數(shù)學(xué)考試中結(jié)構(gòu)不良問題的含義、功能及解法

福建 童其林

數(shù)學(xué)問題可分為結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題.在解決結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的過程中往往能體現(xiàn)出一個(gè)人的各種能力，如學(xué)習(xí)的遷移能力，即完成從非理想模型向理想模型的遷移；思維的變通能力，即能夠完成把不良結(jié)構(gòu)變通為良好結(jié)構(gòu)等等.也正因?yàn)槿绱耍?dāng)今高考的素養(yǎng)立意就是要完成從結(jié)構(gòu)良好數(shù)學(xué)問題的考查向結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的考查的轉(zhuǎn)化，也正基于此，結(jié)構(gòu)不良問題往往被命題者作為測量問題解決能力的工具，以達(dá)到試題具有良好“區(qū)分度”的目的.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該努力尋求解決結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的方法，其中補(bǔ)償法是一種常用的方法.應(yīng)用補(bǔ)償法一般可解決下面四類缺陷問題：物理性缺陷問題——物理割補(bǔ)，等效運(yùn)算；情境性缺陷問題——返璞歸真，技術(shù)補(bǔ)償；過程性缺陷問題——結(jié)構(gòu)假設(shè)，等效轉(zhuǎn)換；假設(shè)性缺陷問題——合理假設(shè)，檢驗(yàn)校正.

1.結(jié)構(gòu)不良試題的含義

Reitman(1965)首次從認(rèn)知心理學(xué)的角度區(qū)分了結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題.前者是初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和算子都很明確的問題，而后者是這三者中至少有一個(gè)沒有明確界定的問題.所謂算子就是解決問題的方法和途徑.結(jié)構(gòu)不良的問題并不是指問題本身有什么錯(cuò)誤或者不恰當(dāng)，而是指它沒有明確的結(jié)構(gòu)、要求或者解決途徑.

陳堯明老師認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題可分為結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)試題中大量出現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)良好的數(shù)學(xué)問題.所謂結(jié)構(gòu)良好，是指提供的信息完整，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(研究對象、輸血過程)理想，問題目標(biāo)明確，解決過程和答案穩(wěn)定，也就是我們常說的理想模型.結(jié)構(gòu)良好和結(jié)構(gòu)不良是一個(gè)相對的概念.結(jié)構(gòu)不良一般分為結(jié)構(gòu)缺陷和結(jié)構(gòu)復(fù)雜兩類.

任子朝認(rèn)為數(shù)學(xué)科結(jié)構(gòu)不良問題的主要特征有：(1)問題條件或數(shù)據(jù)部分缺失；(2)問題目標(biāo)界定不明確；(3)具有多種解決方法、途徑；(4)具有多種評價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；(5)所涉及的概念、規(guī)則和原理等不明確；(6)需要學(xué)習(xí)者表達(dá)個(gè)人的觀點(diǎn)或信念.

【例1】(2020·5月寧德市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查試卷理·15)寧德市中學(xué)生籃球比賽中，如圖為某球隊(duì)8場比賽得分的莖葉圖，其中有兩個(gè)數(shù)字不慎被墨跡污染(分別用m,n標(biāo)注).目前得知這組數(shù)據(jù)的平均值為58，則方差s2最大時(shí)m-n的值為________.

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點(diǎn)評：本例的數(shù)據(jù)部分缺失問題，解題時(shí)要注意隱含條件：m,n∈N.

本例是一個(gè)逆向思維的問題，也是具有多種解決方法、途徑，并需要驗(yàn)證是否符合題意的問題，需要學(xué)習(xí)者表達(dá)個(gè)人的判斷.

【例3】(2019·11月山東海南調(diào)研卷)在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值，若k不存在，請說明理由.

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，________，b1=a5,b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1且Sk+1

本例是典型的結(jié)構(gòu)不良問題，具有多種解決方法，需要學(xué)習(xí)者表達(dá)個(gè)人的觀點(diǎn)或信念.

【例4】三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，有下列兩個(gè)條件：(1)a,b,c成等差數(shù)列；(2)a,b,c成等比數(shù)列.

現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：

請你選取給定的兩個(gè)條件中的一個(gè)為條件，三個(gè)結(jié)論中的兩個(gè)為結(jié)論，組建一個(gè)你認(rèn)為正確的命題，并證明之.

本例是條件和結(jié)論都要學(xué)習(xí)者組織和判斷的問題，是條件和結(jié)論都開放的問題.

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2.結(jié)構(gòu)不良試題的功能

近年來，結(jié)構(gòu)不良問題引起了研究者的關(guān)注，新建構(gòu)主義高度重視結(jié)構(gòu)不良問題對于發(fā)展學(xué)生的思維、創(chuàng)新和遷移能力，他們強(qiáng)調(diào)應(yīng)當(dāng)變傳統(tǒng)知識的接受者為問題解決的主動者.

從知識觀來看，結(jié)構(gòu)不良問題的解決有利于高級知識的獲得.有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，有利于應(yīng)對現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的提高，有利于提高高考數(shù)學(xué)的區(qū)分度.

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該努力尋求解決不良結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)問題的方法，其中補(bǔ)償法是一種常用的方法.

3.求解結(jié)構(gòu)不良試題的一種方法：補(bǔ)償法

應(yīng)用補(bǔ)償法一般可解決下面四類缺陷問題.

3.1物理性缺陷問題——物理割補(bǔ)、等效運(yùn)算

所謂物理性缺陷是指數(shù)學(xué)解題對象在空間上與理想的數(shù)學(xué)模型存在一定的缺陷.補(bǔ)償法就是經(jīng)物理性割補(bǔ)使之成為一個(gè)完整的理想結(jié)構(gòu)，找出缺陷結(jié)構(gòu)與理想結(jié)構(gòu)之間的差異，再用有關(guān)的性質(zhì)、原理求解，從而得到正確的結(jié)論.此類結(jié)構(gòu)不良問題在立體幾何中比較常見.

如圖，把四面體補(bǔ)成一個(gè)長方體，假設(shè)長寬高為x,y,z,列出方程組即可快速求解.

解析:由題意知該三棱錐為正方體的一部分,如圖所示.

點(diǎn)評：將四面體補(bǔ)成正方體，通過求解正方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積.

3.2情境性缺陷問題——返璞歸真、技術(shù)補(bǔ)償

所謂情境性缺陷是指實(shí)際問題條件與使用條件之間的差異形成的缺陷.良好結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題的條件是有序的、正定的，但實(shí)際問題條件往往是無序的、離散的.碰到這種原理性缺陷問題時(shí)，可以通過畫圖象、畫表格等數(shù)學(xué)技術(shù)手段進(jìn)行補(bǔ)償，使問題呈現(xiàn)良好有序的結(jié)構(gòu)，返璞歸真.

【例8】若E,F分別是三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn),且B1E=CF,三棱柱的體積為m,求四棱錐A-BEFC的體積.

解析：如圖,連接AB1,AC1.由于B1E=CF,則梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積.

因?yàn)樗睦忮FA-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等,

設(shè)三棱柱的高為h,

點(diǎn)評：局部與整體考慮相結(jié)合.

( )

所以b1+b2020=b1+b2=4，即(a1-2)2+(a2020-2)2=4.

法三：(a1-2)2+(a2020-2)2=4，即(a1,a2020)在(x-2)2+(y-2)2=4上，

點(diǎn)評：本題是數(shù)列內(nèi)部綜合問題，也是和其他數(shù)學(xué)分支的綜合，還是解題方法的綜合，有一定的難度.

3.3過程性缺陷問題——結(jié)構(gòu)假設(shè)、等效轉(zhuǎn)換

不少數(shù)學(xué)問題，在連接題設(shè)和結(jié)論的關(guān)鍵點(diǎn)上，會遇到一些客觀上根本不可能知道的，或可以知道但不需要知道從而不用知道的，或需要知道但當(dāng)前尚未知道的數(shù)學(xué)對象，這些我們泛指過程性缺陷問題.對于此類問題可以將結(jié)構(gòu)假設(shè)為有利問題解決的理想狀態(tài)，抹去過程的碎碎末末，抓住理想狀態(tài)下的一些特殊環(huán)節(jié)進(jìn)行分析剖解.

【例10】將n2(n≥3)個(gè)正整數(shù)1，2，3，…，n2填入到n×n個(gè)方格中，使得每行、每列及每條對角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形就叫做幾階幻方.如圖就是一個(gè)3階幻方，定義f(x)為幾階幻方一條對角線的和，例如f(3)=15，那么f(4)等于________.

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點(diǎn)評:深刻理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)思想方法是會算的必要條件.

【例11】已知三角形ABC的頂點(diǎn)A(4,-1),角B和角C的角平分線方程分別是x-y-1=0和x-1=0.求BC邊所在直線的方程.

本題是讓許多學(xué)生百思不得其解的一個(gè)問題，主要是打不開思路、想不到方法造成的.畫圖，利用對稱性，即可知A(4,-1)關(guān)于角B的平分線所在直線x-y-1=0的對稱點(diǎn)E(0,3)在直線BC上，同理A(4,-1)關(guān)于角C的平分線所在直線x-1=0的對稱點(diǎn)D(-2,-1)在直線BC上，所以直線DE的方程，即直線BC所在的直線方程，為2x-y+3=0.

3.4假設(shè)性缺陷問題——合理假設(shè)、檢驗(yàn)校正

分析：大多學(xué)生會如下解答：

【例13】(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b，則

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A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

此類問題構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可解決.而本例結(jié)構(gòu)比以前知道的復(fù)雜.

解析：因?yàn)?a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，設(shè)f(x)=2x+log2x，則f(x)為增函數(shù)，

f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，

當(dāng)b=1時(shí)，f(a)-f(b2)=2>0，此時(shí)f(a)>f(b2)，有a>b2,

當(dāng)b=2時(shí)，f(a)-f(b2)=-1<0，此時(shí)f(a)