問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)課程探究

劉生全

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽110036)

一、高等數(shù)學(xué)課程的重要性

高等數(shù)學(xué)是高等院校中理工學(xué)科的核心基礎(chǔ)課程，通過高等數(shù)學(xué)的教學(xué)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及兩方面：一是掌握數(shù)學(xué)知識，大學(xué)生需要掌握基本的數(shù)學(xué)理論、公式、計(jì)算能力和解題技巧；二是數(shù)學(xué)思維，大學(xué)生要具備應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

高等數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯思維能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生自主分析問題和解決問題能力[1-2]。數(shù)學(xué)概念是具有相似性質(zhì)實(shí)際問題的抽象。在數(shù)學(xué)抽象的表達(dá)體系中，解決數(shù)學(xué)問題需要通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言、嚴(yán)格的邏輯推理。因此，學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程需要全面、完整地分析、解決一道道數(shù)學(xué)題，學(xué)生在這個(gè)過程中將會(huì)逐步形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。

高等數(shù)學(xué)的重要性還體現(xiàn)在推動(dòng)自然科學(xué)和人文科學(xué)的發(fā)展上。數(shù)學(xué)理論蘊(yùn)含的思想和數(shù)學(xué)方法廣泛應(yīng)用于解決經(jīng)濟(jì)、物理以及實(shí)際工程問題中。例如，物理學(xué)中很多的問題是高等數(shù)學(xué)重要的應(yīng)用場景：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題，需要用到高等數(shù)學(xué)中的微分方程和空間解析幾何的知識來解釋；電磁學(xué)與高等數(shù)學(xué)中的多元微積分和場論有著密切的聯(lián)系等。

二、高等數(shù)學(xué)課程引入問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式的必要性

由于高等數(shù)學(xué)內(nèi)容具有理論性強(qiáng)、論證體系嚴(yán)密等特點(diǎn)，客觀上給學(xué)生學(xué)好這門課程造成困難，很多學(xué)生甚至對高等數(shù)學(xué)課達(dá)到“望課生畏”的地步。因此，轉(zhuǎn)變教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作亟待解決的重要課題。實(shí)際上，眾多高校的數(shù)學(xué)老師已經(jīng)做了大量有意義的教改嘗試。例如：采用多媒體輔助教學(xué)；利用網(wǎng)上教學(xué)資源，開展線上線下混合教學(xué)等[3-4]。這些有益嘗試都是對現(xiàn)有教學(xué)模式的改進(jìn)，但無法解決學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性不足這個(gè)問題。提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式是一個(gè)很好的方法。在課堂授課過程中針對部分章節(jié)，設(shè)計(jì)一些跟知識點(diǎn)緊密聯(lián)系的問題或貼近實(shí)際的真實(shí)問題進(jìn)行講解，用“問題”引導(dǎo)學(xué)時(shí)思考、體會(huì)知識點(diǎn)的內(nèi)涵，同時(shí)也驅(qū)動(dòng)教學(xué)進(jìn)程發(fā)展。學(xué)生在用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想解決問題的過程中將體會(huì)到數(shù)學(xué)知識魅力和解決問題的成就感，從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的。

隨著社會(huì)發(fā)展，國家提出培養(yǎng)應(yīng)用型人才的戰(zhàn)略目標(biāo)，客觀上也對高等數(shù)學(xué)授課方式提出了新的要求。教師單向?qū)⒅R點(diǎn)灌輸給學(xué)生的傳統(tǒng)教學(xué)模式已經(jīng)不合時(shí)宜，因?yàn)檫@種教學(xué)模式只會(huì)讓學(xué)生記住一些數(shù)學(xué)知識，但不能形成數(shù)學(xué)思維，學(xué)生不能學(xué)以致用。因此，教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中采用問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)講授高等數(shù)學(xué)能夠兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)知識的獲得和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升這一現(xiàn)實(shí)問題。問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，將有利于激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，最終使學(xué)生具備扎實(shí)的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

三、高等數(shù)學(xué)中問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式的實(shí)施

問題驅(qū)動(dòng)型教學(xué)模式[5-6]是由英國教育家博雷泊在20世紀(jì)80年代提出的教學(xué)理念。這種教學(xué)模式將知識點(diǎn)隱含在一個(gè)或幾個(gè)具體的問題中，課堂講授過程中通過剖析這些問題引導(dǎo)學(xué)生同步進(jìn)行思考，達(dá)到深刻理解知識點(diǎn)的目的。目前，這一教學(xué)模式在我國受到教育工作者的廣泛關(guān)注。

問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式能否取得好的效果，課堂內(nèi)容設(shè)計(jì)十分重要。針對不同的教學(xué)內(nèi)容需要采用不同的方法。抽象的數(shù)學(xué)概念和理論性強(qiáng)的章節(jié)，需要設(shè)計(jì)一些具體化、直觀化的問題加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解；應(yīng)用性強(qiáng)的章節(jié)，教師要設(shè)計(jì)一些具有實(shí)際應(yīng)用背景的案例，并力求把數(shù)學(xué)知識如何應(yīng)用于解決這些問題講透徹。

案例1“數(shù)列極限”概念是高等數(shù)學(xué)課程的開場問題，對新生來說是一個(gè)全新的概念，教師要盡量幫助學(xué)生從已有的知識儲(chǔ)備自然過渡到這個(gè)新概念，加深學(xué)生對“數(shù)列極限”的直觀認(rèn)識。舉例來說，在講授這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以通過如下問題循序漸進(jìn)的引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)列極限的含義：

問題1中國古代是否有極限思想?(介紹《莊子·天下》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法，說明我國古代已出現(xiàn)樸素的極限思想，可以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和對問題的興趣)

問題2是否學(xué)過蘊(yùn)含數(shù)列極限思想的問題?(介紹用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表達(dá)圓的面積，引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識從直觀上理解數(shù)列極限的定義)

設(shè)計(jì)的問題以學(xué)生學(xué)過的、熟知的為宜，這樣更能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。特別地，講述我國古人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得的偉大成就的案例，可以培養(yǎng)學(xué)生樹立“四個(gè)自信”，堅(jiān)持中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的歷史自豪；對比中國古代在數(shù)學(xué)方面取得的輝煌成就，近代在自然科學(xué)方面取得的成果較少，可以鼓勵(lì)學(xué)生樹立刻苦學(xué)習(xí)，為國爭光的使命感。同時(shí)，“極限”也體現(xiàn)出一種人生哲理，做人和做事都要不忘初心，不斷追求完美，臻于至善(極限)。

案例2高等數(shù)學(xué)中“中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”內(nèi)容十分的抽象，這章內(nèi)容也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)[7]。本章內(nèi)容適合通過提問形式引導(dǎo)學(xué)生逐條分析定理的條件和結(jié)論，有效提高學(xué)生對定理的理解和認(rèn)識。比如，在講解“羅爾定理”時(shí)，教師首先介紹定理內(nèi)容：設(shè)給定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=0。如果單純正面講解該定理內(nèi)容，教師只需告訴學(xué)生，函數(shù)滿足“閉區(qū)間連續(xù)”“開區(qū)間可導(dǎo)”“兩端點(diǎn)函數(shù)值相等”三個(gè)條件，那么導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。這樣的講解，大部分學(xué)生僅僅能記住定理的內(nèi)容，但很難抓住定理的本質(zhì)。因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)函數(shù)不滿足“閉區(qū)間連續(xù)”時(shí)，結(jié)論是否正確？當(dāng)函數(shù)不滿足“兩端點(diǎn)函數(shù)值相等”時(shí)，結(jié)論是否成立？對結(jié)論不成立的情況，教師要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例。從正反兩個(gè)維度分析羅爾中值定理的內(nèi)容，可以加深學(xué)生對定理的直觀認(rèn)識。

在分析這個(gè)問題的過程中，可以適當(dāng)介紹羅爾、拉格朗日等大數(shù)學(xué)家故事，教育學(xué)生學(xué)習(xí)他們對待科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度。另外，還可以簡單介紹羅爾中值定理和拉格朗日中值定理間的關(guān)系，教育學(xué)生知道科學(xué)進(jìn)步實(shí)際是在不斷發(fā)現(xiàn)問題、簡化條件中一步步發(fā)展起來的。鼓勵(lì)學(xué)生要養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題的習(xí)慣，汲取前人成果的思想精髓去創(chuàng)造新的理論，為祖國的科學(xué)事業(yè)貢獻(xiàn)力量。

案例3高等數(shù)學(xué)中的常微分方程、空間幾何等內(nèi)容，都有強(qiáng)烈的應(yīng)用背景，這些章節(jié)適合設(shè)計(jì)應(yīng)用問題的案例，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識解決實(shí)際問題。例如，在講解一階常系數(shù)線性常微分方程時(shí)，可以向?qū)W生詳細(xì)介紹馬爾薩斯(Malthas)人口模型[8-10]。馬爾薩斯假設(shè)人口增長不受外界因素的影響，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長率是與人口數(shù)成正比的。為了用數(shù)學(xué)語言描述人口問題，需要引入一些數(shù)學(xué)記號：設(shè)t時(shí)刻人口總數(shù)量為X(t)，人口的增長率與人口數(shù)比例系數(shù)為常數(shù)α>0。這時(shí)，教師再幫助學(xué)生回憶導(dǎo)數(shù)的意義，使學(xué)生認(rèn)識到人口變化率就是人口總數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。根據(jù)以上的分析，學(xué)生可以容易得到人口數(shù)量函數(shù)X(t)滿足一階常微分方程：

若再記t=0時(shí)刻的人口數(shù)為X0，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)研究人口動(dòng)態(tài)變化問題可以轉(zhuǎn)化為求解下面常微分方程初值問題：

(1)

教師引導(dǎo)學(xué)生用初等積分法解出模型(1)的特解

X(t)=X0eαt.

(2)

馬爾薩斯人口模型(1)是一個(gè)理想狀態(tài)下的模型，它僅能用于預(yù)測短時(shí)間內(nèi)人口變化情況。因?yàn)椋?2)是一個(gè)嚴(yán)格遞增的指數(shù)函數(shù)，如果人口按指數(shù)函數(shù)增長，那說明人口會(huì)隨時(shí)間無限的增長。但是，根據(jù)實(shí)際情況和經(jīng)驗(yàn)知道，人口無限增長是不現(xiàn)實(shí)。這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考出現(xiàn)這個(gè)情況原因？教師要向?qū)W生解釋建立數(shù)學(xué)模型是選取主要因素、忽略次要因素的過程。馬爾薩斯人口模型只考慮了人口自然繁殖一個(gè)因素，而忽略了人口增長受到生存資源、社會(huì)發(fā)展水平等眾多因素制約，所以這個(gè)模型具有局限性。

微分方程理論可以直接應(yīng)用于應(yīng)用學(xué)科，直觀體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值。在這個(gè)章節(jié)的中，教師還可以簡單介紹傳染病模型(SI,SEIR模型等)在預(yù)測SARS疾病和新冠病毒傳播等方面發(fā)揮的重要作用，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的價(jià)值。另外，還可以引申介紹鐘南山、張定宇等一批在2020年抗擊新冠疫情中涌現(xiàn)出的英雄人物的感人事跡，教育學(xué)生學(xué)習(xí)他們勇于奉獻(xiàn)，堅(jiān)持科學(xué)、尊重科學(xué)，命運(yùn)與共的偉大抗疫精神。

四、結(jié) 語

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式符合高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)。實(shí)際上，數(shù)學(xué)理論自身的發(fā)展也是受“問題驅(qū)動(dòng)”而不斷發(fā)展完善的，那么在教學(xué)過程中采用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式也是在盡可能還原數(shù)學(xué)發(fā)展的過程。另外，在教學(xué)過程中，將“提出問題-解決問題”的問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式融入到高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去，增強(qiáng)整個(gè)教學(xué)過程的吸引力和互動(dòng)性，達(dá)到數(shù)學(xué)思想的深層次滲透。實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的目的，有利于達(dá)成培養(yǎng)應(yīng)用型人才的教育目標(biāo)。

問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式要嚴(yán)格遵循提出問題(案例)，用學(xué)過的知識分析問題，最終解決問題全過程講解。在課堂案例的選取上，應(yīng)該注意以下兩點(diǎn)：第一，所選案例要盡量簡潔，否則容易陷入繁瑣的模型建立中，影響正常的教學(xué)進(jìn)度；第二，所選案例要貼近學(xué)生的認(rèn)知范圍，這樣更有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的興趣。