立足模型分析，自如解決問題

莫淑玲

數學模型是使數學知識在學生頭腦中從模糊走向清晰的橋梁，能夠通過表象直面本質。教師要使數學建模思想、方法在教學中合理滲透，讓學生習慣利用數學模型來解決問題，幫助學生快速找到解決數學問題的途徑，提高解決問題的基本技能，提高數學素養。

一、合理建模，聚焦數學模型

數學模型就是為了某種目的，用字母、數學及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。建構數學模型是為了讓更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。

2011版《數學課程標準》里闡述：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。利用數學模型來進行教學，在平時的數學教學中比比皆是。尤其是在解決問題教學中應用得尤其多。

二、畫圖助思，培養空間觀念

任教五年級的數學老師應該有共同的集體印象：在教學義務教育教科書五年級下冊的“長方體和正方體”單元時，是較為棘手的，花了九牛二虎之力，教學效果卻不理想，只見工夫不現效果。不理想主要是如下幾個方面：空間想象能力差;應用各種計算公式時混淆不清;解決問題時弄不請問題到底求什么。

2011版《數學課程標準》里關于知識技能方面，第4-6學段要求之一：通過用代數式、方程、不等式、函數等表述數量關系的過程，體會模型的思想，建立符號意識：在研究圖形性質和運動、確定物體位置等過程中，進一步發展空間觀念;經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。

在教學“長方體和正方體”單元中求長方體和正方體表面積時，會發現這樣的現象，如果題目中配上圖，學生的錯誤率會比較低，同樣類型的題目，如果題目中沒有配上圖，學生解題出錯率會比配上圖時多得多。在這個現象下面，反映出學生的空間想象能力比較差：盡管他們把長方體的表面積公式背的比較熟練，但是分不清楚，在求前后面的面積時，該長×寬、長×高、或是寬×高。在求左右面的面積：該多少乘多少，求上下面面積時又該多少乘多少。在我教會學生在解決此類問題時畫出圖來幫助思考，并把題目中的長、寬、高的數據標在圖中時，學生有了圖形的直觀支撐，問題迎刃而解。如，做一個長12分米，寬8分米。高10分米的長方體的玻璃缸（無蓋）至少需要玻璃多少？（圖1）

顯而易見，學生看著圖，就能知道要求前后面面積該用：10×12，求左右面面積該用：10×8，求上下面面積時該用：12×8。在學習數學中，圖的啟示作用不可小看，尤其在學習幾何圖形的知識時，對于空間觀念并不是很強的小學生來說，更是舉足輕重。

在教學義務教育教科書五年級下冊的“數學廣角——植樹問題”單元時用上模型“畫圖”就能引導學生對比分析，快速找對解決方法。植樹問題包括三種情況：兩端都栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽。如何弄清這三種情況呢？畫上圖后，三者的聯系與區別立刻清晰呈現（如下圖）。

三、數形結合，理清數量關系

人教版義務教育教科書選擇在五年級第一學期開始學習簡易方程解決問題。在教學這個內容的過程中，學生會遇到多種的困惑，列不出正確的方程等式是學生遇到的最常見的一種困難。如：在用方程解決“獵豹是世界上跑得最快的動物，速度能達到每小時110千米，比大象的2倍還多30千米，大象最快能達到每小時多少千米？”時，有的學生會列出這樣的錯誤等式：110×2+30=X。學生沒有從根本上把列方程解決問題與列算術解決問題區分開來，深刻分析下來，應該是跟學生對于題目中的數量關系不清晰，思維模糊，又受到以前用算術解決問題的思維定勢的影響，才會列出以上的“兩不像”的錯誤等式。

學生低年級長期習慣于算術方法解決實際問題，受算術思維定勢的影響，很長一段時間不適應代數的思維方式，因此需要加強代數思維方式方法的訓練，來加強方程的教學。學生能自如地應用列方程來解決問題，學會的根本——是源于對具體的某道問題中的數量關系的深刻分析，懂得各個數量之間的關系，進而并明白這些數量關系該用怎樣的含有未知數的等式來表示出來。

在小學階段中用方程解決問題，無論是多么復雜的問題，分析出來，跑不出最初學習數學時的最簡單，最基本的數量關系，如：部分量+部分量=總數;大量-小量=相差數;每份量×份數=總數;等等。因此，要在教學中重視這些基礎數量關系的訓練，經常滲透。我在教學方程內容時，時常會設計如下的題目讓學生訓練，使到他們熟練。

1.電視機廠計劃生產5000臺的電視機，要5天完成。平均每天生產多少臺？等量關系式：（）×天數=計劃生產的總臺數

2.公園里有月季花250盆，比菊花多170盆。菊花有多少盆？

等量關系式：（）-（）=月季花比菊花多的盆數

所以學生能用方程輕松自如地解決問題，關鍵的是引導學生深度分析題目中的數量關系，將一個問題的解決拓展為一類問題的解決，將原型結構上升為教學結構，并弄明白。

在學習用簡易方程解決問題的教學過程中，要逐漸把解方程常用的原型結構——基本的數學代數等式適時教給學生。用簡易方程解決問題基本數學代數等式一般有以下幾種（圖2）：

如：小林騎自行車，每分鐘騎250米，小云騎自行車每分鐘騎200米，小林家和小云家相距4.5千米，周日早上9：00倆人分別從家騎自行車相向而行，兩人何時相遇？學生通過數量關系的分析，要用“小林騎的路程+小云騎的路程=總路程”來找到等量關系，而“小林騎的路程”與“小云騎的路程”都分別要用“速度乘時間”來表示。一路抽絲剝繭，學生自然會找到“ax+bx=c”這個模型來列出方程了。

四、深入本質，多種方式呈現

小學數學解決問題的有四種基本運算意義：用加法解決，用減法決，用乘法解決，用除法解決。如果想學生在解決數學問題時能準確把握，在這四種運算方法最初引入時，老師要給予足夠的重視。遇到有些沒有學好這四種基本運算意義的學困生，他們對于解決高年級的數學問題時，簡直無從入手。解決問題的方法錯誤得千奇百怪，而且離譜。尋根溯源，這些病因許多時是因為最初學習用數學方法解決問題時，對于四種基本運算的意義理解不清，掌握不好引起的。尤其在五年級上冊“用方程解決問題”時，遇到同一道題目，可以有多種等量關系來指導時，由于四種基本運算意義最初學習時，理解得比較模糊，所以他們有心無力，列不出正確的方程式來解決問題。學習列方程、解方程可以體會蘊含其中的建摸思想、化歸思想，作為后面學習解決問題的數學工具。從算式發展到方程，這又是數學思想方法上的一次飛躍。它使學生發現和提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及思維的靈活性提高到一個新的水平。

如：在教學人教版義務教育教科書選擇在五年級上冊第74頁例2（圖3：足球上黑色的外皮都是五邊形的，白色的外皮都是六邊形的。白色皮共有20塊，比黑色皮的塊數的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮？）時，我會把多種的列法都引導學生思考、弄懂。

雖然學生從分析題目的字面上來看，從“白色皮共有20塊，比黑色皮塊數的2倍少4塊。”來分析，學生比較容易列出“2x-4=20”，但是為了學生思維的發展，提高他們解決問題的能力，我們應該幫助學生理解清楚“白色皮的塊數”是小量，“黑色皮塊數的2倍”是大量，它們之間相差“4塊”，學生的思考從模糊走向清晰，自然就會列出另外兩道方程等式了（②2x=20+4③2x-4=20）。

總而然之，數學模型的建立是數學學習的重要方法，是數學學科學習的內在規律，同時也是由學生學習特點所決定的。在具體的教學中，我們要重視培養學生數學建模能力，不斷增強學生的應用意識，讓學生親身參與到概念與定理的形成過程中，提高學生分析問題與解決問題的能力，激活學生的思維，激勵學生創新，從而讓學生在主動思考與探究中掌握建模這一重要數學思想與方法，促進學生數學知識、素養與綜合能力的整體提高。