聚焦思維痛點 實施精準教學
——以《坐標系與參數方程》為例

廣東 潘敬貞 云南 唐明超

坐標系與參數方程試題在近年高考中一直備受關注,它不僅是命題專家智慧的結晶,而且在每道試題里都蘊藏著重要的數學思想以及典型的數學模型;而且試題重點考查基礎知識與基本技能,在體現基礎性的同時突出對考生綜合運用所學知識解決實際問題的關鍵能力.試題整體上具有較好的區分度,低起點、有梯度,使得試題不落俗套,一方面檢測學生的認知發展水平,體現高考的選拔功能;另一方面也是在為數學教學活動指明方向,說明教學活動要重點突出問題本質,引導學生經歷數學概念的生成過程,講究深度學習,重視數學思維的培育,既要將學生從題海中解救出來,更要在解決實際問題的過程中幫助學生實現知識與能力的雙重提升,發展學生的核心素養.正因如此,命題專家在試題里埋藏的解題智慧點也變成了很多考生的解題思維痛點,導致解題思路堵塞.

一、分類討論中的解題思維痛點

分類討論是高中數學重要的思想方法之一,主要體現思維的全面性和嚴謹性,問題情境的差異導致分類的依據不盡相同,要做到分類不重不漏,關鍵要全面理解和整體把握問題本質.分類討論的過程對學生的邏輯推理、數學抽象等核心素養水平具有較高要求.因此分類討論一直是學生解題的思維痛點,同時也是教學的難點.

(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;

綜上,a=8或a=-16.

評注:本題的第(1)問較常規,是基礎題,在直線的參數方程中正確識別定點坐標和直線的傾斜角是解題的關鍵;第(2)問是本題的亮點,由于-a-4的范圍不確定導致距離的最值不確定,不少學生由于沒有對-a-4進行恰當地分類討論導致無法正確解答,所以如何討論-a-4的范圍就是本題的思維痛點.

(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程;

評注:第(2)問由于a的符號不確定,因此需要對a進行討論,不少學生由于考慮不周全,忽略對a的討論,或者在討論過程中不能正確理解絕對值的含義,導致失分,是不少學生解答該題的思維痛點.

備考建議:要突破分類討論的思維痛點,首先要弄清楚什么情況下要分類討論,為什么要分類討論,怎樣分類討論這三個問題.這就需要在平時的學習過程中注重問題解決的經驗積累,掌握處理不確定性問題的一般方法并逐步形成分類討論的意識,關鍵還在于學生邏輯推理素養的培育.比如從認識絕對值的幾何意義出發,遵循由淺入深,由易到難的認知發展規律，嘗試對絕對值符號中的代數式進行討論去解決一些簡單的方程或不等式問題;再比如基于基本初等函數圖象性質，通過分類討論去解決一些含參數的方程或不等式的存在性或者恒成立問題等.總之,注重過程性教學,培養學生發現并提出問題,分析并解決問題的能力,有意識地滲透數形結合思想,在解決實際問題的過程中不斷形成合理分類討論的意識和能力,形成嚴謹的邏輯思維.

二、合理轉化過程中的思維痛點

化歸與轉化是溝通數學知識與數學問題的重要橋梁,然而不少學生在解答數學問題的過程中由于沒有合理轉化問題而無法打通知識與問題的脈絡,導致解題過程受阻.

(1)寫出曲線C的參數方程,直線l的普通方程;

(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.

評注:第(2)問并不是要求點到直線的距離的最值,但是通過恰當的轉化實現了代數關系與幾何關系的銜接,在構造直角三角形的基礎上，間接找到線段|PA|取最值的情況與點到直線的距離有直接聯系,進而聚焦到點到直線的距離問題上來.不少學生在解此題時想不到轉化,只是一味地按部就班,陷入命題者的“圈套”出不來,將簡單的問題復雜化,最后只能遺憾收場.

(1)寫出曲線C1和C2的直角坐標方程;

(2)已知P為曲線C2上的動點,過點P作曲線C1的切線,切點為A，夾角為θ,求|PA|的最大值.

評注:第(2)問同樣需要通過合理轉化后，基于幾何關系找到線段取最大值，其前提是動點到定圓圓心的距離取最大值,實現了化動為靜,避開討論兩個動點之間的距離的最值問題,體現了代數問題幾何化,復雜問題簡單化的求解策略.

備考建議:要做到將問題進行合理轉化并有效降低問題的難度,首先要準確掌握數學概念,其次要學會挖掘問題的本質,在問題解決過程中勤于思考、勤于實踐、積累解題經驗,養成對具體問題有意識地去思考本質是什么、怎么解決、哪種方法更好等良好習慣.

三、數學抽象中的解題思維痛點

例3(2017·全國卷Ⅱ·22)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4.

(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;

評注:有關動點的軌跡問題往往較為抽象,不僅需要具備扎實的分析及解決問題的能力,而且需要熟練掌握極徑的幾何意義與參數的幾何意義.學生因為沒有用好圖象特征找到數量關系,導致不能列出恰當的方程,所以此類問題是不少學生的解題思維痛點.

備考建議:解決此類問題的關鍵在于將抽象的問題直觀化,如何才能實現將抽象的問題直觀化呢？首先要養成根據題干信息構造幾何模型的習慣,即將數量關系體現在曲線的圖象上,通過作出簡圖找到變與不變的關系,進而合理地設出未知數,根據已知條件計算得出最終結果.其次,要深化對極徑與參數幾何意義的理解,掌握其本質聯系,確保在問題解決過程中能夠靈活選擇并運用.

四、消參過程中的思維痛點

備考建議:參數方程與直角坐標方程的轉化一般都需要經歷消去參數的過程,對于不同情況下的消參方法應及時作出歸納總結.在代入消元與加減消元的基礎上適當加以拓展,如本題中，先分別平方再相加,但關鍵的問題還是要學會觀察式子的結構特點,從整體到部分又能從部分到整體去尋找變與不變的關系.