一類含二階導數的中值問題中輔助函數的構造

陳思源

(西安思源學院 基礎部，陜西 西安 710038)

證明中值問題可以鍛煉學生的逆向思維以及轉化數學問題的能力，一般需要借助輔助函數來完成證明。輔助函數可以幫我們簡化問題，挖掘題目中的隱藏條件，讓我們站在“明處”觀察、分析和解答所要求解的問題[1-2]。但是，輔助函數的構造卻是難點，同學們普遍反映無從下手。那么如何根據題目留下的蛛絲馬跡去尋找輔助函數呢？輔助函數的構造過程可以很好地鍛煉學生的數學思維。優質的數學教學，就是讓學生掌握數學的思維，即演繹思維。這種思維是在假設和結構之間找出一條推理的鏈，這種鏈常常是由多個推理所構成的邏輯鏈，只要其中一個鏈斷裂，演繹就不成立。解決問題就是尋求這種推理的鏈，這是一種技巧、靈感和智慧，是一種深不見底的功夫，因此需要細講精練[3]。下面主要通過相關試題討論一類含二階導數的中值問題中輔助函數的構造方法。

1 一類含二階導數的中值問題中輔助函數的構造

證明含一個中值點的中值問題時，一般是通過構造輔助函數用羅爾定理解決。那么如果要證明含二階導數的中值問題F(ξ,f(ξ),f′(ξ),f″(ξ))=0時，如何去尋找輔助函數呢？關于這類問題，我們常見的題型有以下兩種。

1.1 第一種題型中輔助函數的構造

第一種是證明等式F(ξ,f′(ξ),f″(ξ))=0。

我們先分析微分方程F(x,f′(x),f″(x))=0，這是一個關于f′(x)的一階方程，然后再求出通解G(x,f′(x))=C，最后輔助函數可構造為：

H(x)=G(x,f′(x))

例1 設函數f(x)在[0,1]上具有二階導數，且f(0)=f(1)，那么至少存在一點ξ∈(0,1)，使得2f′(ξ)+(ξ-1)f″(ξ)=0成立。

按照上面所述的方法，我們先根據結論得到微分方程：

2f′(x)+(x-1)f″(x)=0

令y=f′(x)，則有：

求得通解為：

y(x-1)2=C

即(x-1)2f′(x)，從而輔助函數為：

F(x)=(x-1)2f′(x)

證明：令

F(x)=(x-1)2f′(x)

由于函數f(x)在區間[0,1]上具有二階導數，因此f(x)在區間[0,1]上連續，在區間[0,1]內可導，又：

f(0)=f(1)

由羅爾定理，至少有一點x0∈(0,1)使得f′(x0)=0成立。

又已知，F(x)在區間[x0,1]上連續，在(x0,1)內可導，且

F(x0)=F(1)=0

再由羅爾定理，至少存在一點ξ∈(x0,1)?(0,1)使得：

f′(ξ)=0

從而可得：

2f′(ξ)+(ξ-1)f″(ξ)=0

1.2 第二種題型中輔助函數的構造

第二種是證明等式F(ξ,f(ξ),f′(ξ),f″(ξ))=0，其中F為線性函數。

這類題型，我們可以采用組合降階的方法去尋找輔助函數，具體的分析過程如下例所示。

先從結論中得到微分方程

f″(x)+3f′(x)+2f(x)=0

等號右邊的項組合成下列形式：

[f′(x)+2f(x)]′+[f′(x)+2f(x)]=0

令y=f′(x)+2f(x)，則有：

y′+y=0

求得通解為：

y=Ce-x

即ex[f′(x)+2f(x)]=C，從而輔助函數為：

G(x)=ex[f′(x)+2f(x)]

將以上函數用羅爾定理處理就能得到要證明的結論，但是它滿足羅爾定理的條件嗎？若要滿足

G(x1)=G(x2)

則需f′(x1)+2f(x1)=f′(x2)+2f(x2)。

通過對題目已知的分析，我們可以嘗試證明

f′(x1)+2f(x1)=f′(x2)+2f(x2)=0

根據以上等式的形式，令f′(x)+2f(x)=0，得通解

f(x)=Ce-2x

從而

f(x)e2x=C

因此再做輔助函數

F(x)=f(x)e2x

f′(ξ1)=0,f′(ξ2)=0

即有

f′(ξ1)+2f(ξ1)=f′(ξ2)+2f′(ξ2)=0

于是G(x)=ex[f′(x)+2f(x)]在區間[ξ1,ξ2]上滿足羅爾定理，故存在

ξ∈(ξ1,ξ2)?(0,1)

使得G′(ξ)=0，即

f″(ξ)+3f′(ξ)+2f(ξ)=0

例3.(2013年全國研究生入學考試數學一試題)設奇函數f(x)在[-1,1]上具有二階導數，且f(1)=1，證明：(1)存在一點ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=1；(2)存在一點η∈(-1,1)，使得f″(η)+f′(η)=1。

試題的第二問應該如何思考呢？下面分析其輔助函數的構造方法。根據要證明的結論，我們得到微分方程：

f″(x)+f′(x)=1

先用降階法求解導函數滿足的關系式。令f′(x)=y于是得到：

y′+y=1

求出通解為：y=1+Ce-x。此時，C=ex(y-1)，于是輔助函數就是該任意常數的表達式，即

F(x)=ex[f′(x)-1]

剩下的過程結合已知與第一問，利用羅爾定理可以輕松進行。

2 結論

綜上所述，當碰到證明含二階導數的這樣一類中值問題F(ξ,f(ξ),f′(ξ),f″(ξ))=0時，采用逆向思維的思想，從結果出發，先構造微分方程，利用降階的思想，求出未知函數導數滿足的關系式，那么任意常數的表達式就是我們要找的輔助函數。找到輔助函數以后，利用羅爾定理去證明即可。這個過程中輔助函數的構造是重點也是難點[4-5]。文中從兩種常見題型出發，詳細闡述了構造輔助函數的逆向思維，幫助大家建立解題方法與結構，從而順利證明這類問題。

教師在給學生講解這類問題時，通過給出提示、提供線索等手段對學生一步一步進行適當地引導，幫助學生自己找到解題思路或程序。這種教學方式既可以活躍課堂氛圍，又可以調動和激勵大部分學生的學習積極性[6]。這種數學探究性學習的方式，也打破了傳統的學生被動接受知識的狀況，有效地發揮了學生主體參與的意識，培養了主動求知精神，提高了學生獨立思考判斷能力，進一步調動了他們解決問題的積極性，使不同程度的學生在數學學習的實踐過程中都能學到數學知識，深刻體悟到其中蘊含的思想方法，也充分體現了數學在培養學生思維能力、啟迪智慧、提高創新能力等方面有著舉足輕重的作用[7]。