薄膜聲學超材料降噪性能分析及設計

邱克鵬，秦云飛，費 晨，陳智謀，張衛紅

（1.西北工業大學 工程仿真與宇航計算技術聯合實驗室，西安710072；2.上海衛星裝備研究所,上海200240）

振動噪聲不僅損壞機器設備，而且危害人們的身體健康，是日常生活和工程應用中的常見問題。根據質量定律，傳統的隔聲材料難以實現低頻降噪，也極大地限制了傳統隔聲材料在工程中的應用。近年來，聲學超材料尤其是薄膜聲學超材料（Membrane-type acoustic metamaterials-MAM）成為研究的熱點。2008年，Yang 等[1]基于局域共振理論將附著剛性質量塊的柔性薄膜固定在支撐結構上構成薄膜聲學超材料，實現了輕質、低頻隔聲的效果，從而開啟了薄膜聲學超材料的研究。2010年，Naify 等[2]將圓形薄膜-質量塊固定在支撐環上制作成薄膜型局域共振聲學超材料，利用阻抗管實驗測試和有限元理論分析了影響薄膜聲學超材料隔聲性能的不同因素，進一步揭示薄膜聲學超材料的隔聲機理。2012年，Mei 等[3]研究了一種薄膜厚度比聲波波長小3個數量級的暗聲學超材料，這種超材料附加不對稱質量的半圓形剛性板，在結構共振時，振動的兩個半圓形板大量消耗聲波能量，從而實現低頻寬帶吸聲。Tian等[4]和Zhang等[5]采用模態疊加原理分別對圓形薄膜-環形質量塊結構和方形薄膜-質量塊結構進行聲學超材料隔聲量的計算，并將理論計算結果和有限元仿真結果進行對比，顯示出良好的一致性。2019年，Liu 等[6]利用單胞間的壓差作用，提出薄膜聲學超材料可以在低頻范圍內實現聲波的虹吸效應，并通過精確設計每個單元的虹吸效果實現了400 Hz～650 Hz 寬帶吸波的能力，因此這種虹吸效應為低頻降噪提供了一種新的思路。Wen 等[7]利用磁流變材料制成薄膜，與重物、支撐框架組成主動控制型薄膜聲學超材料，通過改變磁場強度，調節薄膜剛度，從而達到主動控制隔聲量帶寬和共振頻率的目的。Zhao等[8]利用磁力減小薄膜聲學超材料的背腔剛度，但是在非線性磁場的作用下，吸聲帶寬較窄。隨著研究的深入，薄膜聲學超材料的研究發展方向轉向工程應用，例如可以將薄膜聲學超材料應用于管道消聲裝置[9-10]，以減小傳統消聲器的體積，也可以做成大尺寸柔性隔聲材料應用于汽車發動機的機罩[11-12]。

目前在薄膜聲學超材料的設計中主要是采用有限元分析軟件進行數值建模仿真計算，并逐步調節結構的參數來實現預定的目標要求。但隨著網格數量和結構參數的增加，計算機內存被大量消耗，導致計算效率嚴重下降，從而不利于多參數結構設計。本文采用模態疊加法和遺傳算法實現反射型薄膜聲學超材料結構優化設計，可以根據不同目標進行多參數結構設計。另外，以往的研究結果[1-6,13]表明，薄膜聲學超材料單胞結構僅在單一頻率的窄帶內具有良好的隔聲性能，不利于工程應用。為此設計了一種十字型薄膜聲學超材料，實現了低頻寬帶吸聲。文中分別從聲學性能指標的兩個不同方面開展了薄膜型聲學超材料降噪性能的分析和設計。

1 薄膜聲學超材料隔聲性能分析

薄膜聲學超材料單元結構由剛性質量塊和柔性薄膜組成，如圖1所示。其中薄膜的邊界長度為Lx×Ly；質量塊的邊界長度為lx×ly，且左下角的坐標設定為（x0，y0）。薄膜的四周施加固定約束，質量塊的振動效應等效為慣性力作用在薄膜上，即附著的質量不會阻礙薄膜的彎曲變形，質量塊的旋轉慣量可以忽略不計，薄膜的自身強度相對于預緊力也可以忽略不計。

圖1 單元結構模型

為了計算薄膜聲學超材料的隔聲量，還必須考慮到周圍流體的耦合效應，因此當平面波沿垂直薄膜負方向入射到薄膜-質量塊結構的表面時，薄膜-質量塊的振動方程[5]為

式中：w表示薄膜位移；σ表示薄膜預緊力；ρs表示薄膜的面密度；ρm是質量塊的面密度；(x0,y0,x,y,lx,ly)=[H(x-x0)-H(x-x0-lx)]×[H(y-y0)-H(y-y0-ly)]，其中H表示階躍函數。表示入射平面波的振幅；ρ0c0表示流體介質的特性阻抗。

由于外部激勵是平面簡諧波，因此薄膜的位移可以由多階共振模態的疊加效應來表示，即：

式中：φm(x,y)表示滿足邊界條件的模態函數；qm(t)表示隨時間變化的模態幅值，qm(t)=。

將式（2）代入式（1），再乘以正交模態函數φn(x,y)，并在整個薄膜-質量塊表面進行積分，可得

式（3）的矢量矩陣表示為

因此，薄膜-質量塊結構隔聲量的計算公式為

圖1中薄膜邊長Lx×Ly為20×20 mm，厚度hs為0.2 mm，材料為silicon rubber，由于硅膠薄膜本身具有阻尼特性，其楊氏模量并不是一個恒定值，而是與頻率相關，因此取其均值為E=1.9 MPa，泊松比μ為0.48，密度ρ為980 kg/m3；質量塊的邊長lx×ly為3.5×3.5 mm，厚度hm為1 mm，材料為steel，其楊氏模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，密度為7 720 kg/m3，質量塊左下角的坐標值為（8.3，8.3）。聲場的空氣域密度ρ0為1.29 kg/m3，聲波的傳播速度c0為340 m/s。

利用有限元法和模態疊加理論對薄膜聲學超材料的隔聲量進行計算，如圖2所示。根據兩種方法計算所得的隔聲量在趨勢上保持一致，表明基于模態疊加原理推導的隔聲量解析公式是合理的，但在有限元法計算過程中未對薄膜施加阻尼損耗，導致在隔聲谷和隔聲峰頻率處的隔聲量相差很大。此外，薄膜聲學超材料隔聲量曲線存在兩個隔聲谷和一個隔聲峰，其頻率分別為325 Hz、500 Hz 和1 395 Hz，且結構的前4階共振頻率為324 Hz、548 Hz、900 Hz 和1 396 Hz。由表1所示共振頻率和隔聲谷頻率關系可知，薄膜聲學超材料隔聲曲線的第一隔聲谷由1階共振引起，第二隔聲谷由4階共振引起。

圖2 薄膜聲學超材料的隔聲量曲線

表1 隔聲量的波谷頻率與共振頻率/Hz

根據式（1）可知，影響薄膜聲學超材料隔聲性能的主要因素是薄膜邊界長度、質量塊邊界長度、薄膜面密度和質量塊面密度（可采用厚度分析）。因此可結合優化設計方法開展薄膜型聲學超材料結構的尺寸設計，進一步提升其隔聲性能。

2 反射型薄膜聲學超材料設計

遺傳算法[14]（GA）由Holland 教授在70年代提出，具備實用性、魯棒性以及處理大規模不同類型輸入參數的優點，目前已廣泛應用于結構設計、信號處理和自適應控制等領域。

進行反射型薄膜聲學超材料的可調隔聲性能的結構優化設計時，選取薄膜和質量塊的尺寸參數作為設計變量，將根據模態疊加法構建的隔聲量分析方法作為分析工具，以遺傳算法為優化工具，開展不同目標函數問題下的優化設計，建立其優化設計模型為

式中：x表示設計變量；Ls與hs表示薄膜的邊長和厚度，Lm與hm表示質量塊的邊長和厚度，x0與y0表示質量塊在薄膜上的位置；F(x)表示目標函數。

2.1 以離散頻率隔聲量為目標的結構優化

以單一頻率下的隔聲量最大化為目標函數，設計在特定頻率下具有高效隔聲性能的薄膜聲學超材料，其優化模型為

式中：f0表示特定頻率值；TL表示隔聲量。取目標頻率f0=400 Hz，以目標頻率的隔聲量最大化為目標函數，即

利用MATLAB內置的遺傳算法作為優化工具，種群規模設置為200，迭代次數為100次，交叉率和變異率均采用默認設置。經過100次迭代后，收斂曲線如圖3所示。適應度函數經過22次迭代達到收斂狀態。

圖3 適應度函數收斂曲線

圖4(a)為優化前后的二維薄膜-質量塊結構模型，圖中外部虛線框表示初始結構的薄膜邊界，內部虛線框表示初始結構的質量塊邊界，外部實線框表示優化后的薄膜邊界，內部黑色區域表示優化后的質量塊，下文不再贅述。圖4(b)為優化前后薄膜-質量塊結構隔聲量曲線變化示意圖。

經過遺傳算法優化后薄膜的邊界長度減小，薄膜的厚度增大至最大值，質量塊邊界長度增大，質量塊厚度增大，且質量塊的位置仍處于薄膜中心，結構尺寸變化的原因是隔聲峰的峰值與薄膜尺寸參數有關，而隔聲峰的頻率與質量塊尺寸參數有關。圖4(b)中第一隔聲谷、第一隔聲峰頻率移向低頻，第二隔聲谷頻率向高頻移動，隔聲峰的峰值要大于初始結構。

表2為優化前后薄膜-質量塊結構的隔聲特性，其中TL表示隔聲量，單位為dB；f1、f2和f3分別表示第一隔聲谷頻率、第一隔聲峰頻率和第二隔聲谷頻率，單位為Hz˙表示兩個隔聲谷間的平均隔聲量，單位為dB。下文中f1、f2、f3和˙表示相同含義。

表2 優化前后的薄膜-質量塊結構隔聲特性

在f0=400 Hz處，初始結構的隔聲量是17.4 dB，優化結構的隔聲量為42.4 dB，其增幅為144%，使得薄膜-質量塊結構系統在該頻率處具有優異的隔聲性能，其原因是第一隔聲峰（反共振）從初始結構的480 Hz 移至400 Hz，導致在f0=400 Hz處的薄膜-質量塊結構處于反共振狀態，因而隔聲能力增強。從表2中還可以看出，優化后的第一、第二隔聲谷之間的帶寬相對于初始結構有所增大，帶寬從1 020 Hz增大到1 180 Hz，增幅為15.7%。帶寬內的平均隔聲量也由初始結構的11.6 dB 增大到14.9 dB，增幅為28.4%。

圖4 目標頻率為f0=400 Hz時的優化結果

由此可知，以離散頻率處隔聲量最大化為目標函數，通過設計薄膜、質量塊的邊界尺寸、厚度以及質量塊的位置坐標，可以將隔聲峰頻率移到目標頻率處，使目標頻率處于反共振狀態，從而增強了目標頻率下結構的隔聲性能，因此通過這種結構優化方法可以解決特定頻率下的噪聲問題。

2.2 以隔聲帶寬為目標的結構優化

根據薄膜聲學超材料隔聲機理的研究可知，1階、4階共振頻率分別對應隔聲曲線的第一隔聲谷頻率和第二隔聲谷頻率，因此規定4階共振頻率與1階共振頻率之間的差值為隔聲帶寬。隔聲帶寬是評價隔聲性能的重要指標，帶寬的大小對于薄膜聲學超材料的應用前景具有重要影響，因此本節將以隔聲相對帶寬為目標進行結構優化設計。相對帶寬由1階、4階共振頻率的差與和之間的比值來表示，以相對帶寬最大化為目標函數的優化模型為

式中：f1和f3分別表示第一隔聲谷頻率和第二隔聲谷頻率；B(x)表示目標函數，相對帶寬由表示。

遺傳算法參數設置如下：種群規模為200，交叉率和變異率采用默認設置，適應度函數由目標函數表示。經過循環迭代，收斂曲線如圖5所示。適應度函數經過20次迭代達到收斂狀態，并經過80次迭代后結束。

圖6為優化前后結構和隔聲量的變化。其中，圖6(a)表示優化前后薄膜-質量塊的結構變化，圖6(b)優化前后隔聲量曲線的變化。

圖5 適應度函數收斂曲線示意圖

經過遺傳優化，薄膜的邊界長度減小，薄膜的厚度減小，質量塊的邊界長度增大，質量塊的厚度增大至最大值。圖6(b)中第一隔聲谷、第一隔聲峰頻率移向低頻，第二隔聲谷頻率變化較小，隔聲峰的峰值要大于初始結構。

表3顯示了優化前后隔聲性能的變化。從表3中可以看到，優化后薄膜-質量塊結構的相對帶寬從0.62 增大到0.76，其增幅為22.6%；1階、4階共振頻率之間的帶寬增加了7.8%，并且帶寬內的平均隔聲量增加了11.2%。此外，1階共振頻率和隔聲峰頻率相對于初始結構均明顯減小。

由此可知，可以通過以相對帶寬最大化為目標函數的結構優化設計，提高薄膜-質量塊結構的隔聲帶寬以及帶寬內的平均隔聲量，而且這種方法還可以有效降低一階共振頻率和隔聲谷頻率，為設計低頻高效隔聲的薄膜聲學超材料結構提供了依據。

表3 優化前后的薄膜-質量塊結構隔聲特性

3 吸聲型薄膜聲學超材料設計

研究表明[1-6,13]，在兩個隔聲谷之間，反射型薄膜聲學超材料的隔聲作用主要集中在隔聲峰（反共振）附近，而遠離隔聲峰，隔聲量逐漸降低，這種情況使得反射型薄膜聲學超材料高效隔聲的頻段較窄。此外，根據以往的研究結果[3,6]可知，吸聲型薄膜聲學超材料單胞只在共振頻率附近的狹窄頻率范圍內具有良好的吸聲性能。十字型薄膜聲學超材料是由兩個吸聲型薄膜聲學超材料單胞十字交叉而成，通過改變質量板的半徑，能夠有效拓寬薄膜聲學超材料的吸聲帶寬，從而提高薄膜聲學超材料的吸聲性能。

3.1 單元結構模型

圖7所示為十字交叉結構單胞模型，它由1個十字型背腔、薄膜和4個半圓形質量板組合而成，其中對應質量板的間距d=18 mm；4個質量板的半徑都是6 mm，厚度hm=0.4 mm；薄膜的長度Ls=38 mm，寬度ls=23 mm，厚度hs=0.2 mm；背腔的深度H=30 mm，壁厚t=1 mm。

薄膜的材料是硅膠，其泊松比μ=0.48，密度ρ=980 kg/m3，根據測試[3]可知楊氏模量由儲能模量和損耗模量組成，即E=E0+i×E1。這里E0=1.9 MPa，E1=χ0×ω，ω表示角頻率，χ0=796 Pa×s；半圓形質量板的材料是鋼，其楊氏模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，密度為7 720 kg/m3；背腔的材料是樹脂，其楊氏模量為3×103MPa，泊松比為0.4，密度為1 116 kg/m3。

圖6 以相對帶寬為目標函數的優化結果

圖7 十字交叉型薄膜聲學超材料

利用有限元軟件進行吸聲性能的分析計算，得到如圖8所示的吸聲系數曲線。吸聲系數存在3個吸收峰，其吸收峰頻率分別是310 Hz、510 Hz和750 Hz，對應的吸聲系數分別是0.999、0.556和0.781，然而這種構型的高吸聲系數帶寬較窄，無法滿足寬帶吸聲的要求，而且第二、第三吸收峰的吸聲系數較低，因此附著4個相同質量板的十字型薄膜聲學超材料的吸聲性能較差。

圖8 吸聲系數曲線

3.2 寬帶吸聲結構設計

為了提高十字型薄膜聲學超材料的吸聲性能，可通過調節Ⅲ和Ⅳ兩個質量板半徑來設計寬帶吸聲薄膜聲學超材料單胞結構，并且規定吸聲系數大于0.5的頻帶范圍為吸聲帶寬。

令Ⅲ和Ⅳ兩個質量板半徑r為6 mm、3.5 mm 和1 mm，通過仿真計算得到如圖9所示的吸聲系數。由圖可知，改變Ⅲ和Ⅳ兩個質量板半徑，吸聲系數沒有表現出規律性，但當質量板的半徑r為1 mm時，吸聲系數大于0.5的帶寬范圍為470 Hz 至680 Hz，尤其在500 Hz 至660 Hz 較寬頻帶內平均吸聲系數可以達到0.946。而隨著半徑的增大，在500 Hz 至600 Hz范圍內吸聲系數大幅度減小。減小Ⅲ和Ⅳ兩個質量板半徑，得到如圖10所示的吸聲系數曲線和吸聲系數大于0.5的帶寬變化曲線。圖10(a)表明隨著半徑減小，第一個吸聲峰的數值和頻率均未發生變化，而吸聲系數大于0.5的帶寬逐漸增加。圖10(b)表明半徑越小，吸聲帶寬越大，但增加的幅度會逐漸減小。因此，通過減小Ⅲ和Ⅳ兩個質量板半徑，可以實現薄膜聲學超材料單胞結構的寬帶高效吸聲。

圖9 Ⅲ和Ⅳ質量板半徑對吸聲系數的影響

3.3 附著雙質量板的十字型吸聲結構

考慮到加工和工程應用的實際情況，設計一種附著兩個質量板的十字型薄膜聲學超材料，其單胞結構如圖11所示。經過仿真分析計算，得到如圖12所示的吸聲系數曲線。從圖中可以看到，吸聲系數在290 Hz處存在吸收峰，數值為0.831，但帶寬較窄。而在490 Hz 至830 Hz 寬頻帶內，吸聲系數均達到0.5以上，尤其在520 Hz 至810 Hz，平均吸聲系數達到0.884，并且吸聲帶寬內有4個變化幅度逐漸減小的波動峰，峰值頻率分別是540 Hz、690 Hz、760 Hz和790 Hz，峰值分別是0.92、0.962、0.993和0.998。

圖10 Ⅲ和Ⅳ質量板半徑對吸聲性能的影響

圖11 附著兩個質量板的十字型結構模型示意圖

圖12 附著雙質量板的結構吸聲系數曲線

根據圖12可知附著兩個質量板的十字型結構在520 Hz至810 Hz實現了寬頻帶高效吸聲，因此需要對其吸聲機理進行分析，圖13是290 Hz、540 Hz、760 Hz 和790 Hz的振動位移云圖；圖14是290 Hz、540 Hz、760 Hz 和790 Hz的彈性應變能密度分布示意圖。圖13(a)表明在290 Hz處無質量板的橫向薄膜表面沿z軸向下凹陷，帶動縱向薄膜上的兩個薄膜做扭轉振動，并且質量板的直邊向下轉動，質量板的曲邊向上。圖14(a)表明彈性應變能集中在質量板的邊緣，這是因為當質量板作扭轉振動時，質量板邊緣的薄膜發生較大的撓曲變形，同時高亮的彈性應變能密度表明質量板的扭轉振動是消耗聲波能量的主要因素。此外，由于在仿真的過程中背腔邊界被設定為固定約束，橫向薄膜沿z軸向下振動會導致薄膜和背腔之間存在相對運動，使得無質量板的橫向薄膜在背腔交界處發生較大的撓曲變形，這是消耗聲波能量次要因素。圖13(b)表明在540 Hz處振動主要集中在質量板和中間薄膜，其中質量板作扭轉振動，板的中間處于平衡狀態，板的曲邊圍繞平衡位置沿z軸向下轉動，板的直線邊界圍繞平衡位置沿z軸向上轉動，中間薄膜沿z軸向下振動。由于板的直邊與中間薄膜的反向運動，使得板直邊處的薄膜產生了很大的撓曲變形，圖14(b)表明彈性應變能密度主要集中在質量板直邊和薄膜的接觸處，也正好對應著這一撓曲變形區域較大，因此該運動對消耗聲波能量起主要作用。此外，背腔邊界的薄膜也因為薄膜和背腔的相對運動而發生變形，這是消耗聲波的次要因素。圖13(c)表明在760 Hz處振動主要集中于沒有質量板的橫向薄膜，而質量板則保持平衡狀態。薄膜的振動分為兩個部分，一是中間薄膜沿z軸向上運動，二是兩側薄膜沿z軸向下運動，這樣反向振動的模式使得中間薄膜發生較大的撓曲變形，因此在圖14(c)中可以看到中間薄膜區存在大量的彈性應變能密度。另外，兩側薄膜向下運動，還會造成薄膜與背腔邊界接觸區域發生大的曲率變化，因此橫向薄膜的運動造成了聲波能量的大量損耗。圖13(d)表明在790 Hz處質量板間的薄膜位移幅值相對減小，因此隨著頻率增加，中間薄膜逐漸回到平衡狀態。由于760 Hz和790 Hz的振動模式相似，因此圖14(c)和圖14(d)對應的彈性應變能分布情況也相似，但由于在790 Hz處中間薄膜的撓曲變形減小，使得彈性應變能分布區域的亮度降低。

圖13 附著雙質量板的十字型結構共振模態

圖14 薄膜的彈性應變能密度分布示意圖

質量板和橫向薄膜的振動消耗了大量的聲波能量，使聲能轉化為彈性應變能，尤其是撓曲變形較大的區域分布著大量的彈性應變能，因此可以通過調節薄膜預緊力、質量板位置以及橫向矩形薄膜的尺寸影響薄膜聲學超材料的吸聲特性。在后續的工作中，同樣也可以采用優化設計的方法進一步實現吸聲型薄膜聲學超材料的寬帶設計。

4 結語

通過分析及設計薄膜聲學超材料隔聲性能，有效地提高了其隔聲性能，并得到如下結論：反射型薄膜聲學超材料能產生良好的隔聲效果，其隔聲工作頻率為結構的反共振點，且兩個隔聲谷由1階和4階結構共振引起。通過改變結構的尺寸參數可以有效調整隔聲峰、谷頻率和隔聲量大小；基于模態疊加法和遺傳算法對反射型薄膜聲學超材料進行結構設計，以離散頻率隔聲量為目標函數，可以提高目標頻率點處的隔聲能力；以相對帶寬為目標函數，可以拓寬兩個隔聲谷間的隔聲帶寬。因此這種結構優化設計方法實現了不同優化目標下的多參數結構設計；附著兩個質量板的十字型薄膜聲學超材料在520 Hz至810 Hz平均吸聲系數達到0.884，能為可實現低頻寬帶吸聲的薄膜聲學超材料單胞結構設計提供新的思路。