一種基于增強奇偶校驗碼級聯極化碼的新型編譯碼方法

王燕，劉順蘭，奚珍珍，包建榮

（杭州電子科技大學電子信息學院，浙江 杭州 310018）

1 引言

極化碼（Polar碼）于2009年由Arikan E首次提出，是第一種理論上能達到香農極限的信道編碼方法[1]，并且由于其較低的編碼、譯碼復雜度等優勢，受到了廣泛的關注，成功入選5G標準，作為增強移動寬帶場景中控制信道的編碼方案[2-3]。當極化碼的長度趨于無窮時，才能更好地達到信道容量，然而在中短碼長時性能較差。為了提高極化碼的糾錯性能，先后提出了許多不同的譯碼方法。參考文獻[1]提出采用串行抵消（successive cancellation，SC）譯碼算法，由于SC譯碼算法是一種次優的譯碼算法，在有限長碼長中性能有待提升。在SC譯碼算法的基礎上，參考文獻[4]提出串行抵消列表（successive cancellation list，SCL）譯碼算法，該算法通過擴張譯碼路徑，增大了譯碼結果正確的可能性。參考文獻[5]提出引入循環冗余校驗碼與極化碼級聯，即CRC輔助SCL譯碼算法（CRC aided SCL，CA-SCL），有助于在SCL譯碼的列表中挑選出正確的譯碼結果。此后，參考文獻[6]提出的奇偶校驗碼級聯極化碼引入校驗比特，在譯碼過程中能夠實時校驗譯碼路徑，性能可優于CRC級聯極化碼，不過使用的蒙特卡洛構造方法使得復雜度嚴重增加。CRC輔助的Polar碼和PC輔助的Polar碼已被納入5G極化碼標準實現方案[3]。

Polar碼在不同譯碼算法下的糾錯性能具有差異，但Polar碼本身的糾錯性能在很大程度上受碼構造的影響，即信息位和凍結位的選取。目前，針對AWGN信道還沒有精確的Polar碼構造方法，只能對AWGN比特信道的可靠度進行估計。常用的方法包括蒙特卡洛構造[1]、密度進化（density evolution，DE）構造[7]、高斯近似（gaussian approximation，GA）構造[8]、極化權重（polarization weight，PW）構造[9]、量化方法[10]等。由于密度進化構造和高斯近似構造都依賴構造時AWGN信道的信噪比，針對不同信噪比的構造結果存在差異。為了得到統一的Polar碼構造序列，華為公司提出的極化權重方法是一種獨立于信噪比的構造方法，相對于傳統的密度進化和高斯近似，構造結果具有嵌套性、復雜度較低。

CRC校驗比特只能在譯碼結束后選擇通過校驗的路徑，不能在譯碼過程中提高路徑選擇的可靠度，而PC校驗比特可以彌補這一不足。參考文獻[11]提出將兩種級聯方案結合形成基于CRC輔助的PC碼級聯極化碼方案。本文在參考文獻[11]的基礎上，在奇偶校驗位后添加一位重復碼校驗位。在譯碼過程中，對于奇偶校驗多次不通過的路徑及時刪除，相對于原有的PC碼輔助的CA-SCL譯碼算法降低了復雜度，對信道容量較低的信息比特再次進行重復碼校驗，輔助路徑度量篩選可靠性更高的路徑，譯碼結束后，采用CRC校驗得到最優路徑。

2 極化碼和其級聯方案

極化碼是一種基于信道極化理論的信道編碼方式。當碼長不斷增加，編碼端通過碼字構造方法后，各個子信道的信道容量呈現出兩級分化的現象：一部分信道的信道容量趨于1，而另一部分的信道容量趨于0。對于信道容量趨于1即可靠度比較高的信道傳輸信息比特，而信道容量趨于0即可靠度較低的信道傳輸凍結比特。

對于給定的碼長N，極化碼的編碼方式如下：

其中，GN(A)表示由 中元素對應的行構成的GN的子矩陣，GN(Ac)同理，⊕表示模2加。

上述的SC譯碼過程是串行進行的，因此容易存在錯誤傳播現象。SCL譯碼算法在SC算法的基礎上引入了保留L條路徑的思想，對于每條路徑計算路徑度量（path metric，PM）[12]：

其中，l表示第l條路徑索引值，表示第l條路徑中第k個譯碼比特估計值，表示第l條路徑的對數似然比，l∈ {1,2,3,…,L}，在每條路徑擴展后都在不可靠的路徑上加上一個懲罰值因此當譯碼結束后得到L個譯碼序列，選取路徑度量最小的序列為最終的譯碼結果。

參考文獻[11]提出的基于CRC的PC碼級聯極化碼（CRC-PC-Polar）方案，如圖1所示，CRC和PC碼作為外碼，極化碼作為內碼進行編碼，信息比特經過CRC編碼器，得到帶有C位的循環冗余校驗比特的信息序列其次經過PC編碼，得到 外碼 碼字極 化碼的信息位上放置外碼碼字，凍結位放置凍結比特，極化碼編碼后得到碼字

3 基于增強奇偶校驗的級聯極化碼

基于CRC的增強奇偶校驗碼級聯極化碼（CRC-EPC-Polar）如圖2所示，其中編碼主要由3部分——CRC編碼、增強PC編碼、Polar碼編碼組成，外碼碼字結構如圖3所示。譯碼主要采用本文提出的增強PC輔助的CA-SCL譯碼算法。下文主要從編碼和譯碼兩個方面詳細闡述本文提出的新型編譯碼方法。

圖1 CRC-PC-Polar級聯方案

3.1 編碼

極化碼的構造是編碼之前的一個重要部分。本文采取PW算法構造估計信道的可靠性，挑選可靠性較高的信道進行信息比特的傳輸。設極化信道序號為i，令i的二進制展開為該極化信道的極化重量被定義為：

即該信道的可靠度度量值，其中極化重量越大，表示信道可靠度越高。對任意長度N，依次計算W0,W1,…,WN-1，并按照從小到大的順序排列，取其下標就是可靠度由低到高的信道。例如，當碼長為8時，n= lb8 =3，當3.603 4。根據上述所得到的信道可靠性排序后，從中挑選M+C+Q個可靠性較高的信道傳輸非固定比特，其中Q=K+R，K為奇偶校驗比特總數，R為增強校驗比特總數，一般R=K，其余信道傳輸凍結比特。

其中，kp表示第k個PC校驗比特在外碼碼字中的索引，集合Sk表示參與第k個校驗方程的信息比特索引集合，本文中取從第一個信息比特到第k個PC校驗比特之間所有的信息比特的集合。第r個重復校驗比特編碼計算式為：

其中，tr表示第r個重復校驗比特在外碼碼字中的索引，Skr表示第r個重復校驗比特對應的Sk，j為第r個校驗方程中PW最小的信息比特索引，即在進行奇偶校驗時所需校驗方程中信道可靠性最低的信息比特。將外碼碼字與凍結比特混合，外碼碼字映射到可靠度較高的信道，其余信道為凍結位，得到長度為N的序列。根據生成矩陣對編碼器的輸入序列進行極化碼編碼，得到級聯碼字編碼完成。

3.2 譯碼

圖2 CRC-EPC-Polar級聯方案

圖3 外碼碼字結構

CRC輔助的SCL譯碼算法只有在譯碼結束后進行校驗，基于增強奇偶校驗的級聯極化碼譯碼算法彌補了這一不足，在譯碼過程中通過引入PC校驗比特和重復校驗比特，當譯碼校驗比特時，是根據校驗比特所在的校驗方程得到的，相當于一類動態的凍結比特。對于奇偶校驗不通過的路徑，記錄該條路徑的累計錯誤值，若該條候選路徑的累計錯誤值達到了所有候選路徑累計錯誤平均值，則該條候選路徑被刪除，相對于原有的PC碼輔助的SCL譯碼算法降低了復雜度。其次進行重復比特校驗，輔助路徑度量值在譯碼過程中進行路徑選擇。假設該路徑出現了偶數個譯碼錯誤，即使通過了奇偶校驗，重復校驗比特也有可能將該條路徑判決為錯誤，導致該條路徑的路徑度量值變大，在后續的路徑選擇中很容易被刪除，從而達到糾錯的目的。基于上述分析，基于增強校驗的級聯極化碼譯碼算法與CRC輔助的SCL譯碼算法具有近似的復雜度，并且在其譯碼過程中及時將錯誤路徑進行了刪除，因此復雜度幾乎沒有增加。基于增強奇偶校驗碼級聯極化碼譯碼算法流程如圖4所示。

圖4 基于增強奇偶校驗碼級聯極化碼譯碼算法流程

3.3 復雜度分析

在編碼端，CRC-EPC-Polar級聯方案比CRC-PC-Polar級聯方案多了增強校驗比特的確定，即選擇前一段信息比特中可靠性最低的比特，由于不涉及復雜的運算，所以編碼復雜度只是微量地增加，相對于性能的提升是可以接受的。

在譯碼端，對于奇偶校驗多次不通過的路徑及時進行刪除，提前終止錯誤路徑的傳播，從而避免了這些路徑的后續譯碼過程，而CRC-PC-Polar的譯碼算法只是通過PC校驗比特影響路徑度量值，在整個譯碼過程中還是保留了L條路徑，因此CRC-EPC-Polar譯碼算法節省了一部分存儲空間，譯碼復雜度有所降低。

4 仿真結果和分析

本文在加性高斯白噪聲信道下對比了3種不同方案的糾錯性能。仿真參數見表1。

表1 不同方案的仿真參數

其中，CRC-EPC-Polar表示本文提出的基于CRC輔助的增強奇偶校驗碼級聯極化碼方案，CRC-Polar表示參考文獻[5]提出的CRC輔助的極化碼方案，CRC-PC-Polar表示參考文獻[11]提出的CRC輔助的基于奇偶校驗碼級聯極化碼方案。在譯碼過程中，保留路徑L=16，保證每種方案的有效碼率相同，即真實的信息比特與碼長的比值相同，最后根據譯碼判決結果統計不同方案的誤碼率（bit error rate，BER）。

圖5～圖7分別是碼長為128、256、512，碼率不同時在高斯白噪聲信道下的性能比較。由圖5～圖7可以看出，在碼長相同、碼率不同時，本文提出的基于增強奇偶校驗級聯極化碼方案均體現出較優異的性能。由圖5看出，在碼長為128、碼率為1/2、誤碼率為 10-3時，本文提出的新型編譯碼方案比基于CRC-PC碼輔助的級聯極化碼獲得了0.3 dB的增益，比CRC輔助的級聯極化碼獲得了0.4 dB的增益；由圖6看出，在碼長為256、碼率為1/2、誤碼率為 10-3時，本文提出的新型級聯方法較CRC-PC級聯的極化碼獲得了0.2 dB的增益，較CRC輔助的級聯極化碼獲得了0.3 dB的增益；由圖7看出，在碼長為512，碼率、誤碼率相同時，本文提出的CRC-EPC-Polar方案比CRC-PC-Polar、CRC-Polar方案均有著接近0.1 dB的增益，在復雜度不明顯增加的情況下，本文的方案仍然可以借鑒。同時碼長相同，碼率越大，誤碼率也會越高。

圖5 碼長為128、碼率不同時在高斯白噪聲信道下的性能比較

圖6 碼長為256、碼率不同時在高斯白噪聲信道下的性能比較

圖7 碼長為512、碼率不同時在高斯白噪聲信道下的性能比較

圖8是碼率為1/2、碼長不同時3種級聯方案性能對比。由圖8可以看出，同種方案下，碼率相同，碼長越長，信道極化效果越好，誤碼率相對越低?？傮w而言，本文提出的CRC-EPC-Polar級聯方案比CRC-Polar、CRC-PC-Polar方案性能更優異。

圖8 碼率為1/2、碼長不同時在高斯白噪聲信道下的性能比較

圖9是碼長為256，碼率分別為1/3、1/2、2/3時在二進制刪除信道（binary erasure channel，BEC）中CRC-EPC-Polar級 聯 方 案 和CRC-PC-Polar級聯方案的性能比較，其中擦除概率取0.5。由圖9可以看出，在BEC中，本文提出的級聯方案相對于CRC-PC-Polar級聯方案仍然具有較優異的性能。

圖9 碼長為256、碼率不同時在BEC下的性能比較

5 結束語

基于CRC輔助的極化碼和PC碼輔助的極化碼，本文提出了一種增強PC碼輔助的極化碼級聯方案，仿真結果顯示，在相同信道、相同碼長碼率下，本文提出的級聯極化碼比CRC級聯極化碼、CRC-PC級聯極化碼更優異，誤碼性能得到了明顯的提升，為解決有限碼長性能不佳的問題提供了新思路。