帶有指數(shù)型非線性項(xiàng)的一維Minkowski-曲率方程

姚燕燕, 徐 晶, 高紅亮

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

考慮研究一維Minkowski空間中給定平均曲率方程Dirichlet問題：

(1)

正解的確切個(gè)數(shù)及分歧圖, 其中λ>0,0

(2)

起源于可燃?xì)怏w的動(dòng)力學(xué),Ω是RN中的有界域,(2)的非平凡解是熱反應(yīng)過程的穩(wěn)態(tài), 在這里λ>0被稱為Frank-Kamenetskill參數(shù), 具體見文獻(xiàn)[1-3].

另外, 問題(1)是Minkowski曲率方程Dirichlet問題：

(3)

的一維情況.

眾所周知, 平均曲率問題在微分幾何和狹義相對論中有著重要的作用.

2007年,Bereanu和Mawhin[4]運(yùn)用Larea-

Schauder度理論研究了非線性邊值問題：

(φ(u′))′=f(t,u,u′),l(u,u′)=0

解的存在性和多解性, 其中l(wèi)(u,u′)=0代表在[0,T]上Dirichlet、周期或者Neumann邊界條件,φ:(-a,a)→R是增同胚并且φ(0)=0.

2012年,Coelho 等[5]運(yùn)用變分方法和拓?fù)涠壤碚撗芯苛艘痪SMinkowski-曲率方程Dirichlet問題(1)正解的存在性和多解性, 其中參數(shù)λ>0.2013年,Bereanu等[6-7]通過臨界點(diǎn)理論, 上下解方法和Larea-Schauder度理論討論了Minkowski空間中Dirichlet問題(3)在球域上徑向正解的存在性和多解性.

2016年, 馬如云等[8]運(yùn)用分歧理論研究了在球域上問題(3)正解的全局結(jié)構(gòu). 接著,代國偉[9]運(yùn)用分歧理論分別對非線性項(xiàng)在零點(diǎn)漸近線性、次線性和超線性情形下球域上問題(3)徑向變號解的全局結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論.

上述文獻(xiàn)對平均曲率問題正解的存在性研究較多, 然而對其正解的確切個(gè)數(shù)研究較少.

2018年, 張雪梅和馮美強(qiáng)[10]運(yùn)用時(shí)間映像原理研究了問題

(4)

正解的確切個(gè)數(shù)及分歧圖, 其中λ>0,L>0,并且在f滿足一定條件下獲得了如下的重要結(jié)果.

(c)若f(u)=up(p>1),則存在λ*>0，使得當(dāng)λ∈(0,λ*)時(shí), 問題(4)沒有正解;當(dāng)λ=λ*時(shí), 問題(4)恰有一個(gè)正解;當(dāng)λ∈(λ*,)時(shí), 問題(4)恰有兩個(gè)正解.

對于一維平均曲率問題的其他研究詳見文獻(xiàn)[13-15].這些研究結(jié)果表明, 擬線性問題與半線性問題有很多不同之處, 分歧圖也不同. 由于平均曲率問題的時(shí)間映像估計(jì)相當(dāng)復(fù)雜, 文獻(xiàn)[10]只對一些特殊非線性項(xiàng)進(jìn)行了研究. 注意到對帶有指數(shù)型的非線性項(xiàng)f(u)=eu并沒有研究. 基于以上文獻(xiàn), 本文研究一維Minkowski空間中給定平均曲率方程Dirichlet問題(1)正解的存在性及分歧圖.

1 預(yù)備知識

設(shè)u(x)是問題(1)的正解.u(x)在x=0處取得最大值并且關(guān)于x=0對稱.當(dāng)-L0;當(dāng)0

(5)

u(0)=s,u(L)=0,u′(0)=0

從而H(x)=c,其中c為常數(shù).

因?yàn)镠(0)=c=λF(s),所以

(6)

由此可得

-u′=

進(jìn)而有

(7)

對式(6)兩端從0到L積分,可得

(8)

Tλ(s)稱為f的時(shí)間映像. 由時(shí)間映像的定義可知, 問題(1)等價(jià)于找到s∈(0,L),使得

T(s)=L.

(9)

引理1[10]若f:[0,+)→[0,+)是連續(xù)函數(shù)且f(u)>0,?u∈(0,L),則有

引理2[10]若f:[0,+)→[0,+)是連續(xù)函數(shù),且f(u)>0,?u∈(0,L), 則對任意s∈(0,L), 時(shí)間映像T關(guān)于λ嚴(yán)格遞減.

引理2[10]f:[0,+)→[0,+)是連續(xù)函數(shù),且滿足f(u)>0,?u∈(0,L).

2 主要結(jié)果及證明

定理1對任意的λ>0, 問題(1)恰有一個(gè)正解.

證明由時(shí)間映像的定義可知, 問題(1)等價(jià)于找到s∈(0,L)，使得

T(s)=L.

因此,問題(1)的解為方程(9)的解. 下證T′(s)>0.

因?yàn)?/p>

f(u)=eu>0,?u>0,f(0)=1>0,

ξ=λ(F(s)-F(st))=λ(es-est),

ξ′=λ(f(s)-tf(st))=λ(es-test),

由引理1知

Q≥2ξ-sξ′=λ[2(es-est)-s(es-test)]=

λ[(2-s)es-(2-st)est]=λ(g(s)-g(st)).

又

g′(s)=(1-s)es,g″(s)=-ses≤0,

則當(dāng)s∈(0,1]時(shí),g′(s)≥0；當(dāng)s∈[1,+)時(shí),g′(s)≤0.即g(s)單調(diào)遞增,s∈(0,1],當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g(s)-g(st)>0.又λ>0,則Q>0.

故

T′(s)>0.

(10)

容易計(jì)算得

(11)

由引理3得

(12)

由引理2和(10)-(12),知?λ>0,00, 問題(1)恰有一個(gè)正解，問題(1)解的圖像如圖1所示.

圖1 問題(1)解的圖形