三種途徑引領學生撰寫數學小論文

■鄭 立

如果說“書讀百遍而義自見”是讀書的最高境界，“眼過千遍不如手過一遍”是鞏固的最高境界，那么“寫作”則是思維的最高境界，是學習的最高層次。語文有“閱讀與寫作”，英語有“聽、說、讀、寫”，無不突出“寫”的重要性。而數學中的“寫”往往被忽略，或被狹義地理解為“寫題目”“寫練習”“寫解答過程”，其實數學也可以有寫作。下面筆者總結實踐中引領學生撰寫數學小論文的三種途徑。

一、“出錯與糾錯”是引領學生撰寫數學小論文的源泉

“錯”有三種情況：一是出題錯誤，二是解題錯誤，三是選項錯誤。出題錯誤在各種教輔資料和教師自編的練習中偶爾出現。對學生而言，這是一種客觀錯誤。遇到題目有錯，學生常常避而遠之，不審題，更不會研究題目。這時，教師應鼓勵學生積極糾“錯”，使“錯題”趨于合理，便于解答。在糾錯中，學生思維活躍，會出現各種奇思妙想，這時如把思考過程完整記錄，稍作加工，便是一篇很有意思的數學小論文。

選項錯誤，有兩種情況：一種是選項自身錯誤，對學生而言，是客觀的；還有一種是學生選擇有誤，這是主觀的。初中數學選擇題有四個選項，其中只有一個選項符合題意，教師要引導學生了解命題人的意圖，注意避坑。對主觀上做錯的學生，要讓其找明錯因，及時糾正，并陳述原因。

解題錯誤也是學生經常發生的主觀錯誤。解題中犯了哪些錯誤？為什么會犯錯？出現錯誤怎樣解決？以后怎樣避免？一連串的問題都可能引起學生思考，從而找到解決問題的途徑和方法。因此，找錯糾錯、辨析真偽的過程，為學生撰寫數學小論文提供了源泉，而數學教師則是不可或缺的挖井人。如，已知，求的值。在解題中需將原方程兩邊同時平方，得到但在接下來的計算中，少數學生會寫成誤把兩數和的平方當作平方和，漏掉一項。為什么會發生這種情況？怎樣預防？歸根結底，是完全平方公式沒有掌握。教師可引導學生回憶完全平方公式的特點，進一步明確兩數和的平方不等于兩數的平方和，兩數差的平方也不等于兩數的平方差。此時，教師要把握機會，及時鼓勵學生把自己的錯因寫成數學小論文，讓學生在錯誤中尋找真知，從而弄清數學公式之間的內在聯系，牢固掌握數學知識。

二、“多解與變式”是引領學生撰寫數學小論文的主陣地

同一題目往往可以用多種方法解決。在教學中，對一些典型題目，教師要積極引導，讓學生嘗試用多種方法解決。“一題多解、舉一反三”反映了學生解決數學問題的能力和水平，既能激發、拓展、鍛煉學生思維，也能讓學生把多種解法整理出來，寫成數學小論文。

變式訓練是培養學生發散思維的一種有效方法，既可以讓學生鞏固已學知識，也可以提高學生對知識掌握的深度和應變能力。變式，不變的是基礎，變的是應用能力的提升。由此可見，“多解與變式”是學生撰寫數學小論文的主戰場與主陣地。

如：某電腦公司2020年一月份的營業額為200萬元，三月份的營業額為450萬元，如果平均每個月的營業額增長率相同，求這個增長率。這題可以設平均每個月營業額的增長率為x，學生很容易列出方程200（1+x）2=450，然后用直接開方法求解即可。等學生解答完，教師再進行變式：某農機廠四月份生產零件50萬個，第二季度共生產零件182萬個。求該廠五、六月份平均每個月的增長率。教師出示題目后，引導學生仔細審題，提問：此題與前題是否一樣？有何區別？區別在哪里？相等關系是什么？應如何列式？經過分析，學生發現兩題同樣涉及月平均增長率問題，區別卻很大。找到了等量關系，就可以設五、六月份平均每個月的增長率為x，列出方程50+50（1+x）+50（1+x）2=182，然后解這個一元二次方程即可。從原題到變式題，學生經歷了比較、分析、探索、嘗試、整合的過程。這時，教師如果及時引導學生把自己的思路歷程有條理地寫出來，就會形成特色鮮明、具有個性化的數學小論文。

三、“百思與頓悟”是引領學生撰寫數學小論文的磨刀石

“難題”往往使學生陷入“百思”而不得其解。但在“百思”中，學生會進行各種嘗試，多個知識點在腦海中交織碰撞，產生一個個火花。學生在大量的推理或演算中，一層一層抽絲剝繭，最終見到“廬山真面目”。即便解答不出來，也是無限接近真知，或離真知還有最后“一公里”。就算反其道而行，學生也經歷了知識回顧、思考探究、推理演算的過程。可見，“百思”是學生攻克難題的利刃，是學生撰寫數學小論文的磨刀石和試金石。

“頓悟”與“百思”密不可分，是學生在思考、解決難題過程中所表現出來的一種應急機智，是瞬間爆發的靈感。“頓悟”往往能幫助學生順利答題，使難題迎刃而解。或許有些“頓悟”無助于答題，但在學生腦海里埋下了“善思”的火種。因此，有選擇地將“頓悟”進行整理加工，也會形成質量不錯的數學小論文。

如：已知等邊△ABC的邊長為a，分別以A、B、C為圓心，為半徑的圓 兩 兩 相 切 于 點O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O1O3圍成的圖形面積S（圖中陰影部分）。

遇到這種題目，乍一看無法下手，很多學生會陷入思考中，短時間內很難有結果。隨著思考的持久深入，有的學生會將圖中陰影部分面積想方設法轉化成規則圖形來求；有的學生會用△ABC的面積減去三個扇形的面積；有的學生會將三個扇形拼成半圓，再用△ABC的面積減去半圓面積。諸如此類的“頓悟”都是積極可行的，值得學生去嘗試。教師要有意識地引導學生將解題時的“頓悟”付諸筆端，一篇數學小論文也就水到渠成了。

總之，通過“出錯與糾錯”“多解與變式”“百思與頓悟”三種途徑，教師因勢利導，學生才會多多練習，積極嘗試撰寫數學小論文。在撰寫數學小論文的過程中，學生的思維得到提升，知識得到升華，條理更加清晰，思路更加開闊，從而達到以學促寫、以寫促學的目的。