傅里葉變換的“4+2”教學(xué)方法

許 可， 陳沛鉑， 王 玲， 鄧 彬， 萬建偉

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073)

0 引言

在電子信息類本科專業(yè)中，“數(shù)字信號處理”是一門開設(shè)在“信號與系統(tǒng)”[4]課程之后的專業(yè)基礎(chǔ)課程[1～3]。但是在“數(shù)字信號處理”課程的教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往對前修課程的相關(guān)知識點(diǎn)產(chǎn)生了混淆或遺忘，比如學(xué)生認(rèn)為之前已經(jīng)學(xué)過了連續(xù)時(shí)間傅里葉變換和離散時(shí)間傅里葉變換，接下來還會學(xué)習(xí)離散傅里葉變換，不知道這些“傅里葉”是什么關(guān)系？大名鼎鼎的FFT(Fast Fourier Transform)算法，將數(shù)字信號處理從理論研究推向了工程實(shí)踐，那么FFT算法是一種全新的傅里葉變換嗎？

為了更好地銜接學(xué)科基礎(chǔ)課(“信號與系統(tǒng)”)和專業(yè)基礎(chǔ)課(“數(shù)字信號處理”)的相關(guān)知識點(diǎn)，我們采取“4+2”教學(xué)方法來歸納這兩門課程中涉及到的六種傅里葉變換[1,5](如表1所示)。

“4”是指在“信號與系統(tǒng)”課程中學(xué)習(xí)過的4種傅里葉變換，即CTFS，CTFT，DTFS和DTFT。在時(shí)域和頻域，這些“傅里葉”或者是連續(xù)的，或者是無限長的，因此不方便用計(jì)算機(jī)或DSP(Digital Signal Processor)直接處理。

表1 六種傅里葉變換

“2”是指在“數(shù)字信號處理”課程中將要學(xué)習(xí)的2種傅里葉變換，即DFT和FFT。在時(shí)域和頻域，這兩個(gè)“傅里葉”都是離散且有限長的，因此可以用計(jì)算機(jī)或DSP直接處理。

因此，能否通過計(jì)算機(jī)或DSP直接處理，可以作為劃分“信號與系統(tǒng)”與“數(shù)字信號處理”這兩門課程知識點(diǎn)的一個(gè)準(zhǔn)則，也是把這六種傅里葉變換劃分為“4+2”的原因[1,5]。

在課程教學(xué)中還需要特別指出：DFS是DTFS的簡稱，但DFT不是DTFT的簡稱，這算一種約定俗成。因此在有的教材中為了同DFT區(qū)分開，特意把DTFT稱作“離散時(shí)間序列的傅里葉變換”[1,2]。

1 “信號與系統(tǒng)”中的“傅里葉”

可以用三角波和周期三角波為講解對象(見圖1)，復(fù)習(xí)和歸納“信號與系統(tǒng)”課程中講授的四種傅里葉級數(shù)變換。在此的“傅里葉變換”是一種廣義的說法，也就是說無論是“傅里葉變換(Fourier Transform)”，還是“傅里葉級數(shù)(Fourier Series)”，統(tǒng)稱“傅里葉變換”。

圖1左側(cè)表示時(shí)域，右側(cè)表示頻域。在時(shí)域，橫軸表示從連續(xù)時(shí)間信號到離散時(shí)間信號，兩者的轉(zhuǎn)換就是采樣；縱軸表示從周期信號到非周期信號，兩者的轉(zhuǎn)換就是將周期趨向于無窮大。在頻域也有類似的轉(zhuǎn)換關(guān)系，需要注意的是，時(shí)域和頻域的坐標(biāo)定義與方向是不同的。

為了全面理解圖1的內(nèi)涵，需要深刻理解下面兩句話[1,6,7]：

第一句話，傅里葉變換是時(shí)域到頻域的橋梁。

可以看出這四種傅里葉變換都是從左(時(shí)域)到右(頻域)的箭頭，起到了時(shí)域到頻域的橋梁作用。反過來，從頻域到時(shí)域也有橋梁，這就是對應(yīng)的各種傅里葉反變換。

圖1 四種傅里葉變換的關(guān)系

第二句話，一個(gè)域的離散，對應(yīng)另外一個(gè)域的周期延拓。對于這句話，最耳熟能詳?shù)木褪菚r(shí)域采樣定理中的“時(shí)域采樣對應(yīng)頻域上的周期延拓”，結(jié)合圖2，我們還可以更全面的理解這句話：①時(shí)域上的離散(采樣)，對應(yīng)頻域上的周期延拓，即序列的DTFT和周期序列的DTFS，兩者在頻域上都呈周期特性。②時(shí)域上的連續(xù)，對應(yīng)頻域上的非周期，即非周期信號的CTFT和周期信號的CTFS。③時(shí)域上的周期，對應(yīng)頻域上的離散，離散的頻域取值就稱作傅里葉級數(shù)，即周期信號的CTFS和周期序列的DTFS。④時(shí)域上的非周期，對應(yīng)頻域上的連續(xù)，連續(xù)的頻域取值就稱作傅里葉變換，即非周期信號的CTFT和序列的DTFT。

圖2 “周期-離散，非周期-連續(xù)”的對應(yīng)關(guān)系

2 “數(shù)字信號處理”中的“傅里葉”

“數(shù)字信號處理”課程中將要學(xué)習(xí)兩種“傅里葉”，分別是DFT和FFT。無論是在時(shí)域還是頻域，DFT/FFT所處理的信號都是離散且有限長的，這才是能用計(jì)算機(jī)或DSP直接處理的根本原因。需要特別強(qiáng)調(diào)的是：FFT只能算作一種“加速版”的DFT，它不是一種新的傅里葉變換。

對模擬信號經(jīng)A/D采樣并進(jìn)行截?cái)?加窗)處理，成為有限長的時(shí)域離散數(shù)據(jù)，但在頻域其頻譜仍然是連續(xù)且周期的(DTFT)，計(jì)算機(jī)或DSP此時(shí)仍然不方便直接處理。此時(shí)，我們采取“三橫兩縱”的關(guān)系圖來理解有限長序列DFT的推導(dǎo)過程[1](見圖3)。

“三橫”指三種變換關(guān)系，即DTFT、DFS和DFT。仍然可用“傅里葉變換是時(shí)域到頻域的橋梁”，以及“一個(gè)域的離散對應(yīng)另外一個(gè)域的周期延拓”這兩句話來深刻理解這三種變換關(guān)系。并且這三種變換的“進(jìn)化”過程可以輔助理解DFT的周期特性是如何被“隱藏”起來的。

“兩縱”指在時(shí)、頻兩個(gè)域同時(shí)進(jìn)行的操作。在時(shí)域經(jīng)過了“均勻采樣→周期延拓→取主值序列”操作，對應(yīng)于在頻域進(jìn)行的“周期延拓→均勻采樣→取主值序列”操作。通過DFT變換，從時(shí)域的N點(diǎn)樣本序列出發(fā)，得到頻域的N點(diǎn)樣本序列。

圖3 DFT與其它變換關(guān)系示意圖(“三橫兩縱”)

3 結(jié)語

在“數(shù)字信號處理”課程的教學(xué)實(shí)踐中，通過圖表法來總結(jié)歸納前后課程知識點(diǎn)，可以起到事半功倍的作用。我們一般在第2次課就會結(jié)合圖2來復(fù)習(xí)前修課程的知識點(diǎn)，學(xué)生反映他們可以思路清晰、自信滿滿的開始專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。結(jié)合圖3來講授DFT，學(xué)生不僅可以完整的理解DFT的來龍去脈，而且還更深刻的理解了DFT隱含的周期特性。