感知 規則 應用
——“合并同類項”教學過程分析

■謝蓓蓓

本節課是蘇科版數學教材七年級上冊第三章第四節的第一課時。本章內容從生活中引入代數式，以代數式的認識、運算以及應用為主線展開研究。合并同類項是本章的重點，其法則的應用是整式加減的基礎，也是以后學習解方程、解不等式的基礎。另外，合并同類項其實是有理數運算的延伸與拓展，是簡化數學運算的常用方法，對于解決一些實際問題和進一步學習有著深遠的意義。因此，這節課具有承上啟下的作用。

一、從整體到部分，感受知識的必要性

建構主義認為，學生的學習應該建立在已有知識經驗的基礎上，教師需要為學生創設學習情境，以幫助者和促進者的身份引導學生主動發現、合作交流，從而獲得新知識和新經驗。

筆者將教材中計算學校校園占地面積的生活情境轉化為數學內部的情境，分為以下幾個問題。

問題1：在第二章，我們認識了有理數，學習了有理數的運算以及應用。類比有理數的學習過程，你覺得下面我們該怎樣研究代數式呢？

問題2：3a+2a可以計算嗎？

問題3：3a+2b可以計算嗎？

問題1是希望學生感受數與式之間的聯系，體會類比的數學思想，從整體的角度建立式類知識的研究路徑。教師可以繼續追問學生：該如何研究代數式的運算呢？此時，可以引導學生從運算分類的角度以及從簡單到復雜的角度進行思考，從而確定研究的方向：從單項式的加法入手。

對于問題2，學生在已有知識經驗的基礎上，容易得出結果為5a，而教師此時一定要讓學生說出自己的想法。在實際教學中，學生會有很多想法：有的學生會說3份a加2份a應該是5份a，他們其實是從物化的角度出發，聯系生活實際進行思考的；有的學生則是提出可以利用乘法分配律將3a+2a寫成（3+2）a。此時，教師更要引導學生從圖形的角度來認識3a和2a，3a可以看作是邊長分別為3和a的矩形，2a可以看作是邊長分別為2和a的矩形，它們可以拼成邊長分別為5和a的矩形（圖1）。

圖1

接著，筆者提出問題3，引發學生積極思考，激發他們從不同的角度去說明3a和2b是不可以相加的，讓學生生出單項式要分類的需求。

二、從感性到理性，感受知識的合理性

問題4：你能將下列單項式分類嗎？說說你的理由。

（1）0；（2）a2；（3）-20a2；（4）-0.5x2y3；（5）（6）5x2y3。

問題5：你覺得什么樣的單項式可以分為一類？

對于問題4，教師在課堂上應該給學生獨立思考的空間，讓他們可以根據自己的感知進行分類。學生通常有兩種分類方法：第一種是根據單項式中有無字母，將（1）（5）分為一類，（2）（3）（4）（6）分為一類；第二種則是在前面分類的基礎上，再根據字母的特征將（2）（3）和（4）（6）分開。學生在表達想法的同時體會了分類的數學思想，培養了數感。

到這里，學生已經對同類項的概念有了感性的認識。于是筆者接著追問：你覺得單項式2x3y2能和以上6個單項式中的哪些單項式分為一類？此時，學生的目光必定集中在（4）（6）這一類上，但是馬上又能發現2x3y2和5x2y3的字母x和y的指數是不一樣的，引發新的思考和判斷。在學生思考的同時，筆者繼續追問：你能說出一些和（4）（6）是一類的單項式嗎？學生在剛剛思考的基礎上很快就能舉出例子。最后，通過問題5，讓學生總結、補充，逐步明晰同類項的判斷標準。

在剛才的探索中，學生已經對同類項的概念有了自己的感悟，接下來就是要將自己的感悟表達出來，從而歸納出同類項的概念：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，另外，幾個常數項也是同類項。此時，筆者提出以下問題。

問題6：下列各組單項式是同類項嗎？

（1）a與ac；（2）3x2y與-xy2；（3）a2與-2a2；（4）23與-a3；（5）500與-1；（6）ab與ba；（7）b2a與a2b。

對于概念的教學，我們通常都是先創設出生活或數學的情境，然后與學生一起發現概念，再通過正例或反例辨析概念，明確概念的內涵和外延。所以，筆者提出了問題6。在實際教學中，學生對于（6）和（7）的辨析有些疑惑，而學生的糾結點就是教師最好的出發點。故筆者追問學生：你是如何思考的？學生通常會從同類項的概念或者乘法分配律的角度進行解釋，也有學生受到之前的啟發，從圖形的角度來表達。比如ab可以看作是邊長分別為a和b的矩形，ba可以看作是邊長分別為b和a的矩形，它們是同一種圖形（圖2）；b2a可以看作是底面邊長為b、高為a的長方體，而a2b可以看作是底面邊長為a、高為b的長方體，它們不是同一種圖形（圖3）。

圖2

圖3

學生通過思考一系列層層深入的問題，在觀察、思考、歸納和辨析的過程中，從感性到理性的角度逐步感悟同類項的概念。在教學中，教師應該有意識地幫助學生體會數形結合等數學思想，提升直觀想象等核心素養。

三、從認識到運用，感受知識的一致性

教師在前面學習的基礎上提出新問題。

問題7：下列式子能運算嗎？如果可以，請說出運算結果。

（1）a2+2a2；（2）-x2y3+4x2y3；（3）3x2y-xy2；

（4）2ab-ac。

問題8：你能總結歸納出單項式加法法則嗎？

問題9：請嘗試計算2a2-3ab+5-2a2-3ab-7。

學生通過問題7的運算，再次思考，并明確什么樣的單項式才能相加。筆者通過問題8，讓學生歸納出單項式的加法運算可以分為同類項相加和非同類項相加兩種類型，如果是非同類項，則不能合并；如果是同類項，則將同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變，并指明這就是合并同類項的法則。最后，筆者利用問題9，讓學生嘗試利用合并同類項的法則進行整式的加減運算，提高學生的應用能力。教師在學生分享自己的做法時，可以讓學生讀讀題目，類比有理數的運算，將減號看作是省略加號的符號；可以利用投影，對學生的作業進行修改，規范解題過程；可以多關注運算有差錯的學生，將個別輔導和合作糾錯落到實處。接下來，筆者再給出一道練習“，要求學生獨立完成，以提高學生的運算能力。

合并同類項法則的應用是整式加減的基礎，也是以后學習解方程、解不等式的基礎。而合并同類項的法則是建立在數的運算的基礎之上，因此，教師需要適時引導學生在學習過程中建立數與式的聯系，感受數式通性，體會知識的一致性。

四、從當下到未來，感受知識的延伸性

至此，學生對同類項的概念以及合并同類項的法則已經有所掌握，并且對合并同類項在單項式運算中的地位有了一定的認識。因此，教師可以在學生小結本節課收獲的基礎上提出最后一個問題。

問題10：你覺得以后我們還會學習什么知識？

這個問題給了學生更為廣闊的思考空間。教師可以引導學生從運算方式的角度或者從簡單到復雜的角度思考、交流、表達，逐步完善式類知識的結構，展望冪的運算、單項式和多項式以及多項式和多項式的運算、分式的運算等知識，讓學生對未來的學習充滿期待。