極限計算中的“泰勒公式法”

劉桂東 鄭玉國 蘇小囡

【摘要】泰勒公式在極限的計算中有著重要的應用，熟練運用泰勒公式在很多情況下可以提高極限計算效率。本文將結合例題對利用泰勒公式計算極限的方法進行深入探討，并詳細解釋泰勒展開公式中“冪次最低原則”的含義。

【關鍵詞】泰勒公式? 極限計算? 冪次最低原則

【基金項目】江蘇高校哲學社會科學研究項目（2021SJA0362）;江蘇省高等學校自然科學研究面上項目（批準號：20KJB110012）資助。

【中圖分類號】O13 ? ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）37-0137-03

一、引言

作為高等數學的基石，極限基本貫穿了整個高等數學[1]。從函數的連續性、可微性到積分、無窮級數，極限無處不在。因此，在理解極限定義的基礎上，如何快速準確計算函數或數列極限也是高等數學的重點和難點之一。極限的計算方法可以大致總結為連續函數定義法;極限四則運算法;夾逼準則法;指數對數法（冪指函數）;定積分定義法;等價無窮小替換和洛必達法則;泰勒（Taylor）公式法 [2-3]。其中洛必達法則可以說是這幾種方法中應用范圍最為廣泛、并且也是相對簡單的方法之一，主要用于“”型、“”型、“0·∞”型、“1∞”型等未定式的計算中。在運用洛必達法則時，一般要先考慮首先采用等價無窮小替換，以簡化極限的表達式，然后對表達式的分子和分母同時求導數。但對于一些復雜的分式極限計算，等價無窮小替換往往是不夠的，而且很容易計算錯誤。例如：計算極限，若采用等價無窮小替換，則分子等價為sin（sinx）-x～sinx-x～x-x，顯然這里等價無窮小替換是錯誤的。

而泰勒公式在這些復雜的極限計算中有著重要的作用，只要知道極限每個部分的泰勒公式，就可以很容易地計算出極限值。

二、泰勒公式

設函數f（x）在x0的某個鄰域∪（x0，δ）內具有直至n∈N+階導數，則當x∈∪（x0，δ）時，有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+…+（x-x0）n+ο（x-x0）n

其中ο（x-x0）n表示（x-x0）n的高階無窮小量，該公式我們稱之為函數f（x）在x0點處的泰勒公式，或者也成為泰勒展開。

若上式中x0=0時，我們就得到了麥克勞林（Maclaurin）公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+x2+…+xn+ο（xn）

因此在計算x→0的極限中，我們就可以利用其麥克勞林公式來替換函數f（x）。

常見初等函數的麥克勞林公式：

ex=1+x++…++ο（xn）

（1+x）α=1+αx+x2+xn+ο（xn）

ln（1+x）=x-++…+（-1）n-1+ο（xn）

sinx=x-++…+（-1）n-1+ο（x2n-1）

cosx=1-++…+（-1）n+ο（x2n）

容易驗證，等價無窮小其實是麥克勞林公式展開到前1～2項所得到的，例如sinx～x就是在麥克勞林公式中取n=1且忽略余項ο（x）所得到的。對于一些復雜極限的計算，等價無窮小替換通常是不夠的，需要展開為更多項的麥克勞林公式。

例1：

分析：該題中顯然是“”型未定式，可以采用洛必達法則分子分母求導，但事實上如果采用泰勒公式法則更為簡單。

a）若將sinx的麥克勞林公式展開到第一項（n=1），即sinx=x+ο（x）代入可得==極限不存在，顯然這是錯誤的。

b）若將sinx的麥克勞林公式展開到第二項（n=2），即sinx=x-+ο（x3）代入可得

==

-·

+

=-

c）若將sinx的麥克勞林公式展開到第三項（n=3），即sinx=x-++ο（x5）代入可得==

-·

+

+

=-

對比上面a）、b）、c）三種方案可以看出，若將sinx展開到第一項麥克勞林公式，則沒有辦法求出正確答案;若展開到第二項或者更多項麥克勞林公式，則可以求出正確結果，但事實上，x3以上的項與分母作商的極限為0，其實不影響極限的計算結果，所以只需要展開到x3項。

三、泰勒公式法冪次最低原則

其實，泰勒公式法也是一種特殊的等價無窮小替換，只是將函數等價為更加復雜的函數：展開項數更多。

由例1可知，在利用泰勒公式法計算極限時，盡管展開項數越多越不容易出錯，但項數越多也就意味著計算越為復雜，其實很多都是冗余項，對極限的結果沒有任何影響。那如何決定泰勒公式中展開項數n呢？我們應該遵循冪次最低原則：將低冪次互相抵消后，所有項取到非抵消項的最低冪次項。我們以幾道例題分別解釋冪次最低原則。

例2：

分析：例題中每一項我們都可以寫出其泰勒公式，例如分子上x2e2x=x2+2x3+…++ο（xn+2）ln（1-x2）=-x2--…-+ο（x2n）

遵循冪次最低原則，x2e2x+ln（1+x2）在利用泰勒公式時，低次冪x2可以互相抵消，但x3項則不能互相抵消。因此，x2e2x取到非抵消項的最低次冪為x3，ln（1-x2）取到非抵消項的最低次冪為x4=ο（x3），因此代入泰勒公式時只需利用：x2e2x=x2+2x3+ο（x3），ln（1-x2）= -x2+ο（x3）即可。同理分母代入xcosx=x-+ο（x3），sinx=x-+ο（x3）得：

==-6

總結可得：對于兩個函數的加減，冪次最低原則為分別將兩個函數展開到非抵消項的最低次冪，即取到非0的最低次冪（例2中為x3）。

例3：

分析：該例題中，分子exsinx為兩個函數的乘積，其中ex=1+x++…++ο（xn）? sinx=x-+…++ο（x2n-1）

此時該如何分別選取其麥克勞林展開項數呢？

同樣，我們也應該遵循冪次最低原則：兩項乘積的低次冪x、x2會和x（1-x）相互抵消，而非抵消項的最低冪次為x3，由于在sinx的麥克勞林展開中最低次冪為x，故我們只需要將指數函數展開為ex=1+x++ο（x3），而在ex的麥克勞林展開中最低次冪為1，所以三角函數需要展開為sinx=x-+ο（x3），這樣才能保證兩項乘積中都能取到非抵消項的冪次最低，即x3。

而對于分母而言，由于冪次不能互相抵消，所以我們只要對其采用等價無窮小替換ln（1+x）-x即可，所以計算結果如下：

=

==

例4：

分析：該例題中sin（sinx）為復合函數，在選擇其泰勒展開項數時也同樣遵循冪次最低原則：將低次冪x抵消后，所有項取到非抵消項的最低次冪x3，剩下的高次冪表示為ο（x3），因此，需要將sin（sinx）=sinx-+ο（x3），并進一步將其中sinx展開為sinx=x-+ο（x3），而中sinx只需要展開到第一項即可，也就是=+ο（x3）。故

==-

總結上面幾個例題發現，無論對于函數乘積或復合函數，在采用泰勒公式法計算極限時，我們都要服從冪次最低原則。

除了上述極限過程為x→0的極限可以采用泰勒公式法外，對于一些x→∞的極限通過使用倒代換t=后，我們同樣也可以采用泰勒公式法。

例5：x3-x2

+

e

-

分析：采用倒代換后上述極限可轉化為，此時對分子采用泰勒公式法，低次冪1，t，t2都可以互相抵消，非抵消項的最低次冪為t3，因此需要將et展開為et=1+t+++ο（t3），而對于只需要展開到第一項即可，因為它的泰勒公式第二項為t6=ο（t3），故=1+ο（t3）。代入計算可得：

==

四、結語

極限的計算非常重要，往往也比較復雜，在高等數學的教學重點和難點內容。本文通過幾個實例，展示了泰勒公式在極限計算中的重要作用，同時也對泰勒公式中展開項數n的選擇給出了分析過程，即冪次最低原則。對于一些復雜的極限，只需要掌握一些常用初等函數的麥克勞林公式，則可以快速簡單求解極限，而且不容易出錯。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編，高等數學第七版（上冊）[M].高等教育出版社，2014.

[2]袁利軍，曾靜.泰勒公式在極限計算上的應用[J].課程教育研究， 2017（21）：246-247.

[3]劉艷. 泰勒公式在函數極限計算中的方法探討[J].教育教學論壇， 2020（28）：328-329.

作者簡介：

劉桂東（1991年1月-），男，江蘇鹽城人，南京審計大學統計與數據科學學院講師，理學博士，主要研究方向是計算數學。

鄭玉國（1976年-），男，漢族，吉林四平人，碩士，南京審計大學統計與數據科學學院講師，研究方向：應用統計、數學建模。

蘇小囡（1984年-），女，漢族，山東泰安人，博士，南京審計大學統計與數據科學學院副教授，研究方向：金融數學、金融統計。