數形結合的完美體現
——淺析四個“一次”之間的關系

黃 峰

(江蘇省泰興市實驗初級中學 225400)

一次函數圖象上的點與有序實數對 (x、y) 之間的對應關系，一次函數與二元一次方程之間的關系，一元一次不等式, 一元一次方程和一次函數之間的相互關系.這四個“一次”是有著緊密聯系的.但對于這四者之間究竟存在一個什么樣的關系, 學生就感到非常茫然了，下面我想就這方面的問題談談個人膚淺的認識:

一、深入了解一次函數

破析一次函數，是弄清它們之間關系的關鍵所在，蘇科版初中數學教材八上第6章6.1給出的函數的定義是:一般地，在一個變化過程中的兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應, 那么我們稱y是x的函數，x是自變量.6.2給出了一次函數的數學表達式是y=kx+b(k,b是常數，且k≠0) , 特別地，其b=0時就是正比例函數, 通過該表達式更能體現x和y的一一對應關系, 只要確定了x(y) , 就能確定唯一的y(x) 與之對應.在初中數學中x和y組成了一對有序實數對(x,y).6.3學習了一次函數的圖像.通過列表、描點、連線, 發現了一次函數是一條直線，正比例函數是過原點的直線.通過觀察圖像, 我們知道了一次函數圖像的性質：如果k>0, 那么函數值y隨自變量x增大而增大；如果k<0,那么函數值y隨自變量x的增大而減小.一次函數y=kx+b的圖像可以由正比例函數y=kx的圖像向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到.

二、四個“一次”之間的關系

一元一次方程、二元一次方程 (組)、與一元一次不等式(組)側重于從數的方面解決問題, 而一次函數的圖象側重于從形的方面解決問題.我們在實際應用時，往往是數形結合, 相輔相成.

1.一次函數與二元一次方程(組)之間的關系

例1請在方格紙上畫出一次函數y=2x+4的圖像.

第一步：列表，恰當地選取自變量x的幾個值，計算函數y對應的值；

x…-3-2-101…y…-20246…

第二步：一次函數圖像上可以取到無數多個點.我們把表中各對x,y的值為點的坐標：(-3,-2),(-2,0),(-1,2),(0,4),(1,6)，在平面直角坐標系中描出相應的點.

第三步：順次連接描出的各點.

例2已知直線y1=2x-4與直線y2=-2x+8的圖像，求出交點坐標.

圖1

一個二元一次方程就是一個一次函數，一個一次函數就是一條直線，一條直線上有無數個點，每一個點對應一個坐標，每一個坐標就對應一個解，無數個點就對應著二元一次方程的無數個解.而另一條直線也是這樣的.所以這兩個一次函數圖像的這個交點就是無數個點中的特殊一個，交點坐標同時滿足兩個一次函數表達式成立，也就是同時滿足對應的兩個二元一次方程所組成的方程組成立，所以二元一次方程組的解就是所對應兩個一次函數圖像的交點坐標.反過來，如果我們知道兩個一次函數圖像的交點坐標，就可以直接得到對應的二元一次方程組的解.這兩種方法一種是數，一種是形，充分體現了數形結合的好處.

2.一次函數與一元一次方程之間的關系

例3如圖2，觀察一次函數y=2x+4的圖像，回答下列問題：

圖2

(1)一次函數圖像與x軸的交點坐標是什么？

解析通過圖像我們可以直接讀出交點坐標是(-2,0)，我們之前的學習已經知道一次函數圖像與x軸的交點縱坐標為0 ，在這里我們可以令y=0,得出它所對應的一元一次方程2x+4=0來驗證這個點的橫坐標是不是-2.

(2)在一次函數圖像上我任意找出一個點的縱坐標為6，你能說出這點的橫坐標嗎？

解析第一種方法，借助圖像，我們可以通過這點作x軸的垂線段去確定這點對應的橫坐標.第二種方法，可以令y=6，得出它所對應的一元一次方程2x+4=6，來確定這點的橫坐標.

3.一次函數與一元一次不等式(組)之間的關系

例4如圖2，觀察一次函數y=2x+4的圖像，回答下列問題：

(1)在一次函數的圖像上，當函數值y>0時，位于圖像上哪一部分，此時自變量的取值范圍是多少？

解析通過圖像，我們可以發現函數值y>0圖像位于x軸的上方，自變量x的取值范圍是x>-2;我們也可以通過它所對應的一元一次不等式2x+4>0來確定它的自變量x的取值范圍.

(2)在一次函數的圖像上，當自變量x>0時，位于圖像哪一部分，此時函數值y的取值范圍是多少？

例5已知函數y1=2x-4與y2=-2x+8的圖像，觀察圖像并回答問題：

(1)x取何值時，2x-4>-2x+8？

解析本題若從數的角度可作如下思考:解不等式2x-4>-2x+8, 得x>3.而從形的角度就簡單多了, 不等式2x-4>-2x+8就是y1>y2, 在直角坐標系中尋找y1的圖象在y2圖象之上的區域, 顯然為x>3.

(2)x取何值時，2x-4≥0與-2x+8≥0同時成立？

由以上論述可知, 一元一次函數與二元一次方程(組)、一元一次方程、一元一次不等式(組)之間是相互聯系，相互滲透的, 如果我們樹立數形結合的理念, 在解決問題時或數或形或數形結合, 那么在解決相關問題時必能做到快速準確，融會貫通、游刃有余.