類LORENZ混沌系統及其電路實現

安徽理工大學電氣與信息工程學院 徐甜甜

本文研究動力學特性更為復雜的新三維混沌系統。首先利用數值建模分析了三維混沌系統的基本動力學特性，然后搭建新混沌系統硬件電路，通過Multisim軟件進行硬件電路仿真模擬，最后驗證了系統的物理可行性，結果表明仿真實驗與理論分析結論吻合。

1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)氣象學家Loren發現已確定的三階微分方程具有不規則的解，提出了“蝴蝶效應”理論，開啟了研究混沌現象的序幕。混沌作為非線性動力學的一個分支，在很多領域具有廣泛應用。復雜混沌系統的產生、分析和控制近年來引起了國內外同行的廣泛關注。經典的混沌系統諸如：R?ssler系統、Chen系統及Lü系統等被提出，一些新的混沌系統被發現，它們具有更大的Lyapunov指數和更強的混沌特性。本文基于文獻中Lorenz-Like系統，搭建了新三維混沌系統，發現此系統的混沌特性比原系統復雜，在不同參數值下不僅折疊吸引子的渦卷數增加；并且發現在4.28＜b＜10.5時，系統產生新的兩翼折疊混沌吸引子，其最大Lyapunov指數高達6.7872，比上述文獻中混沌系統的Lyapunov指數值均大。

1 混沌系統模型及特性分析

1.1 混沌系統模型

本文基于Lorenz-Like系統構建了一個新三維自治混沌系統，該系統的數學模型可描述為：

式中，x，y，z為狀態變量。當初值為(10，10，60)，參數a=10、b=3、c=50、h=-1時，系統存在一個典型混沌吸引子如圖1所示。

圖1 系統(1)相圖

1.2 三維系統參數的影響

系統動力學特性隨參數的變化而變化，系統的運行狀態可以直觀的由Lyapunov指數譜及分岔圖反映。當固定參數a、c、h，參數b變化。圖2(a)反映在0＜b≤2.256及b＞12.39區域Lyapunov指數譜符號為(-，-，-)或(0，-，-)，系統處于周期運動狀態；在2.257＜b≤12.35區域Lyapunov指數譜符號為(+，0，-)，系統處于混沌運動狀態。圖2(b)與圖2(a)的動力學特性相對應，反映在4.28＜b＜10.5區域，系統表現出不同的動力學特性。取b=8時，系統(1)的相圖如圖3所示，其吸引子軌跡在特定的區域內具有遍歷性，與系統(1)典型混沌吸引子及文獻中所描述吸引子均不相同；且在此區間內計算系統(1)的最大Lyapunov指數，得知在b=7.5時的最大Lyapunov指數為6.7872，比原Lorenz-Like系統及典型系統參數值下Lyapunov指數值均大，系統表現出更復雜的動力學狀態。

圖2 三維系統隨b變化的Lyapunov指數譜及分岔圖

圖3 b=8三維系統相圖

2 三維混沌系統電路的設計與實現

混沌系統的物理可行性可通過模擬電子電路實現，采用模塊化的設計方法驗證系統的動態行為。系統由運算放大器、模擬乘法器等電子元件構成。由于電子元件工作電壓幅值受限，將系統輸出電壓幅值降低為原來的1/10，并進行時間尺度變換。令，當b=3時，得：

由圖4得其狀態方程為：

圖4中C1=C2=C3=100nF，比較(2)、(3)式得電阻R1=R2=R4=R7=R9=R10=R12=R13=R14=R15=10kΩ，R3=5kΩ、R5=20kΩ、R6=R8=100kΩ、R11=33.3kΩ。此時Multisim仿真相圖如圖5(a)、(b)所示。當b=8時，由圖5系統的相圖可知，為避免飽和現象將系統狀態變量z調整為原來的1/20，此時硬件系統中R3=1kΩ、R7=0.5kΩ、R8=50kΩ、R10=2kΩ、R11=12.5kΩ，其余參數不變，仿真相圖如圖5(c)、(d)所示。

結論：本文通過改進Lorenz-Like系統方程產生一個新的三維自治混沌系統，研究了系統的復雜動力學特性。從系統相圖發現新混沌系統混沌吸引子比Lorenz-Like系統復雜，折疊吸引子的渦卷數增加。從系統參數的Lyapunov指數圖譜和分岔圖可以看出，參數變化系統所經歷的周期與混沌運動狀態。為驗證新混沌系統的物理可行性，根據系統數學模型搭建系統硬件電路，電路仿真結果與Matlab仿真結果相同，表明新建混沌系統的正確性。

圖4 電路原理圖

圖5 系統(1)電路實現仿真相圖