一道數(shù)列選擇題的評(píng)講與思考

廣東 林國(guó)紅

筆者曾聽(tīng)過(guò)本校一位高三老師的二輪復(fù)習(xí)課，內(nèi)容是評(píng)講一份模擬試卷中學(xué)生出錯(cuò)較多的題目，其中一道數(shù)列選擇題因錯(cuò)誤率較高被老師重點(diǎn)評(píng)講.講課教師的講解條理清晰，既突出了基礎(chǔ)知識(shí)，也提供了新的解法，但評(píng)講過(guò)程因?yàn)檫\(yùn)算量大而費(fèi)時(shí)費(fèi)力，讓人感覺(jué)不像是在做選擇題.

筆者對(duì)此習(xí)題課的過(guò)程記憶猶新，課后作了些思考，特意成文，與大家分享，希望能拋磚引玉.

一、試題的呈現(xiàn)

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分析題目結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，知識(shí)方面主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和及數(shù)列的相關(guān)運(yùn)算.突出對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的考查，綜合考查學(xué)生的邏輯思維、推理論證及運(yùn)算求解等方面的能力，試題的思維要求較高，解法靈活，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)列模塊的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

二、老師的講解過(guò)程

1.數(shù)列{an}通項(xiàng)的求法

解法1 累乘法

=(n+2)×2n，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=(n+1)×2n-1，又a1=2符合，故an=(n+1)×2n-1.

解法2 定義法

評(píng)注兩種解法都是求數(shù)列通項(xiàng)常見(jiàn)的基本方法，解法1適用于部分形如an+1=an×f(n)的題目，使用時(shí)要注意項(xiàng)數(shù)；解法2則對(duì)“系數(shù)”與“項(xiàng)數(shù)”的配對(duì)有較高要求.教師教學(xué)不落俗套，關(guān)注試題本身的特點(diǎn)，回歸定義，迅速破題，值得贊揚(yáng).

2.數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的求法

解法1 錯(cuò)位相減法

因?yàn)镾n=a1+a2+…+an

=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2+(n+1)×2n-1,①

①×2，得2Sn=2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n，②

①-②，得-Sn=2+21+22+…+2n-1-(n+1)×2n

=-n×2n，

所以Sn=n×2n.

解法2 裂項(xiàng)相消法

因?yàn)閍n=(n+1)×2n-1=n×2n-(n-1)×2n-1，

所以Sn=a1+a2+…+an

=(1×21-0)+(2×22-1×21)+(3×23-2×22)+…+[n×2n-(n-1)×2n-1]=n×2n.

評(píng)注錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的常見(jiàn)方法，也是高考的高頻考點(diǎn)，需要掌握.錯(cuò)位相減法雖然方法簡(jiǎn)單，但在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，常因運(yùn)算和代數(shù)變形不過(guò)關(guān)而導(dǎo)致出錯(cuò).裂項(xiàng)相消法求和運(yùn)算簡(jiǎn)單，但拆項(xiàng)難，尤其是復(fù)雜結(jié)構(gòu).本題中數(shù)列通項(xiàng)的裂項(xiàng)，看起來(lái)是神來(lái)之筆，妙不可言.事實(shí)上，和本題結(jié)構(gòu)特征(差比型)相似的數(shù)列，即通項(xiàng)是等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積的數(shù)列，都是可以裂項(xiàng)的，只需要找到兩個(gè)與項(xiàng)數(shù)完全匹配的項(xiàng)，用待定系數(shù)法就可以解決問(wèn)題.再次為教師的視野點(diǎn)贊，美中不足的是，授課教師沒(méi)有揭示“差比型”裂項(xiàng)的一般規(guī)律，不便于以后的運(yùn)用.

3.本題的結(jié)果

因?yàn)閍2020=2 021×22019，且a1+a2+…+a2 019=S2019=2 019×22019，

評(píng)注由于數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和都求出來(lái)了，因此確定試題的結(jié)果便順理成章，授課老師也結(jié)束了本題的評(píng)講.反觀(guān)整個(gè)解題歷程，似乎碰到了一個(gè)假的選擇題，解答過(guò)程與所花費(fèi)的時(shí)間不亞于一道解答題.但考試時(shí)間有限，很難有那么多時(shí)間來(lái)處理的，學(xué)生面對(duì)這樣的試題，可能會(huì)主動(dòng)放棄，或者明明知道方法又感覺(jué)費(fèi)時(shí)，處于“做會(huì)花時(shí)間，不做又不舍”的糾結(jié)中，因此快速破題才是小題教學(xué)的根本，如果不能引導(dǎo)學(xué)生有一個(gè)正確有效的思考方法，換一道試題，錯(cuò)誤率高的場(chǎng)景依然會(huì)再現(xiàn).如果評(píng)講就這樣結(jié)束，試題評(píng)講的效果將會(huì)大打折扣.

三、學(xué)生的解法

針對(duì)本題，課后我詢(xún)問(wèn)學(xué)生：你是如何解答的？有的學(xué)生說(shuō)也是像老師這樣做的，但花費(fèi)了大量的時(shí)間，感覺(jué)得不償失；有的學(xué)生說(shuō)沒(méi)想到方法，不會(huì)做；有的說(shuō)不是像老師這樣做，言下之意他有簡(jiǎn)單方法.

于是我請(qǐng)學(xué)生講解其解答過(guò)程，整理如下：

評(píng)注令人驚嘆的奇妙猜想及簡(jiǎn)潔的運(yùn)算！可能我們會(huì)懷疑猜想的正確性，但猜的合理，又不得不令人信服，而且結(jié)果也是對(duì)的.從題目可以看到，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)較多，且與高考的年份相關(guān)，一般情況下該數(shù)列會(huì)呈現(xiàn)較強(qiáng)的規(guī)律性(如周期性等)，因此考慮先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀(guān)察并從項(xiàng)上找規(guī)律.難能可貴的是，學(xué)生沒(méi)有局限于通項(xiàng)公式，而對(duì)目標(biāo)式做了變換，嘗試計(jì)算出幾個(gè)與目標(biāo)表達(dá)式相似的式子，從中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律.

這種由特殊結(jié)果來(lái)猜想一般結(jié)論的方法，正是數(shù)學(xué)上的歸納推理，它是我們教學(xué)所需要的，在人教A版必修5數(shù)列的章節(jié)中，歸納推理的思想大量存在.歸納推理是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得新結(jié)論的有效途徑，數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》一書(shū)中就向教師提出倡議：“讓我們教猜想吧！”可見(jiàn)猜想的意義是巨大的.

四、結(jié)論的證明

五、幾點(diǎn)思考

思考1 習(xí)題課要教什么？

習(xí)題課究竟要教給學(xué)生什么？在新知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于學(xué)生還不會(huì)應(yīng)用，因此習(xí)題課教學(xué)更多的是講知識(shí)，通過(guò)習(xí)題促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)“會(huì)”的教學(xué)目的.受知識(shí)層次的限制，解題方法缺乏多樣性，或者多樣性不強(qiáng).高三復(fù)習(xí)階段，尤其是后期，由于學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握較好，此時(shí)學(xué)生的錯(cuò)誤主要來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面：一是知識(shí)遺忘或粗心大意造成的，這一點(diǎn)學(xué)生可自行解決；二是因解題方法不當(dāng)造成的失誤.因此，習(xí)題課上知識(shí)層面的講解就不再是主要的，在完成必要的補(bǔ)缺后，取而代之的應(yīng)該是知識(shí)背景分析、解題方法的選擇與優(yōu)化，正所謂“授之以魚(yú)不如授之以漁”，通過(guò)習(xí)題(主要是錯(cuò)題)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)舉一反三的目的，在同類(lèi)問(wèn)題中學(xué)會(huì)選擇方法，由能做、會(huì)做上升到快做，畢竟高考考場(chǎng)上做題速度和準(zhǔn)確度是至關(guān)重要的.

思考2 習(xí)題課教學(xué)誰(shuí)是主體？

習(xí)題課教學(xué)是揭示學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，查找對(duì)策的.因此課堂上學(xué)生才是主體，讓學(xué)生充分暴露自己的問(wèn)題，然后對(duì)癥下藥.“藥方”可以來(lái)自老師，也可以來(lái)自學(xué)生，有時(shí)學(xué)生的“藥方”更好，既能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還可以暴露出更多意想不到的問(wèn)題和方法.如果教師一味地講，也只能代表個(gè)人看法，難免會(huì)有局限性，學(xué)生能接受多少也很難說(shuō).作為老師，課堂上我們主要是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，幫助學(xué)生分析出錯(cuò)的原因，高屋建瓴地提出解決方法，把學(xué)生引導(dǎo)到正確的解題道路上來(lái).

思考3 二輪復(fù)習(xí)如何開(kāi)展？

經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)的系統(tǒng)梳理，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行了一次集中再認(rèn)識(shí)，但難免會(huì)出現(xiàn)理解不到位的情形，甚至有些知識(shí)因?yàn)椴皇煜せ虿粫?huì)用而再次成為盲點(diǎn).二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)在消除“知識(shí)點(diǎn)”的缺陷的同時(shí)，應(yīng)該強(qiáng)化“知識(shí)面”的融合.如果用講題來(lái)代替知識(shí)的系統(tǒng)化和方法的合理化，這樣就會(huì)成為一輪復(fù)習(xí)的加強(qiáng)版，從而忽視重點(diǎn)和難點(diǎn)，淡化了能力的提升.二輪復(fù)習(xí)應(yīng)該結(jié)合學(xué)生實(shí)際，在專(zhuān)題框架下精心設(shè)置幾個(gè)微專(zhuān)題，通過(guò)例題將相關(guān)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，靈活運(yùn)用，有針對(duì)性地解決學(xué)生存在的問(wèn)題，效果會(huì)更好.

思考4 學(xué)生如何提高做題效果？