反證法在中學數學證明中的應用

高 濤

(云南省昆明市云子中學長豐學校 650000)

在中學數學證明過程中，我們可能會用到很多不同的方法.其中，從命題和問題結論的反面出發，并依據推理規則進行推演，引出矛盾，從而獲得原命題成立的結論，這樣的證明方法稱之為反證法.反證法不僅是一種證明方法，還是一種思維方式；其獨特的證明方法和思維方式對培養一個人邏輯思維能力(特別是逆向思維能力)和創造性思維能力有著重大的意義，是鍛煉一個人思維的多樣性、敏捷性、靈活性的極好素材，所以對反證法的教學研究是極有必要的.

在中學數學的證明題中，有些問題用直接法很困難，或直接證明不出來，此時反證法在這些數學題目的證明中就起著非常重要的作用.為此，本文分析反證法的原理和邏輯基礎，并選取一些在證明中宜用反證法證明的實例，用相應的反證法予以解決.

一、反證法的邏輯基礎和證明步驟

1.反證法的原理

反證法是在中學數學證明過程中基礎應用的方法之一，其邏輯基礎就是矛盾律和排中律.所謂的矛盾律是指，人們在同一思維過程中，對兩個反對或矛盾的判斷不能同時承認它們都是真的，其中至少有一個是假的；排中律則是指，同一對象在同一時間內和同一關系下，或者是具有某種性質，或者是不具有某種性質，二者必居其一，不能有第三種情形.

2.運用反證法的步驟

在中學數學證明的過程中，運用反證法證明命題的一般步驟為：

(1)提出假設(反設)：作出與求證結論相反的假設.

(2)推出矛盾(歸謬)：所推出的矛盾包括與題設矛盾、與假設矛盾、或者得到恒假命題(與定理、公理矛盾)等.

(3)肯定結論：根據推出的矛盾可以說明提出的假設(反設)不成立，從而能夠肯定原命題是成立的.

從上述步驟可知，可以把反證法的證明模式概括為“否定→推理→否定”，即從否定的結論出發，經過一系列正確的推理后得到矛盾的邏輯結果，從而達到新的否定，也就是“否定之否定”.

3.使用反證法應注意的問題

在用反證法的過程中，我們也需要注意一些相關問題.比如，證明中第一步的反設，是對所要證明的結論的否定，而不是也不能否定命題的已知條件，否則證明就無從入手或者就得不到想要的結果；同時，在進行反設時，需要掌握結論反面的全部情況并進行分析，而不能有任何的遺漏，否則所應用的反證法就可能無效.

二、反證法在中學數學證明問題中的應用

數學命題的證明，雖然在一般情況下用直接法，但是，當用直接法比較麻煩或比較困難甚至不可能時，往往采用反證法.因此，反證法確實有其廣泛的應用，我們就從數學的不同分支出發，分別介紹反證法在幾何、代數等不同數學分支中的應用.

1.反證法在平面幾何中的應用

平面幾何中的角相等、角不等、線相等、線不等、線平行、點共線、包含關系等問題，常?？梢杂梅醋C法來證明.

圖1

例1如圖1，已知四邊形ABCD，以各邊為直徑向四邊形內作半圓.求證：ABCD內的任一點至少被一個半圓所包含.

證明：假定四邊形ABCD內有一點P不被任一半圓所包含，連結PA、PB、PC、PD，則根據性質可知

∠APB<90°,∠BPC<90° ,

∠CPD<90°,∠DPA<90，

∴∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

這和一個周角等于360°相矛盾，故原命題成立.

這類問題屬于“至多”與“至少”命題，常用“至多……”、“至少……”、“最多……”、“最少……”、“不多于……”、“不少于……”等形式來表示.這種命題如果用直接法來證明難以下手時，可以采用反證法來證明.

2.反證法在解析幾何中的應用

反證法雖然主要是在平面幾何教材中出現的，但并不是反證法在解析幾何中沒有它的意義，事實上，不少解析幾何題也須應用反證法來證明.

例2求證拋物線沒有漸近線.

證明：設拋物線方程為

y2=2px(p≠0).

假定該拋物線有漸近線，則漸近線的方程必是

y=ax+b(a、b皆不為0).

因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

的兩組解的倒數都是0.

將y=ax+b代入y2=2px得

a2x2+2(ab-p)x+b2=0

①

設x1、x2是①的兩個根，由韋達定理得

②

③

由②、③可推得p=0，而這與假設p≠0矛盾.

因此，拋物線沒有漸近線.

這類問題屬于“否定式”命題.“否定式”命題的結論常用“不……”、“沒有……”、“不是……”、“不可能……”等形式來表示，這類問題用反證法來證往往容易奏效.

3.反證法在代數中的應用

反證法不僅在幾何中有其應用，而且在代數中也有著廣泛的應用.

例3在不等邊三角形中，三角與三邊可否同時成為等差數列？

解不能.用反證法來證明：

∵A+B+C=180°，

由①可得B=60°，A+C=120°.

由②和正弦定理可得

2RsinA+2RsinC=2×2RsinB,

即sinA+sinC=2sinB.

于是有A=B=C=60°.

故△ABC為等邊三角形，這與已知條件相矛盾.

∴不等邊三角形的三角和三邊不能同時成等差數列.

這類問題屬于“判斷式”命題.“判斷式”命題的結論常用“是不是”、“能不能”、“會不會”、“怎樣”等形式來表示，它一般可轉化為肯定性命題或否定性命題，并且有時也可用反證法來證明.

總之，反證法在證明和研究中學數學不同方面的問題過程中都有著它特殊的作用.鑒于這種情況，在中學階段向學生介紹一些應用反證法證明的題目和問題，逐步培養應用反證法解決問題的能力，是很有必要的，很有益處的.

數學是一門非常嚴密的學科，它具有其獨特的思維方式和邏輯推理系統，在解決數學問題時，需要學會多角度地尋找解決方法，多層次的掌握數學的基礎知識，充分發揮個人的數學思維能力.在中學數學證明過程中，利用反證法來發展和培養學生的逆向思維和發散思維，可以有利于逐步提高學生的數學能力、思維能力和解決數學問題的能力.