滯后型泛函微分方程的解關于參數的可微性

楊銀杏

(西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1957年Kurzweil[1]建立的廣義常微分方程理論在處理常微分方程、滯后型泛函微分方程、拓撲動力系統及脈沖微分方程等問題時有著重要作用,已被許多學者研究,并取得了一些新的成果[2-3].Federson等[4]建立了滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程的等價關系,從而,廣義常微分方程中的很多相關理論都可以應用到滯后型泛函微分方程中.文獻[5]中研究了廣義常微分方程的解關于初值和參數的可微性,盡管廣義常微分方程的解關于t不一定是可微的，甚至不是連續的,但方程右端函數關于參數(或關于x)的可微性仍能保證廣義常微分方程的解關于參數(或初值條件)是可微的.本文借助滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程的等價關系,考慮滯后型泛函微分方程

(1)

的解關于參數的可微性.

方程(1)等價于積分方程

(2)

其中：函數x:[t0-r,t0+σ]→Rn,r>0,σ>0；xt:[-r,0]→Rn且定義xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],t∈[t0,t0+σ],λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn,其中

P={xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}?G([-r,0],Rn)，

G1∈G([t0-r,t0+σ],Rn)，

(B)對所有的(x,λ1),(y,λ2)∈G1×Λ,u1,u2∈[t0,t0+σ],存在Lebesgue可積函數L:[t0,t0+σ]→R,使得

本文利用廣義常微分方程的解關于參數的可微性,討論滯后型泛函微分方程(1)的解關于參數的可微性.

1 預備知識.

定義1[6]函數U:[a,b]×[a,b]→Rn在區間[a,b]上稱為Kurzweil可積的,如果存在I∈Rn,使得對任意的ε>0,存在正值函數δ:[a,b]→(0,+),對[a,b]的任何δ-精細分劃D:a=t0

特別地,當

f:[a,b]→Rn，g:[a,b]→R，U(τ,t)=f(τ)g(t)

定義2[5]設F:Ω→Rn,Ω?Rn+1,函數x:[a,b]→Rn,若對所有的t∈[a,b],(x(t),t)∈Ω,s1,s2∈[a,b],有

其中，右端積分為Kurzweil積分,則稱x為廣義常微分方程

(3)

的解.

定義3[6]設F:Ω→Rn+l,其中Ω=G1×[t0,t0+σ]×Λ.如果F屬于函數族W(Ω,h,ω),則下列條件成立: 對任意的(x,t1,λ),(x,t2,λ)∈Ω,有

(4)

令z1=(x,λ1),z2=(x,λ2),對任意的(z1,t1),(z1,t2),(z2,t1),(z2,t2)∈Ω,有

從而,對任意的(x,t1,λ1),(x,t2,λ1),(y,t1,λ2),(y,t2,λ2)∈Ω,有

(5)

其中:h:[t0,t0+σ]→R為不減連續函數;ω:[0,+]→R是連續的增函數且ω(0)=0.

引理1[5]設A:[a,b]×[a,b]→Rn×n,y,z:[a,b]→Rn，且A滿足

‖A(τ,t)-A(τ,s)‖≤|h(t)-h(s)|,τ,t,s∈[a,b],

(6)

其中h:[a,b]→R為不減左連續函數.若對任意的s∈[a,b],有

則z在區間[a,b]上是正則的.

引理2[5]設函數A:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積的,且A相對于左連續函數h滿足式(6),則對于每個z0∈Rn,初值問題：

存在唯一解z:[a,b]→Rn.

引理3[4]設f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn滿足條件(A)和(B),φ∈G([-r,0],Rn).如果(y,λ)∈G1×Λ是滯后型泛函微分方程

(7)

的一個解，則如下形式的函數(x,λ):[t0,t0+σ]×Rl→G1×Λ，

是廣義常微分方程

(8)

的一個解,其中x∈G1,t∈[t0,t0+σ]；F:G1×[t0,t0+σ]×Λ→Rn，且

(9)

注:引理3的詳細證明過程見文獻[4]中的定理3、4.

2 主要結果

定理1設P={xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}?G([-r,0],Rn),λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},x0:Λ→G1,f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn是連續函數,其導數fx,fλ存在，且在P×[t0,t0+σ]×Λ上連續,滿足條件(A),(B).對任意的λ∈Λ,方程(1)等價于廣義常微分方程

(10)

且方程(10)在[t0,t0+σ]×Λ上存在唯一解.令x(t,λ)是方程(10)的解在t∈[t0,t0+σ]上的值.進一步,如果下列條件成立:

(1)對每個固定的t∈[t0,t0+σ],函數x(t,λ)F(x,t,λ)在G1×Λ上連續可微.

(2)函數x0在λ0處可微.

則對所有的t∈[t0,t0+σ],函數λx(t,λ)在λ0處是一致可微的,且其導數Z(t)=xλ(t,λ0),t∈[t0,t0+σ]是廣義常微分方程

(11)

的唯一解.

證明根據假設,對每個x,y∈G1,t∈[t0,t0+σ],t0≤t1≤t2≤t0+σ,存在正常數A1,A2,B1,B2,使得

‖fx(xt,t,λ)‖≤A1，‖fx(xt,t)-fx(yt,t)‖≤A2‖x-y‖，‖fλ(xt,t,λ)‖≤B1,‖fλ(xt,t)-fλ(yt,t)‖≤B2‖x-y‖,

由G1中所定義的范數可得

同理可得

即Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω),其中h(t)=h1(t)+h2(t),h1(t)=(A1+A2)t,h2(t)=(B1+B2)t,ω(t)=t.

由假設,存在常數A3>0,使得‖f(xt,t,λ)-f(yt,t,λ)‖≤A3‖x-y‖,則

對每個x,y∈G1,t∈[t0,t0+σ]及不減左連續函數k:[t0,t0+σ]→R,令k(t)=A3t,則

‖F(x,t2,λ1)-F(x,t1,λ1)-F(y,t2,λ2)+F(y,t1,λ2)‖≤(‖x-y‖+‖λ1-λ2‖)|k(t2)-k(t1)|.

(12)

對任意的λ∈Λ,s∈[t0,t0+σ],根據假設有

由文獻[5]可知,在區間[t0,t0+σ]上,每個解x都是正則的左連續函數.如果Δλ∈Rl使得‖Δλ‖<ρ,則

其中V(τ,t,λ)=F(x(τ,λ0+Δλ),t,λ)-F(x(τ,λ0),t,λ).通過式(12)可得

‖V(τ,t1,λ1)-V(τ,t2,λ2)‖≤(‖x(τ,λ0+Δλ)-x(τ,λ0)‖+‖λ1-λ2‖)|k(t1)-k(t2)|.

由文獻[5]可得

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+‖λ1-λ2‖)+

s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.利用Gronwall′s不等式[5],有

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+‖λ1-λ2‖)ek(t0+σ)-k(t0),s∈[t0,t0+σ].

從而,對所有s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ,當Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0時,(x(s,λ0+Δλ),λ1)一致收斂于(x(s,λ0),λ2).

令A(τ,t,λ)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ),Fλ(x(τ,λ0),t,λ)),因Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω),則A(τ,t,λ)滿足式(6).由引理1和引理2可知,方程(11)有唯一解Z:G1×Λ→Rn,且Z是正則的.因此存在常數K>0,使得對任意的t∈[t0,t0+σ],有‖Z(t)‖≤K.

對任意的Δλ∈Rl,當‖Δλ‖<ρ時,令

下證對所有r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,若Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則ξ(r,Δλ)一致趨于0.

對任意的ε>0,存在δ>0,使得Δλ∈Rl,‖Δλ‖<δ時,有

‖(x(t,λ0+Δλ),λ1)-(x(t,λ0),λ2)‖<ε,t∈[t0,t0+σ],

及

從而

W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)=

令

F(1)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ0),Fλ(x(τ,λ0),t,λ0)),

F(2)=(Fx(x(τ,λ0),s,λ0),Fλ(x(τ,λ0),s,λ0)),

則

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

由于函數F(x,t,λ)在G1×[t0,t0+σ]×Λ上相對于(x,λ)是連續可微的,并且定義ξ(r,Δλ),對于任意的ε>0,t,s∈[t0,t0+σ],可有

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

從而(利用Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω))

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤2ε(‖ξ(τ,Δλ)‖+K)+2|h(t)-h(s)|‖ξ(τ,Δλ)‖≤

2ε(‖ξ(τ,Δλ)‖+K)+2|h(t0+σ)-h(t0)|‖ξ(τ,Δλ)‖,

利用三角不等式得

‖ξ(r,Δλ)‖≤‖ξ(r,Δλ)-ξ(t0,Δλ)‖+‖ξ(t0,Δλ)‖≤

最后,由Gronwall′s不等式可得[5]

‖ξ(r,Δλ)‖≤ε(2Kσ+1)e2{ε+[h(t0+σ)-h(t0)]}σ，

對于任意的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ.當Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則ξ(r,Δλ)→0. 證畢.