例析帶電粒子在電場中的運(yùn)動

廣東 陳慶賀

帶電粒子在電場中運(yùn)動問題是電場問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)高中物理的痛點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn)。其實(shí)，帶電粒子在電場中運(yùn)動問題與高一所學(xué)的力與運(yùn)動問題并沒有本質(zhì)的區(qū)別，僅僅是多了電場力及其相關(guān)的電場能而已，相當(dāng)于“披著電場的外衣、做著力學(xué)的行當(dāng)”。所以，在處理帶電粒子在電場中的運(yùn)動問題時(shí)，需把電場的知識與力學(xué)的方法有機(jī)地結(jié)合起來，用心體會力學(xué)方法在電場中的靈活運(yùn)用。下面通過實(shí)例進(jìn)行細(xì)致剖析，以供參考。

一、帶電粒子在電場力作用下的平衡

【題型簡述】帶電粒子在電場中受到電場力和其他力的作用，處于靜止?fàn)顟B(tài)、勻速直線運(yùn)動狀態(tài)或緩慢變化狀態(tài)，即帶電粒子在電場力作用下的平衡問題。

【例1】如圖1所示，水平地面上固定一個光滑絕緣斜面，斜面與水平面的夾角為θ。一根輕質(zhì)絕緣細(xì)線的一端固定在斜面頂端，另一端系有一個帶電小球A，細(xì)線與斜面平行。小球A的質(zhì)量為m、電荷量為q。小球A的右側(cè)固定放置帶等量同種電荷的小球B，兩球心的高度相同、間距為d，靜電力常量為k，重力加速度為g，兩帶電小球可視為點(diǎn)電荷。小球A靜止在斜面上，則

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圖1

【解題突破】本題考查學(xué)生對庫侖定律、力的平衡規(guī)律的理解。審題時(shí)要注意到斜面是“光滑”的，不考慮摩擦力；A是帶電“小球”，須考慮自身重力，即小球A在重力、庫侖力、細(xì)線拉力和斜面支持力這四個力的作用下平衡。若細(xì)線拉力或斜面支持力為零時(shí)，四力平衡問題轉(zhuǎn)化為三力平衡問題，可靈活選用三角形定則進(jìn)行求解。

【歸納反思】帶電粒子在電場力作用下的平衡問題，遵循力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)平衡的處理方法，即分三步走，首先，選好研究對象(可以是整體法，也可以是隔離法)，然后，對研究對象按正確順序(已知力→場力→彈力→摩擦力)進(jìn)行受力分析，最后，根據(jù)平衡類型進(jìn)行相應(yīng)的處理(如表所示)。

受力個數(shù)常見處理方法備注二力平衡平衡力(二力等大反向)容易忽略這一類平衡三力平衡合成法、分解法、三角形定則高考最為常考多力平衡正交分解法注意建立坐標(biāo)軸的技巧動態(tài)平衡動態(tài)三角形法、相似三角形法、矢量圓法“緩慢”等標(biāo)志性文字

二、帶電粒子在電場力作用下的直線運(yùn)動

【題型簡述】帶電粒子的初速度v0與場強(qiáng)方向平行時(shí)，它在電場中僅受電場力作用做直線運(yùn)動。如果電場力方向與初速度方向相同，則帶電粒子做加速直線運(yùn)動；如果相反，則做減速直線運(yùn)動。

【例2】(2020年天津卷第12題)多反射飛行時(shí)間質(zhì)譜儀是一種測量離子質(zhì)量的新型實(shí)驗(yàn)儀器，其基本原理如圖2所示，從離子源A處飄出的離子初速度不計(jì)，經(jīng)電壓為U的勻強(qiáng)電場加速后射入質(zhì)量分析器。質(zhì)量分析器由兩個反射區(qū)和長為l的漂移管(無場區(qū)域)構(gòu)成，開始時(shí)反射區(qū)1、2均未加電場，當(dāng)離子第一次進(jìn)入漂移管時(shí)，兩反射區(qū)開始加上電場強(qiáng)度大小相等、方向相反的勻強(qiáng)電場，其電場強(qiáng)度足夠大，使得進(jìn)入反射區(qū)的離子能夠反射回漂移管。離子在質(zhì)量分析器中經(jīng)多次往復(fù)即將進(jìn)入反射區(qū)2時(shí)，撤去反射區(qū)的電場，離子打在熒光屏B上被探測到，可測得離子從A到B的總飛行時(shí)間。設(shè)實(shí)驗(yàn)所用離子的電荷量均為q，不計(jì)離子重力。

圖2

(1)求質(zhì)量為m的離子第一次通過漂移管所用的時(shí)間T1；

(2)反射區(qū)加上電場，電場強(qiáng)度大小為E，求離子能進(jìn)入反射區(qū)的最大距離x；

(3)已知質(zhì)量為m0的離子總飛行時(shí)間為t0，待測離子的總飛行時(shí)間為t1，兩種離子在質(zhì)量分析器中反射相同次數(shù)，求待測離子質(zhì)量m1。

(2)根據(jù)動能定理，有qU-qEx=0 ④

【歸納反思】帶電粒子在電場中做直線運(yùn)動，與力學(xué)中的單物體直線運(yùn)動的處理方法幾乎相同，但需要注意以下三個方面：

(一)帶電粒子重力的處理。對于如電子、質(zhì)子、α粒子、離子等基本粒子，通常都不考慮重力(但不能忽略質(zhì)量)；對于液滴、油滴、塵埃、小球等帶電顆粒，一般都要考慮重力。

(二)帶電粒子做直線運(yùn)動的條件。帶電粒子所受合外力F合=0，則帶電粒子做勻速直線運(yùn)動；帶電粒子所受合外力F合≠0，且與初速度方向共線，則帶電粒子做變速直線運(yùn)動。反之，根據(jù)帶電粒子的運(yùn)動情況同樣可以判斷帶電粒子所受合外力的情況。

(三)粒子做直線運(yùn)動，共有三套方法可供選擇：

常見處理方法選用條件牛頓第二定律、勻變速直線運(yùn)動公式涉及加速度a動能定理涉及位移s和做功W動量定理涉及時(shí)間t和沖量I

三、帶電粒子在電場力作用下的類平拋運(yùn)動

【題型簡述】帶電粒子垂直電場方向射入勻強(qiáng)電場，由于只受電場力作用，故沿初速度方向做勻速直線運(yùn)動，沿電場力的方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，此類現(xiàn)象可稱為類平拋運(yùn)動。

【例3】(2020年浙江卷第7題)如圖3所示，電子以某一初速度沿兩塊平行板中線方向射入偏轉(zhuǎn)電場中，已知極板長度l、間距d、電子質(zhì)量m、電荷量e。若電子恰好從極板邊緣射出電場，由以上條件可以求出的是

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圖3

A.偏轉(zhuǎn)電壓 B.偏轉(zhuǎn)的角度

C.射出電場速度 D.電場中運(yùn)動的時(shí)間

電場力提供加速度eE=ma

結(jié)合上述方程可知，由于初速度v0未知，所以偏轉(zhuǎn)電壓和電場中運(yùn)動的時(shí)間無法求出，故AD選項(xiàng)錯誤。

由于初速度v0未知，粒子飛出電場時(shí)的豎直方向速度vy無法求出，所以粒子射出電場的速度無法求出，故B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤。

【歸納反思】帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，基本的處理原則就是分解速度v或位移s，而兩個分運(yùn)動的時(shí)間t相等。除此之外，還需注意以下三個方面：

(一)(類)平拋運(yùn)動中物體任意時(shí)刻速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的兩倍；

(二)(類)平拋運(yùn)動中物體任意時(shí)刻速度的反向延長線必過分運(yùn)動中勻速運(yùn)動的位移中點(diǎn)；

四、帶電粒子在電場力作用下的圓周運(yùn)動

【題型簡述】帶電粒子在電場力作用下繞著某個點(diǎn)做圓周運(yùn)動，可以分為兩種情況：一種情況是在沒有約束條件下做圓周運(yùn)動，另一種情況是在約束條件下做圓周運(yùn)動。

【例4】某原子電離后，其核外只有一個電子。若該電子在原子核的靜電力作用下繞核做勻速圓周運(yùn)動，那么關(guān)于電子運(yùn)動，下列說法正確的是

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A.圓周運(yùn)動半徑越大，加速度越大

B.圓周運(yùn)動半徑越大，角速度越小

C.圓周運(yùn)動半徑越小，周期越大

D.圓周運(yùn)動半徑越小，線速度越小

【解題突破】本題涉及庫侖力公式及向心力公式，側(cè)重于對學(xué)生建模能力和類比推理能力的考查。只要能把電子繞核做勻速圓周運(yùn)動的模型與天體模型相類比，就可以順利地列出相關(guān)表達(dá)式，從而正確求解。

【歸納反思】帶電粒子在電場力作用下的圓周運(yùn)動常見以下情況：

有無約束典型情景模型草圖無約束在場源點(diǎn)電荷+Q(或-Q)的電場中,另一個點(diǎn)電荷-e(或+e)繞場源點(diǎn)電荷做勻速圓周運(yùn)動。兩個等量同種正電荷Q(或負(fù)電荷-Q)的電場中,在過它們連線的中垂面內(nèi),一個負(fù)電荷-e(或正電荷+e)繞兩者連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。兩個異種點(diǎn)電荷Q1、-Q2,以相同的角速度ω繞其連線上某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(類似于天體運(yùn)動的雙星模型)。有約束在只有電場或重力場和電場同時(shí)存在的情況下,帶電粒子沿圓弧形軌道做圓周運(yùn)動。此情況下,軌道彈力總與運(yùn)動方向垂直,不做功。注意區(qū)別“物理最高點(diǎn)”和“幾何最高點(diǎn)”,常用到“等效場”的處理方法。先求出重力與電場力的合力,再將這個合力視為一個“等效重力”,將a=F合m視為“等效重力加速度”,再將物體在重力場中的運(yùn)動規(guī)律遷移到等效重力場中分析求解即可。

分析清楚帶電粒子在電場中做圓周運(yùn)動的具體運(yùn)動情形后，處理的基本思路與力學(xué)中圓周運(yùn)動的處理思路相仿，可以歸納為三大方法：運(yùn)用向心力公式求力、利用動能定理求速率和過最高點(diǎn)的臨界條件(輕繩模型與輕桿模型)。

五、帶電粒子在周期性變化電場中的運(yùn)動

【題型簡述】帶電粒子在周期性變化的電場中運(yùn)動時(shí)，由于電場的變化使粒子所受電場力發(fā)生變化，其加速度、速度等都會相應(yīng)發(fā)生變化，從而做加速、減速或往返運(yùn)動。

【例5】如圖4甲所示，為兩水平金屬板，在兩板間加上周期為T的交變電壓u，電壓u隨時(shí)間t變化的圖線如圖4乙所示。質(zhì)量為m、重力不計(jì)的帶電粒子以初速度v0沿中線射入兩板間，經(jīng)時(shí)間T從兩板間飛出。下列關(guān)于粒子運(yùn)動的描述錯誤的是

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甲

A.t=0時(shí)入射的粒子，離開電場時(shí)偏離中線的距離最大

C.無論哪個時(shí)刻入射的粒子，離開電場時(shí)的速度方向都水平

D.無論哪個時(shí)刻入射的粒子，離開電場時(shí)的速度大小都相等

【解題突破】本題考查電場力公式、勻變速直線運(yùn)動規(guī)律、勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度與電勢差的關(guān)系、運(yùn)動的對稱性和周期性以及讀圖、用圖的能力。由U=Ed可知，題中的u-t圖相當(dāng)于E-t圖像，也就相當(dāng)于F-t圖像和a-t圖像，從而順利得到t=0時(shí)刻入射粒子在豎直方向的v-t圖像。水平方向上，粒子一直做勻速直線運(yùn)動。根據(jù)運(yùn)動的合成規(guī)律，可得到粒子在電場中的運(yùn)動情況。在此基礎(chǔ)上，還可以根據(jù)不同入射時(shí)刻對坐標(biāo)軸進(jìn)行平移，從而得到不同時(shí)刻入射的粒子在豎直方向的v-t圖像，從而進(jìn)行正確判斷。

【歸納反思】常見的產(chǎn)生周期性變化電場的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。處理帶電粒子在周期性變化電場中的運(yùn)動方法是：首先，要明確電場(U、E等)的變化規(guī)律，然后要根據(jù)電場的變化規(guī)律做好受力分析和運(yùn)動分析，抓住粒子的運(yùn)動過程在時(shí)間上具有周期性和空間上具有對稱性的特征，求解粒子運(yùn)動過程中的速度、位移等，并確定與物體運(yùn)動過程相關(guān)的邊界條件。一般具有以下三種情況：

題目類型選用方法粒子做單向直線運(yùn)動一般用牛頓運(yùn)動定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求解粒子做往返運(yùn)動通常根據(jù)交變電場的特點(diǎn)分段研究,可借助運(yùn)動圖像粒子做偏轉(zhuǎn)運(yùn)動一般分段研究,特別需要注意對稱性

【總結(jié)】不管帶電粒子在電場中的運(yùn)動問題屬于哪一種類型，其本質(zhì)仍然是力學(xué)知識和方法在電場中的具體運(yùn)用。在平常的學(xué)習(xí)過程中，需要注意對知識的分類歸納和總結(jié)，有意識地運(yùn)用力學(xué)知識和方法進(jìn)行解題，這是突破帶電粒子在電場中運(yùn)動問題的主要解法。