淺談函數的連續性

趙雪蕾 韓 嬌

（商丘工學院，河南 商丘 476000）

在現實世界中，植物的生長，氣溫的變化等許多現象不僅是運動變化的而且運動變化的過程都是連續不間斷。這種現象反應在函數上，就是函數的連續性。函數的連續性是函數的一個重要性質。函數的連續性對于后續研究函數的可導性，可積性有著重要的作用。我們知道可導的函數一定是連續的，連續函數一定是可積的，連續函數一定有原函數，閉區間上的連續函數一定有最大值與最小值。從幾何角度看，函數圖像是連綿不間斷的，我們就說函數是連續的。連續函數的特征是，當自變量變化趨向于零時，因變量的變化也趨向于零。根據函數連續性的定義，又可以得到左連續和右連續的概念。我們知道連續的對立面是不連續，或稱為間斷的。對于不連續的函數，我們稱函數是不連續的，或者稱函數是間斷的。導致函數不連續的點，稱為間斷點或者不連續點。根據左右極限是否都存在，間斷點又分為第一類間斷點和第二類間斷點。

一元函數的連續性與一致連續性是研究二元函數連續性和一致連續性的基礎。函數的一致連續性相對于連續性而言是一個整體的概念，連續性相對于一致連續性而言是一個局部的概念。數學分析，高等數學等各教材都給出了函數連續性和一致連續性的定義。對于一元函數，我們可以用定義判斷函數的一致連續性，在有限閉區間上也可以用康拓定理來判斷函數的一致連續性。但是用定義判斷函數一致連續性有時候會太過復雜，而康拓定理又有一定的局限性。這里對于各種區間總結給出了函數一致連續性的判定方法。并且給出了二元函數連續和一致連續的概念，總結了判斷二元函數一致連續的定理和需要注意的地方。

1 函數連續性的定義

設函數f(x)為定義在區間I上的函數，對于任意小的正數ε，存在正數，使對任意x0∈I，當，則稱函數f(x)在區間I上連續。

2 函數一致連續的定義

設函數f(x)為定義在區間I上的函數，若對于任意小的正數ε，存在正數δ，使得區間I內的任意兩點x1、x2，只要都有則稱函數f(x)在區間I上一致連續。

3 函數連續與一致連續的關系

連續與一致連續有著緊密地聯系，又有著本質的區別。函數連續是考察函數在一個點的性質，連續函數的ε與δ有關還與x0有關，對于不同的x0，δ的大小會不一樣（一般在圖形較陡的地方，δ就越小）。一致連續是整體概念，定義中的δ對定義域內所有的x都成立。我們可以得到只要函數在區間內每一點都連續，則函數在此區間上連續。但是對于一致連續性不僅要求函數在這個區間的每一點都連續，還要求函數的連續性是“一致”的。在區間上一致連續的函數一定連續，反之在區間上連續的函數不一定一致連續。例如反比例函數在區間(0,1)上是連續的，但是不一致連續的。

對一致連續性概念的理解要注意以下兩點：

1）函數在區間上一致連續與連續的區別與聯系；

2）函數一致連續的實質，是區間上任意兩個充分靠近的點的函數值的差可以任意小。

4 函數一致連續性的判定

4.1 有限區間上

命題1：康拓定理（又稱一致連續性定理）：函數在有界閉區間上連續，則函數在區間上一致連續。

命題2：定義在區間上的函數一致連續的充分必要條件是區間內的兩個數列，兩個數列差的極限為零則作用在這兩個數列上的函數值差的極限為零。

命題3：設函數在區間上滿足利普希茨條件，則在區間上一致連續。

命題4：函數在有限開區間上一致連續的充分必要條件是函數在該區間上連續，且在區間端點是單側連續的。

總結：判斷一元函數一致連續性可以用定義，也可以用康托定理，但是很多時候要判斷一個一元函數是否一致連續用定義是很麻煩的，而康托定理的局限性是只能用在閉區間上，對有限開區間和無數開區間都無法判斷。阻礙一元函數連續性變為一致連續性的情況有以下兩種：

1）對于有限開區間，這時區間的端點可能破壞一元函數的一致連續性。

2）對于無限區間，這時在區間無窮遠處也可能破壞一元函數的一致連續性。

即使這樣，只要我們在區間的端點和區間無窮遠處附加一定的條件也可以把函數的一致連續性推廣到有限開區間和無限區間。下面我們來討論在無窮區間上一元函數的一致收連續。

4.2 無窮區間上

命題4.2.1 若函數在無限區間上滿足利普希茨條件，那么在區間上一致連續。

命題4.2.2 若函數是實數域上的連續周期函數，那么該函數在區間實數域上一致連續。

命題4.2.3 若果函數在實數域上連續，且在正負無窮大處函數的極限都存在，那么該函數在實數域上一致連續。

命題4.2.4由兩個連續函數復合得到的函數，在相應點也是連續的。

命題4.2.5 設函數在區間[b,∞]上連續，此函數在區間[b,∞]上一致連續的充要條件是區間[b,∞]上存在一個另一個一致連續的函數，且兩個函數的差在無窮遠處極限為零。

命題4.2.6 若函數在區間[a,∞]上連續，在無窮遠處有漸進線，則函數在區間[a,∞]上一致連續。

命題4.2.7 函數在區間[a,∞]上可導，且函數值的絕對值不大于1，則在此區間上一致連續。

由4.2.7知正弦函數在實數集上一致連續。同理可證余弦函數、冪小于1的冪函數、對數函數、反正切函數都在實數集上一致連續。

命題4.2.8函數在[a,∞]上連續，且在無窮遠處極限存在，則函數在[a,∞]上一致連續。

以上我們總結了一元函數的連續性與一致連續性的區別與聯系，總結論述了一元函數一致連續性在有限閉區間、有限開區間、無限區間的判定方法。下面我們就一元函數的連續性和一致連續性推廣到二元函數上來。

5 二元函數的連續性的定義

二元函數的連續性定義：設函數f(x)定義域為點集是點集D聚點或孤立點，動點p(x,y)∈D;如果任意小的正數ε，存在正數有兩點的函數值差任意小，成立則稱函數f關于集合D在點p0連續。（相對連續），特別的當點p0是內點時，稱函數f在點p0連續（全面連續）。

6 二元函數的一致連續性定義

二元函數的一致連續性定義：設f是定義在點集二維實數域內某點集上的二元函數，任意小的正數ε，存在正數，使得點集內的任意兩點p,q，只要ρ(p,q)＜δ,就有則稱函數f在D上是一致連續的。

注：設函數是定義在二維實數域內某點集上的二元函數，如果函數在該點集上一致連續，那么其一定在該點集上一致連續。

7 二元函數一致連續性的判定定理

7.1 二元函數一致連續性的判定定理

引理7.1.1 設函數在凸區域上偏導數有界，則函數在凸區域上一致連續。

引理7.1.2 設函數在閉區間上連續，那么函數在區間上一定一致連續。

引理7.1.3 設函數在有界開區域一致連續的充分必要條件是函數在區域內上連續，當兩個自變量趨于區域邊界上的任意兩點，都有函數的極限存在。

引理7.1.5 兩個在其各自定義域上一致連續的函數，它們的和在兩個定義域的交集上也一致連續。

推論 設有有限個函數在它們各自的定義域上一致連續，則在這些定義域的交集上，這有限個函數的線性組合也一致連續。

命題7.1.1 兩個在其各自定義域上一致連續的函數，它們的差在兩個定義域的交集上也一致連續。

命題7.1.2兩個在其各自定義域上一致連續并且有界的函數，它們的乘積在兩個定義域的交集上也一致連續。

7.2 二元函數一致連續性幾個需要注意的地方

注1 引理1 強調一定要在凸區域上，否則函數在區域上導數有界不一定在此區域上一致連續。

注2 設函數在無限區間二維實數域上連續且有界，函數在二維實數域不一定一致連續；函數在二維實數域一致連續，函數在二維實數域上不一定有界。

注3 設函數在有界閉區域上的方向導數有界，則函數在區域上一致連續；反之若函數在區域上一致連續，方向導數不一定有界。

連續函數結論的幾點補充：

1）對于在一點連續的有限個函數，它們的和、差、積、商（分母不為0）都在這一點連續。

2）基本初等函數在其定義域內是連續的，一切的初等函數在其定義域內區間上都是連續的。

3）閉區間上的連續函數有零點定理與介值定理。

4）一個區間上連續的函數，如果是單調的，則這個函數的反函數在相應的區間上也是連續的并且具有相同的單調性。