基于Matlab仿真的窗函數(shù)陣列加權(quán)性能分析

劉 詠，顧力偉，韓光威

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

窗函數(shù)在數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)中作為截取函數(shù)對(duì)被研究的信號(hào)進(jìn)行截?cái)喾治觯軌蛴行У販p少頻譜能量泄漏。而在相控陣技術(shù)中,窗函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)被應(yīng)用于相控陣天線方向圖的副瓣抑制方面，能夠有效地改善副瓣的性能。因此研究窗函數(shù)對(duì)數(shù)字信號(hào)處理和相控陣陣列加權(quán)都有著重要意義，而Matlab作為最先進(jìn)的數(shù)學(xué)仿真運(yùn)算軟件，本身就具有豐富的窗函數(shù)語(yǔ)言及強(qiáng)大的仿真計(jì)算能力，因此本文通過(guò)Matlab仿真研究了窗函數(shù)及陣列加權(quán)函數(shù)的特性[1]。

1 窗函數(shù)的意義

在數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)領(lǐng)域中，通過(guò)傅里葉變換研究信號(hào)整個(gè)時(shí)間域與頻率域的關(guān)系，但是當(dāng)工程上真正去實(shí)現(xiàn)時(shí)是不可能對(duì)整個(gè)無(wú)限時(shí)長(zhǎng)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量運(yùn)算的，實(shí)際上處理的是截取有限時(shí)長(zhǎng)的信號(hào)片段再進(jìn)行周期延拓處理所得到的虛擬的無(wú)限時(shí)長(zhǎng)信號(hào)，而這個(gè)被用來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截取的截取函數(shù)就叫窗函數(shù)[2]。事實(shí)上信號(hào)截取會(huì)產(chǎn)生頻譜能量泄漏，而快速傅里葉變換(FFT)計(jì)算頻譜會(huì)產(chǎn)生柵欄效應(yīng)，我們只能通過(guò)使用不同的窗函數(shù)對(duì)這2種不可消除的誤差影響進(jìn)行抑制。

在相控陣技術(shù)領(lǐng)域中，一般情況下的相控陣輻射方向圖中主瓣左右兩側(cè)對(duì)稱的功率值最高的第1副瓣與主瓣功率的差值不能滿足我們對(duì)相控陣?yán)走_(dá)的應(yīng)用需求，因此通過(guò)對(duì)相控陣陣列面上的電流分布進(jìn)行陣列加權(quán)(加窗)來(lái)實(shí)現(xiàn)降低旁瓣電平在陣列中部輻射較多功率而在兩端邊緣輻射較少功率的目的。用于陣列加權(quán)的加權(quán)函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是窗函數(shù)的一種重要應(yīng)用。

2 窗函數(shù)的仿真分析

2.1 矩形窗

矩形窗是一種時(shí)間變量的零次冪窗，是窗函數(shù)中使用最多的，在工程應(yīng)用中我們習(xí)慣性的稱不加窗，實(shí)際上就是對(duì)信號(hào)使用了矩形窗[3]。矩形窗的特點(diǎn)是主瓣窄，旁瓣大，有負(fù)旁瓣，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低。矩形窗的函數(shù)式為：

(1)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)矩形窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖1所示。

圖1 矩形窗仿真圖

2.2 三角窗(Fejer窗)

三角窗又稱費(fèi)杰窗(Fejer窗)，它是冪窗的1次方形式，可以看做是2個(gè)矩形窗的卷積。三角窗的特點(diǎn)是主瓣更寬(約是矩形窗主瓣的2倍)，旁瓣更小且無(wú)負(fù)旁瓣，這意味著三角窗頻率識(shí)別精度低于矩形窗，幅值識(shí)別精度高于矩形窗。三角窗的函數(shù)式為：

(2)

事實(shí)上三角窗與巴特利特窗非常類似，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)有Bartlett(n+2)中間部分等于Triang(n)；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，三角窗的傅里葉變換總是非負(fù)數(shù)，巴特利特窗的傅里葉變換總是負(fù)數(shù)。假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為49，使用Matlab對(duì)三角窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖2所示。

圖2 三角窗仿真圖

2.3 漢寧窗(Hanning窗)

漢寧窗(Hanning窗)又稱升余弦窗，可以看作是3個(gè)矩形窗的頻譜之和。漢寧窗的特點(diǎn)是對(duì)主瓣進(jìn)行加寬，旁瓣減小，雖然能量泄漏較少，但是頻率分辨力下降。漢寧窗的函數(shù)式為：

(3)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)漢寧窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖3所示。

圖3 漢寧窗仿真圖

2.4 海明窗(Hamming窗)

海明窗(Hamming窗)也是余弦窗的一種，可以稱為改進(jìn)的升余弦窗，它與漢寧窗的區(qū)別在于加權(quán)系數(shù)的不同。海明窗的特點(diǎn)是其加權(quán)系數(shù)相比漢寧窗縮小旁瓣能力更強(qiáng)[4]。海明窗的函數(shù)式為：

(4)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)海明窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖4所示。

圖4 海明窗仿真圖

2.5 泰勒窗(Taylor窗)

泰勒窗(Taylor窗)是一種基于泰勒公式展開(kāi)的加權(quán)窗函數(shù)，一般情況下采用2～3階泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行泰勒窗函數(shù)加權(quán)就可以得到很好的效果。泰勒窗的特點(diǎn)是工程上便于實(shí)現(xiàn)，相比于其他窗函數(shù)加權(quán)，泰勒加權(quán)只是稍展寬了主瓣便能獲得較低的副瓣，所以泰勒加權(quán)也是相控陣技術(shù)中應(yīng)用較多的一種加權(quán)函數(shù)。泰勒公式的展開(kāi)形式為：

(5)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)4階泰勒窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖5所示。

圖5 泰勒窗仿真圖

2.6 布萊克曼窗(Blackman窗)

布萊克曼窗(Blackman窗)是一種2階升余弦窗，其特點(diǎn)是主瓣寬，旁瓣低，頻率識(shí)別精度較差，但幅值識(shí)別精度好，選擇性較好[5]。布萊克曼窗的函數(shù)式為：

(6)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)布萊克曼窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖6所示。

圖6 布萊克曼窗仿真圖

2.7 凱撒窗(Kaiser窗)

凱撒窗(Kaiser窗)是一種由零階貝塞爾函數(shù)構(gòu)成的形狀參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，其特點(diǎn)是主瓣與旁瓣能量之比近乎最大，并且可以自由調(diào)整主瓣寬度和旁瓣高度之間的比重[6]。凱撒窗的函數(shù)式為：

0≤n≤N-1

(7)

式中：I0(β)為第1類變形零階貝塞爾函數(shù)，β就是凱撒窗的形狀參數(shù);α為主瓣與旁瓣的差值。

(8)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，形狀參數(shù)β為1、5和10三種情況下使用Matlab對(duì)凱撒窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖7所示。

圖7 凱撒窗仿真圖

由仿真結(jié)果可見(jiàn)，改變凱撒窗的形狀參數(shù)β，其數(shù)值越大，旁瓣越小，主瓣越寬。

2.8 切比雪夫窗(Chebyshev窗)

切比雪夫窗(Chebyshev窗)是一種對(duì)局部進(jìn)行優(yōu)化的時(shí)窗，因?yàn)樗鼭M足窗函數(shù)的最大振幅比原則，所以也稱為最大振幅比時(shí)窗函數(shù)。其特點(diǎn)是旁瓣具有等波動(dòng)性，也就是所有旁瓣高度相同。切比雪夫窗的函數(shù)式為：

n=1,2,…,N-1

(9)

式中：γ為切比雪夫窗的形狀參數(shù)，表示主瓣與旁瓣幅度之比。

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，形狀參數(shù)γ為10、20和50三種情況下使用Matlab對(duì)切比雪夫窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖8所示。

圖8 切比雪夫窗仿真圖

由仿真結(jié)果可見(jiàn)，改變切比雪夫窗的形狀參數(shù)γ，其數(shù)值越大，旁瓣越低，主瓣越寬。

2.9 巴特利特窗(Bartlett窗)

巴特利特窗(Bartlett窗)也是2個(gè)矩形窗的卷積，其兩端總為0，與三角窗非常類似。三角窗的形狀是1個(gè)三角形，相比之下，巴特利特窗的形狀是一個(gè)梯形，因此也被稱為梯形窗。巴特利特窗的函數(shù)式為：

(10)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)巴特利特窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖9所示。

圖9 巴特利特窗仿真圖

2.10 Bohman窗

Bohman窗是2個(gè)半持續(xù)時(shí)間的余弦波瓣的卷積，這種窗函數(shù)被應(yīng)用于語(yǔ)音信號(hào)處理領(lǐng)域較多，在濾波和降噪方面性能優(yōu)良。

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)Bohman窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖10所示。

圖10 Bohman窗仿真圖

2.11 平頂窗(Flat Top窗)

平頂窗(Flat Top窗)是一種性質(zhì)比較特殊的加權(quán)窗，顧名思義，平頂窗在頻域上的響應(yīng)表現(xiàn)出頂部平整的現(xiàn)象，其特點(diǎn)是具有非常小的通帶波動(dòng)，幅度上的誤差很小。平頂窗根據(jù)項(xiàng)數(shù)與旁瓣性能的不同可分為3項(xiàng)最速下降、3項(xiàng)最低旁瓣、4項(xiàng)最速下降、4項(xiàng)最低旁瓣、5項(xiàng)最速下降、5項(xiàng)最低旁瓣等類型，以4項(xiàng)最速下降平頂窗為例，其函數(shù)式為：

(11)

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，使用Matlab對(duì)平頂窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖11所示。

圖11 平頂窗仿真圖

2.12 高斯窗(Gaussian窗)

高斯窗(Gaussian窗)是一種指數(shù)窗，其特點(diǎn)是沒(méi)有負(fù)的旁瓣，主瓣較寬，頻率分辨力低。高斯窗的函數(shù)式為：

(12)

式中：α為高斯窗的形狀參數(shù)，其決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。

假定采樣時(shí)長(zhǎng)(或采樣點(diǎn)數(shù))N為50，形狀參數(shù)α為1、3和6三種情況下使用Matlab對(duì)高斯窗進(jìn)行仿真分析，其時(shí)域圖譜和頻域圖譜如圖12所示。

圖12 高斯窗仿真圖

由仿真結(jié)果可見(jiàn)，改變高斯窗的形狀參數(shù)α，其數(shù)值越大，旁瓣越低，主瓣越寬。

3 窗函數(shù)的對(duì)比分析

通過(guò)對(duì)上述12種窗函數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算，總結(jié)歸納窗函數(shù)的特征參數(shù)，并以矩形窗為對(duì)比基準(zhǔn)進(jìn)行比較，12種窗函數(shù)的各項(xiàng)參數(shù)對(duì)比分析結(jié)果如表1所示。

根據(jù)以上仿真分析結(jié)果，除3種可調(diào)窗以外的其他8種基本窗函數(shù)與矩形窗相對(duì)比發(fā)現(xiàn)，主瓣都被不同程度地拓寬，第1副瓣幅度也被不同程度地降低。在選取窗函數(shù)時(shí)需要考慮兩大基本準(zhǔn)則：

(1) 為了抑制頻譜能量泄漏，要求窗函數(shù)有較小的旁瓣；

(2) 為了降低柵欄效應(yīng)影響，要求窗函數(shù)主瓣越窄越好。

但是窗函數(shù)不可能同時(shí)具備窄主瓣、低旁瓣的條件，因此在選取窗函數(shù)時(shí)要綜合考慮被分析信號(hào)的類型和特征，并在實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性兩方面權(quán)衡折衷。選擇窗函數(shù)的一般原則包括：

(1) 如果截取出來(lái)的仍是周期信號(hào)，頻譜沒(méi)有泄漏，或者僅僅要求精準(zhǔn)識(shí)別主瓣頻率而對(duì)幅值精度沒(méi)有要求，此時(shí)選用矩形窗；

(2) 如果被分析信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)或未知信號(hào)，或有多個(gè)頻率分量，此時(shí)的關(guān)注點(diǎn)是頻率而非能量，一般采用漢寧窗或海明窗等；

(3) 如果被分析信號(hào)是窄帶信號(hào)且?guī)в袕?qiáng)干擾噪聲，此時(shí)應(yīng)該選用低旁瓣的窗函數(shù)，例如三角窗、漢寧窗等；

(4) 如果被分析信號(hào)呈指數(shù)式衰減，此時(shí)應(yīng)該選用指數(shù)窗以盡可能地提高信噪比，例如高斯窗等；

(5) 如果信號(hào)處理的目的是對(duì)信號(hào)進(jìn)行校準(zhǔn)，此時(shí)要求更加精準(zhǔn)的幅值，可以采用平頂窗；

(6) 如果信號(hào)處理對(duì)幅值精度和頻率精度同時(shí)提出相對(duì)較高的要求，可以選用凱撒窗，通過(guò)不斷調(diào)節(jié)形狀參數(shù)以達(dá)到要求；

表1 窗函數(shù)仿真結(jié)果比較

(7) 如果信號(hào)處理是為了檢測(cè)區(qū)分2個(gè)頻點(diǎn)相近、幅值不同的信號(hào)，可以選用選擇性較好的布萊克曼窗加以區(qū)分；

(8) 在能夠承受主瓣嚴(yán)重?cái)U(kuò)寬或旁瓣過(guò)度抬升所帶來(lái)的損失的前提下可以考慮選用3種可變窗，形狀參數(shù)調(diào)整參考具體應(yīng)用場(chǎng)景。

4 陣列加權(quán)仿真分析

根據(jù)前面的仿真分析討論可以看到窗函數(shù)在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域的重要應(yīng)用，此外窗函數(shù)(加權(quán)函數(shù))在相控陣技術(shù)領(lǐng)域也有著重要的作用。下面對(duì)相控陣加權(quán)函數(shù)進(jìn)行仿真分析。

首先仿真模擬1個(gè)100陣元的一維線性天線陣列，繪制出其均勻激勵(lì)下的法向歸一化方向圖，然后采用不同的加權(quán)函數(shù)對(duì)陣列上的電流分布進(jìn)行陣列加權(quán)，仿真結(jié)果如圖13所示。

為了更明顯直觀地分析對(duì)比陣列加權(quán)函數(shù)的特性，將幾種加權(quán)窗函數(shù)放在一起進(jìn)行仿真對(duì)比，仿真結(jié)果如圖14所示。

由陣列加權(quán)仿真圖可以清楚地觀察到不同加權(quán)函數(shù)對(duì)相控陣陣列方向圖的影響：

(1) 主波束寬度最窄的是矩形窗加權(quán)，也就是不加權(quán)，此時(shí)的第1副瓣最高，僅比主波束低13.46 dB，對(duì)于大多數(shù)相控陣?yán)走_(dá)而言都是不可接受的[7]；

(2) 將第1副瓣功率值壓制到最低的是切比雪夫窗加權(quán)，但是此時(shí)主波束被嚴(yán)重拓寬，相控陣性能受到很大影響；

(3) 綜合性能最好的是泰勒窗加權(quán)，將第1副瓣壓制到-30.47 dB，而主波束僅拓寬了1.27倍。

(4) 僅次于泰勒窗加權(quán)的是海明窗加權(quán)，將第1副瓣壓制到-42.51 dB，但是主波束拓寬了1.49倍。

圖13 陣列加權(quán)仿真圖

圖14 陣列加權(quán)對(duì)比圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)Matlab仿真研究了一些常見(jiàn)常用的窗函數(shù)及其應(yīng)用于相控陣陣列加權(quán)時(shí)的特征特性，綜合討論分析了窗函數(shù)在數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)領(lǐng)域的重要應(yīng)用,并拓展分析了窗函數(shù)加權(quán)對(duì)相控陣方向圖的改善作用，為窗函數(shù)在2種技術(shù)領(lǐng)域的綜合運(yùn)用提供了理論支持。