核心素養下高中數學教學中的思維訓練

北京 王志偉

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.課堂教學中要落實和發展學生數學學科核心素養，就要創設合適的教學情境，啟發學生思考，通過直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，形成理性思維和科學精神.

一、創設情境激發興趣，培養思維的積極性

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在教學實施建議部分指出“基于數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考與交流”.可以說興趣是學生形成和發展數學學科核心素養的非智力因素中的核心因素，因此在教學中要以學生為本，通過挖掘教材中的興趣因素，并在情境中提出問題，引導學生在問題解決的過程中促進數學學科核心素養的形成和發展.

例如：在開始學習數列一章時，可以先向學生講述一個故事.古印度有一個國王酷愛象棋，一天他把象棋大師叫到跟前，贊揚一番后要重賞他，“你想要什么，我就給你什么”.象棋大師說：“金銀財寶我不要，只想要一些麥子回家充饑”.國王說：“你要多少？”大師說：“不多，在棋盤的第一個格里放1粒，第二個格里放2粒，第三個格里放4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，按規律把棋盤放滿就行啦.”國王一聽這還不容易，招呼糧食大臣盡快給他麥子.大臣回去一算嚇了一跳，全國的糧食都給他，也不夠他要的.大臣報告國王，國王也大吃一驚.同學們，小小的棋盤為什么會裝下那么多麥子呢？要想知道原因請學好數列一章.

經過這樣引導，同學們情緒高漲，課堂氣氛活躍.以學生感興趣，又有一定的趣味性、挑戰性的數學問題入手，可以迅速集中學生的注意力，并且顯得十分生動、有魅力，學生的興趣異常濃厚，有利于啟發學生的思維，培養他們思維的積極性.

二、巧用解題后的反思，訓練思維的嚴密性

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力.”課程標準要求教師引導學生總結出一些具有針對性的學習方式，促進學生學會學習，這就要求教師在教學中，要逐步培養學生的反思意識，在數學活動過程中不斷對數學具體知識、內容、包含的思想、觀念、解題思路、解題策略等進行回顧、思考、總結評價和調節，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考、做出判斷.

方法一：巧用錯誤解法，請學生比較.對于作業、練習中存在的普遍問題，讓學生進行甄別，讓學生用自己的理解發現并反駁錯誤，加深對問題的理解，避免錯誤再次發生.

例如：人教A版新教材必修2第73頁習題7.1中復習鞏固第2題：當實數m取什么值時，復數(m2-5m+6)+(m2-3m)i是下列數？(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數.

這個題目很簡單，但由于學生剛剛接觸復數的概念，有可能考慮的不周全，比如對于第(3)問，有些同學就是直接令實部等于0然后求得m的值，結果顯然是錯誤的，這個題目就應該讓學生進行仔細甄別，加深理解，一開始就留下深刻印象，純虛數不僅實部等于0，同時虛部不等于0，所以一定要去掉使虛部也為0的m的值，這是學生很容易犯的錯誤.

方法二：列舉相似問題進行比較，舉一反三.在教學中，可以把相似類型的題目編成一組，讓有過實踐的學生進行積極思考，拓展性的思維也就從這里培養起來了.數學知識本身具有系統性和層次性.在單元復習課或總復習課中，精心設計一些習題題組，把相關的內容有機聯系起來，保持知識的連貫性，并且使知識的應用隨著題目的聯系而逐步展開.

例如：在復習圓錐曲線中橢圓這一部分內容時，考試說明要求為：掌握橢圓標準方程及其幾何性質，會根據所給條件畫橢圓，了解橢圓的一些實際應用.我們設計題組目標為：熟練掌握橢圓定義、標準方程，熟悉并會求幾何性質中的有關量，能根據所給條件運用待定系數法求橢圓標準方程，會應用橢圓定義解決有關問題.可設置如下題組：第一組復習基礎知識和基本方法.

③若△ABC兩頂點A，B坐標分別為(-3,0),(3,0)，而周長為20，則點C的軌跡是________；

讓學生獨立完成后，對其進行重點評講，指出所應用的知識點、基本方法和基本數學思想，對學生存在的問題進行評析，最后與學生一起歸納總結.然后再布置第二套題組，鞏固消化前面內容同時加進適當的綜合題，進一步提高能力.如：

③P是橢圓上一點，F1，F2是兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值；

因此，利用題組把復習中講—練—講變為練—講—練，使學生在主動探索中鞏固消化了所學知識，更進一步達到了應有的教學目標.

三、通過一題多解，訓練思維的發散性

數學學科教學的一個重要任務就是“增強學生的創新意識和科學精神”，這要求大力發展學生的發散性思維，引導學生根據已有信息，從不同角度、不同方面思維，從多方面尋求多樣性答案.為了發展學生發散性思維，教師在教學中，可以有意的設計一些一題多解的教學環節.通過對同一個問題，采用不同方法求解，拓寬學生思路，起到加大思維空間的效果，這是訓練思維發散能力的常用手段.

例如：(2015·北京卷文·20)已知橢圓C:x2+3y2=3.過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

(Ⅲ)試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由.

此題前兩問屬于中低檔題，第三問屬于難題，對于第三問有幾種不同解法.解法1：直接證明直線BM的斜率等于1，恒等變形技巧性極強，考生難以駕馭.解法2：轉化成kBM-1=0，則大大降低了計算難度，雖然只是一小步變化但思維的轉換并不容易.解法3：做一步圖形轉化，略解如下：

欲證BM∥DE,由平行線截線段成比例定理，只需證AD∶DB=AE∶EM

所以BM∥DM.

這樣，弄通、弄懂一道題，就會解出一類題，避免了題海戰術，讓學生在掌握數學知識內在聯系的過程中，享受數學的相似美，提高學生歸納、概括的能力.

四、注重概念教學，訓練思維的深刻性

課程標準指出數學教學就是要“引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”，這就要求學生數學思維的抽象程度、邏輯水平及思維活動達到一定的深度，能夠對事物進行深刻理解并善于抓住事物的本質規律，在思維活動中，能深入細致地考慮問題，探索解決問題的途徑.

例如：人教A版新教材必修1，2.2基本不等式的教學，就可以設計以下問題：

此案例的問題情境貼近生活，給學生創設了一個觀察、聯想、抽象、概括、數學化的過程，在這樣的實際問題情境下，學生會想學、樂學、主動學.教學實踐證明，問題情境教學是提高課堂質量的有效途徑之一.在數學課堂教學中，教師靈活處理教學過程中出現的各種問題，精心創設各種教學問題情境，能夠培養學生的學習興趣，激發學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性，促使學生以探索者的身份去發現問題，總結規律，提高學生運用知識解決實際問題的能力，同時又使課堂教學豐富多彩，生動活潑.這樣，對概念多提幾個問題，不僅可以幫助學生全面而準確地掌握概念，克服思維的表面化，而且能夠引導學生善于觀察問題，深刻地思考問題，從而實現思維的深化.

五、基于變式訓練，培養思維的創新性

課程標準指出數學教學就是要促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，創新性思維是指人在探尋事物變化規律過程中產生出的新的見解或方法等思維活動，是建立在一般性思維的基礎之上的，是長期開放式培養與訓練的結果.這就要求在教學活動中通過引導學生自主閱讀、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等多種形式的教學方式，不斷引導和鼓勵學生敢于質疑、敢于探究，敢于大膽地發表新見解.在課堂教學中，創設變式教學情境，靈活運用變式教學是培養和發展學生創新思維的重要載體.在教學過程中，運用變式教學，可以為學生提供自由、和諧、互相尊重的學習氛圍，有利于促進學生萌發嘗試新事物的勇氣，并在輕松的心態下學會從失敗中總結經驗，為成功奠定良好的基礎.

例如原題：求曲線y2=-4-2x上與原點距離最近的點的坐標.

變式1：在曲線y2=-4-2x上求一點M(x，y)，使它到點A(a,0)的距離最短.

將原式的特殊點(原點)改為一般的點A(a,0)，這符合由特殊到一般的認知規律，學生容易接受.

變式2：已知拋物線y2=-4-2x與直線y=kx+3沒有公共點，求k的取值范圍.

也可進一步改為：

變式3：已知拋物線y2=-4-2x與動圓(x-a)2+y2=2沒有公共點，求a的取值范圍.

這樣的變式練習，學生可以通過實驗得出，也可以通過數學方法得出，通過這樣的練習能提高學生學習數學的興趣，從而達到教學目的.

將常規題變為探索題，是設計變式題的又一途徑.由常規題演變的探索題，對學生來說更具創造性和挑戰性.總之，教師在習題的設計過程中要充分考慮題組的自身特點，從學生的角度去思考問題，習題設計要由淺入深，由易到難，由具體到抽象，由特殊到一般，層層深入，步步啟發，既要注意題與題之間的連貫性，連接的趣味性，題目的針對性和開放性，同時要保持知識的網絡性和整體性.不同的題組，有著各自不同的功能，精心設計的題組在教學中發揮著不可替代的作用，對于提高教學效率、培養學生的能力、提高學生的數學素養起著重要作用，也是優化課堂教學的一種途徑.