基于加權l1范數優化的雙基地ISAR稀疏成像算法

薛東方, 朱曉秀, 胡文華, 郭寶鋒, 曾慧燕

(陸軍工程大學石家莊校區, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

雙基地逆合成孔徑雷達(inverse synthetic aperture radar, ISAR)[1-3]繼承了雙基地雷達的獨特優勢,利用收發分置模式增強了系統靈活性,提高了成像概率,對目標的監視、跟蹤、成像與識別以及贏得未來戰爭都具有非常重要的意義[4-6]。

由于雙基地的收發分置特性以及對目標觀測時需要不斷切換波束,在觀測過程中容易引起回波缺失進而造成稀疏孔徑[7-9]。由于ISAR圖像的空域稀疏性[10-12],不少學者將壓縮感知(compressed sensing,CS)理論[13-16]應用到了ISAR成像中,以提高成像質量。在重構算法的選擇上,貪婪迭代類算法雖然原理簡單,易于實現,但重構精度不高,特別是在低信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)條件下,算法的重構性能易受影響。

文獻[17]利用貝葉斯解釋,假設目標圖像各像元稀疏同分布,將ISAR成像問題轉化為最大后驗概率估計問題,并等價于l1范數優化問題進行求解,實現了ISAR圖像重構,在低SNR條件下有較好的聚焦效果和噪聲抑制能力。文獻[18]將該方法應用到稀疏孔徑當中,利用稀疏孔徑數據得到了聚焦良好的ISAR圖像,同時具有有效的噪聲抑制效果。但該算法在實現過程中假設圖像各像元服從獨立同分布的稀疏先驗,即假設目標圖像中的所有元素服從同一Laplace分布,并沒有區分各像元的幅度大小。然而在ISAR成像過程中,目標通常靠近零多普勒成像,由于相鄰散射點具有相近的幅度值,若能利用這種能量聚集和目標的幾何結構特性,必將有效提高成像性能[19]。在貝葉斯估計問題中,如何利用目標信號的特征則表現為如何選擇一個更符合目標特性的先驗模型。為有效利用目標的能量聚集和結構特性,在建立稀疏先驗模型時將目標圖像中的不同元素加以區別,假設它們獨立服從不同的Laplace分布,通過設置不同大小的尺度系數有效區分目標散射中心和噪聲,進一步提高算法的噪聲抑制性能和有效散射點提取能力。

因此,為充分利用圖像的像元信息以提高重構質量,本文提出一種基于加權l1范數約束最優化的雙基地ISAR稀疏孔徑成像算法。首先,假設各像元稀疏非同分布,利用貝葉斯準則和最大后驗概率估計將雙基地ISAR稀疏孔徑成像問題轉化為加權l1范數約束問題,建立成像模型;其次,利用柯西-牛頓算法進行加權l1范數約束最優化問題的求解,實現目標圖像重構,最后利用仿真實驗驗證算法的有效性和優越性。

1 稀疏孔徑成像模型

1.1 雙基地ISAR成像信號模型

雙基地ISAR成像的幾何模型的建立與文獻[20]中相同,假設雷達發射線性調頻信號,脈沖重復周期為Tr,則信號可表示為

(1)

經包絡對齊和相位校正后的雙基地ISAR回波的可近似為

(2)

式中,σP為散射點P的信號復幅度;xP和yP分別為散射點P的坐標;θ(tm)和β(tm)分別為成像期間內的旋轉角度和雙基地角,隨慢時間tm變化。

為了避免雙基地角時變引起越的分辨單元徙動和圖像畸變,需要構造相應的補償相位進行相位補償[21]。構造的補償項為φcomp=exp[j(4πfc/c)yPcosθ(tm)cos(β(tm)/2)],得到相位補償后的一維距離像表達式為

(3)

假設在距離單元(2yP/c)cos(β(tm)/2)內有Q個強散射點,則此單元的回波信號可表示為

(4)

式中,aq為第q個散射點的信號復幅度。

1.2 回波的稀疏表示

假設全孔徑回波信號中共包含L個脈沖視角,累積轉角為Δθ,構造稀疏基矩陣Fall將二維成像場景離散化為N個距離單元和M個多普勒單元,則稀疏基矩陣可構造為

(5)

考慮到實際噪聲的存在,則雙基地ISAR全孔徑回波可稀疏表示為

Sall=FallA+ε0

(6)

式中,Sall表示經過運動補償和相位補償后的全孔徑二維回波數據;ε0為噪聲;A為需要求解的目標圖像。假設在稀疏孔徑條件下,S表示融合的有效孔徑回波數據,共包含J(J

S=TSall+ε=TFallA+ε=FA+ε

(7)

式中,T為有效數據選擇矩陣;F為在稀疏基矩陣;ε為J×N復噪聲矩陣。為方便求解,將式(7)矢量化表示為

(8)

式中,sn、εn和an分別表示第“n”個距離單元對應的回波數據矢量、噪聲矢量和目標圖像矢量。

2 算法實現

2.1 模型轉化

假設ε是復Gaussian白噪聲,其元素隨機且獨立同分布,服從復Gaussian分布,均值為0,方差為σ2,則ε的概率密度函數為

(9)

(10)

為了更好地利用圖像稀疏信息,利用Laplace概率分布表征目標的稀疏性,假設目標圖像各像元amn獨立服從不同的Laplace先驗分布[22],則

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(10)和式(12)代入式(14),可得

(15)

式(15)的目標圖像求解公式表示,通過引入非同分布稀疏先驗模型,即利用Laplace先驗的尺度系數γmn。若散射點幅值較大,則γ值設置較小,以提高其出現大值的可能性,若散射點幅值較小或為噪聲空間,則γ值設置較大,對其實現抑制效果。相比于沒有區分像元幅度大小的l1范數約束最優化算法[17],這種區分了各像元幅度大小的加權l1范數約束最優化算法會帶來更好的成像效果。

2.2 算法求解

要根據式(15)求解得到目標圖像,首先需要求解Laplace先驗的尺度系數γmn,然后再求解l1范數最優化問題。

2.2.1 尺度系數求解

對于尺度系數γmn的取值大小,可用最大似然的方法進行估計,為方便求解,在對數域進行估計,式(12)的對數似然函數為

(16)

對γmn求導并等于零,可得

(17)

得到尺度系數γmn的估計為

(18)

由式(18)可以看出,尺度因子的大小與目標圖像各像元的幅度有關,即加權l1范數約束最優化算法是通過目標圖像中非零元大小來確定權值大小,因此在成像過程中利用了非零元幅度的大小差異,更有利于提高成像精度和抗噪能力。

2.2.2 優化問題求解

基于加權l1范數約束最優化算法主要是對式(15)表示的最優化問題進行求解,可利用柯西-牛頓迭代法進行求解,并采用共軛梯度算法[24]加快收斂速度,下面給出具體的求解過程。

由于式(15)中的l1范數在零點處不可導,首先可對其引入平滑近似[25]:

(19)

式中,?是一個很小的非負常數,則式(15)中的優化問題可近似表示為

(20)

(21)

式中,

(22)

(23)

式中,β為迭代步長。將式(21)代入式(23)并令β=1,可得到目標圖像矢量的估計值:

(24)

3 算法流程

綜上所述,基于加權l1范數約束最優化成像算法實現流程如圖1所示。主要實現步驟如下。

圖1 基于加權l1范數約束最優化算法實現流程

由于加權l1范數約束的權值是由迭代過程中目標圖像的像元幅度決定的,利用較大的尺度系數對噪聲像元進行約束,利用較小的尺度系數對強散射點像元進行約束,能在提高強散射點出現概率的同時對噪聲實現更好的抑制作用。相比于像元稀疏同分布方法而言,能有效提高成像精度和抗噪聲干擾能力,更有利于提高成像質量。

4 仿真實驗與分析

本部分利用兩個仿真實驗驗證加權l1范數約束算法的有效性和優越性。首先,在不同SNR條件下,利用本文所提算法與l1范數約束最優化算法以及貪婪算法中的CoSaMP算法[26]對一維信號進行稀疏重構,通過對比其重構性能,驗證所提算法的優越性。然后,分別利用這三種算法對方位向稀疏孔徑的雙基地ISAR進行成像,以驗證算法的雙基地ISAR成像性能。

4.1 一維信號稀疏重構性能驗證

圖2 不同SNR條件下信號重構結果

可以看出,在SNR=20 dB的情況下,3種算法都能準確地重構出非零元素的位置,但CoSaMP算法所得結果的非零元素幅度值略小于原始值,而l1范數約束最優化算法和加權l1范數約束最優化算法所得結果的非零元素幅度基本與原始值一致。在SNR=10 dB的情況下,CoSaMP算法和l1范數約束最優化算法雖也能準確地重構出非零元素位置,但其幅度值與原始值相差較多,導致重構誤差較大,而且在其他零元素位置會出現幅值較小的虛假點,而此時加權l1范數約束最優化算法所得結果的非零元素幅度仍與原始值基本一致。在SNR=0 dB的情況下,CoSaMP算法和l1范數約束最優化算法受噪聲水平影響較大,重構結果中有大量的噪聲沒有被抑制,出現了較多的虛假點,而且在重構幅度上與原始信號相差較大,導致重構誤差較大,而加權l1范數約束最優化算法仍能較為準確地重構出非零元素的位置和幅度,且噪聲抑制效果較好,體現了算法有較強的抗噪性能。

為進一步比較算法的重構性能,采用均方根誤差均方根誤差(root mean square error, RMSE)衡量信號的重構效果,其定義為

(25)

在3種SNR條件下,利用3種算法恢復信號時的RMSE值如表1所示。可以看出,在相同的SNR條件下,加權l1范數約束最優化算法的RMSE值最小,其次是l1范數約束最優化算法,CoSaMP算法的RMSE值較大。隨著SNR減小,CoSaMP算法和l1范數約束最優化算法的RMSE值增大較多,性能下降較快,而加權l1范數稀疏約束最優化算法的RMSE值變化較小,說明加權l1范數約束最優化算法具有更好的強散射點提取能力和抗噪聲干擾能力。

表1 信號重構的RMSE值

4.2 簡單目標雙基地ISAR稀疏成像性能仿真

4.2.1 仿真場景和參數設置

雙基地ISAR仿真場景如圖3所示,假設雙基地基線長度為400 km,目標在300 km的高度以3 km/s的速度沿基線方向由發射站向接收站勻速運動,運動軌跡為圖中粗橫線所示,成像起點運動軌跡高度上距接收站右側水平距離70 km處。目標的散射點模型如圖4所示,該模型由100個散射點組成,成像的仿真參數設置如表2所示。假設成像觀測時間為10 s,累積脈沖數為500個,在此成像段內雙基地角和累積轉角變化曲線如圖5所示,其中,圖5(a)為雙基地角變化曲線,圖5(b)為累積轉角變化曲線。

圖3 仿真場景

圖4 散射點目標模型

表2 成像參數設置

圖5 雙基地角和累積轉角變化曲線圖

4.2.2 算法的抗噪性能驗證

為比較算法在雙基地ISAR稀疏孔徑條件下的成像性能,利用CoSaMP算法、l1范數約束最優化算法和本文所提的加權l1范數約束最優化算法實現雙基地ISAR稀疏孔徑成像。假設方位向孔徑隨機缺失50%,在SNR為20 dB、10 dB和0 dB條件下分別利用3種算法實現雙基地ISAR稀疏孔徑成像,成像結果如圖6所示。從成像結果可以看出,當SNR較高(如20 dB)時,利用3種CS重構算法均能較好地實現雙基地ISAR稀疏孔徑成像,但隨著SNR降低,基于CoSaMP算法和l1范數約束最優化算法的成像結果質量明顯有所下降,其中利用l1范數約束最優化算法成像結果稍好于CoSaMP算法,而基于加權l1范數約束最優化算法仍能得到較高質量的ISAR圖像,特別是當SNR為0 dB時,利用CoSaMP算法成像時對噪聲抑制能力不強,出現了較多的干擾噪點,嚴重影響成像質量,利用l1范數約束最優化算法成像雖效果比CoSaMP算法較好,但存在“虛影”和少許噪點,成像質量不佳,而加權l1范數約束最優化算法在低SNR條件下仍能得到較好的成像結果。

圖6 不同SNR條件下簡單目標成像結果

為方便直觀比較算法性能,采用目標背景比(target-to-background ratio,TBR)、圖像對比度C和RMSE作為圖像衡量標準,其中TBR、C和RMSE的定義可表示為

(26)

式中,T和B分別表示目標和背景支撐區,將目標能量較為聚集的區域作為目標支撐區,其余單元作為背景支撐區;E(·)表示取平均操作。TBR能有效表征目標圖像的能量聚焦程度,可以評價目標圖像的噪聲抑制能力和聚焦能力,值越大越好;圖像對比度可以評價目標圖像的整體聚焦質量,也是值越大越好;均方根誤差可評價算法的重構精度,值越小表示重構精度越高。利用CS算法重構出的圖像衡量指標值如表3所示。

表3 不同SNR條件下成像結果衡量指標對比

從表3中的數據可以看出,隨著SNR減小,3種算法成像結果的TBR值和圖像對比度值也減小,RMSE增加,且在相同的SNR條件下,利用加權l1范數約束最優化算法所得圖像的TBR值和圖像對比度值最大,RMSE值最小,其次是l1范數約束最優化算法,而利用CoSaMP算法的TBR值和圖像對比度值最小,RMSE值最大,說明在低SNR條件下,利用加權l1范數約束最優化算法能比其他兩種算法得到更高質量的圖像,實現更高精度的重構,體現了本文所提算法的優越性。

4.3 復雜目標雙基地ISAR稀疏成像性能仿真

為進一步驗證算法的成像性能,本小節采用復雜的電磁散射模型進行仿真實驗。

4.3.1 目標模型

采用典型的衛星目標為仿真目標,其計算機輔助設計(computer aided design, CAD)模型如圖7所示。利用物理光學法,獲得目標的電磁散射特性分布數據[27],并利用該數據進行后續的仿真實驗。仿真場景和參數設置與第4.2.1節一致,對回波數據進行平動補償等處理后,可得到如圖8所示的一維距離像和RD算法成像結果。

圖7 典型衛星目標CAD模型

圖8 全孔徑一維距離像及RD成像結果

4.3.2 算法的抗噪性能驗證

利用CoSaMP算法、l1范數約束最優化算法和本文所提的加權l1范數約束最優化算法實現雙基地ISAR稀疏孔徑成像。為比較算法的抗噪性能,假設方位向孔徑隨機缺失50%,在SNR為20 dB、10 dB和0 dB條件下分別利用3種算法實現雙基地ISAR稀疏孔徑成像,成像結果如圖9所示。

圖9 不同SNR條件下復雜目標成像結果

從成像結果可以看出,在相同的SNR條件下,l1范數約束最優化算法的成像結果稍好于CoSaMP算法,而基于加權l1范數約束最優化算法所得的成像結果最好,特別是在低SNR條件下,基于CoSaMP算法和l1范數約束最優化算法的成像結果質量明顯下降,出現了較多的干擾噪點,利用本文所提的加權l1范數約束最優化算法能比其他兩種算法得到更高質量的圖像,重構圖像結果中背景干凈,達到了較好的噪聲抑制效果,體現了所提算法在抗噪性能方面的優越性。

5 結 論

為提高低SNR條件下雙基地ISAR稀疏孔徑成像質量,提出了一種基于加權l1范數優化的高分辨成像算法。在構建先驗模型時,以加權的思想,假設各像元稀疏非同分布,充分利用了雙基地ISAR成像時目標的能量聚集特性和結構特性。在求解時,利用貝葉斯準則和最大后驗概率估計將雙基地ISAR稀疏孔徑成像問題轉化為加權l1范數約束問題,采用柯西-牛頓算法進行求解,實現目標圖像重構。仿真實驗表明,所提算法具有更好的強散射點提取能力和抗噪聲干擾能力,在低SNR條件下能實現更好的稀疏重構。但受實驗條件限制,本文的實驗均是在仿真數據基礎上進行的,下一步需要利用微波暗室測量數據或外場實測數據進一步驗證算法性能。