滑輪的平動與繞定滑輪的轉動。

圖6

圖7

圖8

圖9

【點評】以上解法1基于小船的合運動與分運動，將合運動按實際產生的分運動效果進行分解，是最容易想到的一種解法。但對于較復雜的牽連體運動，一般不易正確地判斷出物體的合運動與分運動導致運動的分解出錯；解法2將小船的兩種分運動進行再分解，揭示出原錯解錯因，是一種最具內涵的解法；解法3基于平均速度與瞬時速度的關系，用到了微元法，需要用到數學上的近似計算，這是一種處理變化問題的基本解法；解法4基于速度的物理意義，用到了求導法，通過幾何知識找出牽連體運動的位移大小關系，這種解法對數學知識要求較高，但這是一種實用的解法；解法5利用了能量守恒，巧妙地利用牽連體間內力的機械功率關系求解，求解過程簡潔，給人一種高屋建瓴之感，是一種最為巧妙的解法。

【小結】對繩、桿牽連物體速度的分析要點

1.先確定合速度的方向(即物體實際運動的方向)。

2.分析合運動所產生的實際效果：一方面使繩或桿伸縮；另一方面使繩或桿轉動。

3.確定兩個分速度的方向：沿繩或桿方向的分速度和垂直繩或桿方向的分速度。

二、非常規問題分析

(一)動滑輪牽連體

涉及動滑輪的牽連體，因與動滑輪連接物體的運動分解較復雜，求解這種牽連體的速度問題，可以用微元法、求導法、轉換參考系法、能量守恒法等方法進行分析與求解。

【例1】如圖10所示，物體A置于水平面上，A的前端固定一小動滑輪B，右側高臺上固定一小定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點，再繞過兩滑輪B、D。其中繩BC段水平，當以速度v0拉繩子自由端時，物體A沿水平面運動，當跨過動滑輪B的兩段繩子夾角為α時，物體A運動的速度大小v是多少？

圖10

圖11

圖12

圖13

【例2】如圖14所示，AA1、BB1是固定于天花板上的兩光滑豎直桿。細繩的一端固定在B點，另一端拴在套于AA1桿的珠子D上，另一顆珠子C穿過細繩且套在桿BB1上。已知珠子C以速度v1勻速下落，當細繩與桿AA1成θ時，珠子D上升的速度v2大小為

( )

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

(注：上式求導第一個“-”表示h2在減小)

【點評】例2中的的珠子C相當于動滑輪。對于涉及動滑輪的牽連體速度問題，與動滑輪連接物體的速度分解較復雜，分析求解時可以轉換參考系，利用物體相對速度間的關系進行分析求解。微元法與求導法是分析問題的基本方法，能量守恒法是分析求解牽連體速度問題的最巧妙方法。

三、桿連牽連體

桿在運動的同一時刻，桿上各點沿桿方向的分速度相同。利用這一特點，我們可求出某一時刻桿兩端點(物體)的速度大小關系。求運動某時刻桿上其他點的速度，也有多種方法，如合成法、分解法、推論法、瞬時轉軸法等。

【例3】在光滑的水平面上建立如圖20所示的坐標系，一光滑的細桿兩端A、B被分別約束在x、y軸上運動。現讓A沿x軸以v0的速度勻速運動，已知P為桿的中點，當桿與x軸的夾角為θ時，P點的速度大小為

( )

圖20

圖21

解法1(合成法) 如圖21所示。A、B兩點沿桿方向的分速度相同，可得vBsinθ=v0cosθ，即vB=v0cotθ

圖22

圖23

圖24

圖25

【點評】在以上解法中，解法1先求其水平與豎直分速，然后用勾股定理求其合速度；解法2在解法1的基礎上，通過三角函數來求其合速度；這兩種解法都是最容易想到的方法；解法3根據P點的速度方向，再利用桿上所有點均有沿桿方向相同的分速度這一推論進行求解，是一種實用的解法；解法4與解法5將桿上所有點的運動分為平動與轉動，選取了瞬時轉軸，是一種巧妙的解法；瞬時轉軸的選取是任意的，解法5中巧妙地選過C點且垂直紙面的軸為瞬時轉軸，由于P點的速度vP方向垂直于PC，A點速度v0的方向垂直于AC，求解過程簡潔。

總之，關于牽連體速度問題的分析，一般有多種方法。除運動的合成與分解的方法外，還有能量守恒法、微元法、導數法、轉換參考系法、相對速度法、瞬時轉軸法等特殊方法。