類LORENZ混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)

安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 徐甜甜

本文研究動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜的新三維混沌系統(tǒng)。首先利用數(shù)值建模分析了三維混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，然后搭建新混沌系統(tǒng)硬件電路，通過(guò)Multisim軟件進(jìn)行硬件電路仿真模擬，最后驗(yàn)證了系統(tǒng)的物理可行性，結(jié)果表明仿真實(shí)驗(yàn)與理論分析結(jié)論吻合。

1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)氣象學(xué)家Loren發(fā)現(xiàn)已確定的三階微分方程具有不規(guī)則的解，提出了“蝴蝶效應(yīng)”理論，開(kāi)啟了研究混沌現(xiàn)象的序幕?；煦缱鳛榉蔷€性動(dòng)力學(xué)的一個(gè)分支，在很多領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。復(fù)雜混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生、分析和控制近年來(lái)引起了國(guó)內(nèi)外同行的廣泛關(guān)注。經(jīng)典的混沌系統(tǒng)諸如：R?ssler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)及Lü系統(tǒng)等被提出，一些新的混沌系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)，它們具有更大的Lyapunov指數(shù)和更強(qiáng)的混沌特性。本文基于文獻(xiàn)中Lorenz-Like系統(tǒng)，搭建了新三維混沌系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)此系統(tǒng)的混沌特性比原系統(tǒng)復(fù)雜，在不同參數(shù)值下不僅折疊吸引子的渦卷數(shù)增加；并且發(fā)現(xiàn)在4.28＜b＜10.5時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生新的兩翼折疊混沌吸引子，其最大Lyapunov指數(shù)高達(dá)6.7872，比上述文獻(xiàn)中混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)值均大。

1 混沌系統(tǒng)模型及特性分析

1.1 混沌系統(tǒng)模型

本文基于Lorenz-Like系統(tǒng)構(gòu)建了一個(gè)新三維自治混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可描述為：

式中，x，y，z為狀態(tài)變量。當(dāng)初值為(10，10，60)，參數(shù)a=10、b=3、c=50、h=-1時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)典型混沌吸引子如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)相圖

1.2 三維系統(tǒng)參數(shù)的影響

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性隨參數(shù)的變化而變化，系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)可以直觀的由Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖反映。當(dāng)固定參數(shù)a、c、h，參數(shù)b變化。圖2(a)反映在0＜b≤2.256及b＞12.39區(qū)域Lyapunov指數(shù)譜符號(hào)為(-，-，-)或(0，-，-)，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；在2.257＜b≤12.35區(qū)域Lyapunov指數(shù)譜符號(hào)為(+，0，-)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖2(b)與圖2(a)的動(dòng)力學(xué)特性相對(duì)應(yīng)，反映在4.28＜b＜10.5區(qū)域，系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)特性。取b=8時(shí)，系統(tǒng)(1)的相圖如圖3所示，其吸引子軌跡在特定的區(qū)域內(nèi)具有遍歷性，與系統(tǒng)(1)典型混沌吸引子及文獻(xiàn)中所描述吸引子均不相同；且在此區(qū)間內(nèi)計(jì)算系統(tǒng)(1)的最大Lyapunov指數(shù)，得知在b=7.5時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)為6.7872，比原Lorenz-Like系統(tǒng)及典型系統(tǒng)參數(shù)值下Lyapunov指數(shù)值均大，系統(tǒng)表現(xiàn)出更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。

圖2 三維系統(tǒng)隨b變化的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖

圖3 b=8三維系統(tǒng)相圖

2 三維混沌系統(tǒng)電路的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

混沌系統(tǒng)的物理可行性可通過(guò)模擬電子電路實(shí)現(xiàn)，采用模塊化的設(shè)計(jì)方法驗(yàn)證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。系統(tǒng)由運(yùn)算放大器、模擬乘法器等電子元件構(gòu)成。由于電子元件工作電壓幅值受限，將系統(tǒng)輸出電壓幅值降低為原來(lái)的1/10，并進(jìn)行時(shí)間尺度變換。令，當(dāng)b=3時(shí)，得：

由圖4得其狀態(tài)方程為：

圖4中C1=C2=C3=100nF，比較(2)、(3)式得電阻R1=R2=R4=R7=R9=R10=R12=R13=R14=R15=10kΩ，R3=5kΩ、R5=20kΩ、R6=R8=100kΩ、R11=33.3kΩ。此時(shí)Multisim仿真相圖如圖5(a)、(b)所示。當(dāng)b=8時(shí)，由圖5系統(tǒng)的相圖可知，為避免飽和現(xiàn)象將系統(tǒng)狀態(tài)變量z調(diào)整為原來(lái)的1/20，此時(shí)硬件系統(tǒng)中R3=1kΩ、R7=0.5kΩ、R8=50kΩ、R10=2kΩ、R11=12.5kΩ，其余參數(shù)不變，仿真相圖如圖5(c)、(d)所示。

結(jié)論：本文通過(guò)改進(jìn)Lorenz-Like系統(tǒng)方程產(chǎn)生一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性。從系統(tǒng)相圖發(fā)現(xiàn)新混沌系統(tǒng)混沌吸引子比Lorenz-Like系統(tǒng)復(fù)雜，折疊吸引子的渦卷數(shù)增加。從系統(tǒng)參數(shù)的Lyapunov指數(shù)圖譜和分岔圖可以看出，參數(shù)變化系統(tǒng)所經(jīng)歷的周期與混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為驗(yàn)證新混沌系統(tǒng)的物理可行性，根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型搭建系統(tǒng)硬件電路，電路仿真結(jié)果與Matlab仿真結(jié)果相同，表明新建混沌系統(tǒng)的正確性。

圖4 電路原理圖

圖5 系統(tǒng)(1)電路實(shí)現(xiàn)仿真相圖