周期聲學黑洞結構彎曲波帶隙與振動特性

李 敬，萬志威，李天勻,3，朱 翔,3

（1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢430074；2.船舶和海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢430074；3.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240）

聲學黑洞(ABH)是通過冪律裁剪結構來實現(xiàn)結構阻抗的漸變，引起結構彎曲波相速度與群速度的變化，從而實現(xiàn)波的能量聚集與操控。在梁或薄板中，若厚度變化為h(x)=εxm(m≥2)，則彎曲波波速會隨著厚度減小而減小[1]。很多研究[2-5]表明敷設阻尼的黑洞對于抑制結構振動或降低聲輻射能達到更好的效果，之后有學者[6]指出此為綜合阻尼層的阻尼與剛度效應，在黑洞中心1/4長度內敷設阻尼材料效果最佳。

但是聲學黑洞的應用也存在不足，Conlon 等[7]計算了帶阻尼的聲學黑洞結構的輻射聲功率，其結果顯示在1 000 Hz以下時效果與不帶聲學黑洞結構響應相似，表明聲學黑洞作用頻帶存在截止頻率，低于該頻率時聲學黑洞作用效果較小。Li等[8]研究了聲學黑洞梁的振動與聲輻射效應，結果也體現(xiàn)出聲學黑洞的截斷效應。并指出適當增加黑洞長度可以增強黑洞對低頻作用的效果。

目前聲學黑洞向低頻帶拓展的方式主要有非線性與周期性排列兩種。Gusev 等[9]考慮微觀非均勻材料的非線性對聲學黑洞板中的彎曲波的影響，發(fā)現(xiàn)非線性吸收隨著波幅的減小而逐漸消失，導致大多數(shù)聲學黑洞中的聲波完全衰減。周期性排列[10-12]則是通過多個黑洞的組合達到拓寬頻帶的作用，聲學黑洞屬于變截面結構，其周期性排列已經屬于聲子晶體的范疇。通過合理設置黑洞參數(shù)與排列方式以及材料的分布等可以得到結構對應的帶隙特性。但這方面的研究仍很匱乏，本文研究了周期性分布的聲學黑洞結構，選擇合適的晶胞對彎曲波能帶結構進行了分析并對有限周期的聲子晶體梁振動傳遞特性進行分析，在較寬頻帶內得到了彎曲波帶隙，與等長度的恒定截面梁及周期楔形梁相比，振動位移傳遞曲線在帶隙區(qū)間出現(xiàn)極大衰減。并且通過改變黑洞區(qū)域材料分析了黑洞與基體材料差異對能帶的影響，為采用聲學黑洞梁抑制振動向低頻帶拓展提供一定思路。

1 聲學黑洞聲子晶體梁

1.1 聲學黑洞中的彎曲波

當彈性波在聲學黑洞中傳播時，波位移w(x)可以由式(1)描述：

式中：B(x)是x處的波幅k(x)為波數(shù)。

實際應用中黑洞必然存在截斷[13]，存在截斷厚度h0，厚度h(x)=εxm+h0，則相應波數(shù)k(x)為

式中：ρ、E、ω分別表示黑洞結構密度、楊氏模量與角頻率。

1.2 聲子晶體能帶結構與傳輸特性

Bloch 波中電子能量的特征值問題中包含了電子能量與波矢之間的關系，常出現(xiàn)沒有波矢與能量對應區(qū)域,稱之為帶隙。而兩者之間的關系稱之為能帶結構[14]。不計體力條件下，彈性波在具有晶格周期性的介質中自由傳播時特征方程為

式中：ρ、λ、μ分別為結構的密度、lame參數(shù)與剪切模量，v為位移函數(shù)，均為位置r的函數(shù)。

滿足式(3)解的波稱為Bloch波，可表示為

式中：Rn為正格矢。

周期性梁彎曲波表達形式為

式中：E、ρ、I、S分別為結構楊氏模量與密度、截面慣性矩與面積，均為位置坐標的周期函數(shù)。

其位移解滿足：

式中：a為晶格常數(shù)，n為周期數(shù)。

故周期性梁中傳播的彎曲波屬于Bloch 波，將波函數(shù)代入彈性波動方程得到波矢與頻率之間關系，即頻散關系，但是在聲子晶體中也繼續(xù)沿用了能帶結構的概念[15]。

無限周期聲子晶體梁帶隙內彎曲波完全被屏蔽，能帶結構足以描述聲子晶體的特性。而有限周期結構中帶隙內彎曲波傳遞表現(xiàn)為衰減而非完全無法傳播，即帶隙內部分彎曲波仍能傳播，此時需要獲得結構參數(shù)如位移、速度、加速度的傳遞函數(shù)。將傳遞函數(shù)與能帶結構結合進行分析。

但由于激勵與響應幅值數(shù)量級的差異，振動與聲學中通常采用如下定義的傳遞函數(shù)[16]，振動中稱之為振級落差：

式中：X1為響應，X0為輸入，可以是位移、速度或加速度。

1.3 能帶結構的計算方法

計算聲子晶體結構帶隙特性的方法通常有3種：傳遞矩陣法、平面波展開法和有限元法。

采用傳遞矩陣法計算聲子晶體梁可得到精確解，對于計算不同材料恒定截面的梁較為簡單。其原理在于利用變截面處或變材料處的彎曲受力與變形的關系建立傳遞矩陣，并利用聲子晶體周期性得到波矢與頻率之間的關系。但對于由聲學黑洞構成的聲子晶體梁，其截面的變化是漸變的，利用傳遞矩陣法時，該方法并不太適用。

平面波展開是將彈性波展開成一系列平面波，在倒格矢空間將波動方程轉化為特征值方程進行計算，但是計算嚴重阻抗失配的聲子晶體收斂慢。對于聲學黑洞漸變變截面的計算，以及本文所考慮的較大阻抗失配問題，平面波展開法存在一定局限性。

有限元法對于計算含有聲學黑洞這種復雜截面的聲子晶體梁有著很好的優(yōu)越性和收斂性。計算能帶結構時，通過將Bloch 位移波作為常規(guī)有限元法的位移解，設置周期性邊界條件，改變波數(shù)計算固有頻率即可得到結構的頻散關系。

一維聲子晶體晶胞中任一點Q位移為

式中：vQ為位移uQ的幅度向量。

則對應晶胞中單元節(jié)點位移uie為

式中：vie為位移uie的幅度向量。

有限元法中將單元中任一點位移用所在單元節(jié)點位移進行插值：

將式(9)代入式(10)，得到單元任一點位移：

式中：

將式(11)代入單元平衡方程：

得到晶胞的單元平衡方程：

式中：ke與me為單元整體剛度矩陣與質量矩陣。

通過整體組裝矩陣，得到整個系統(tǒng)的特征值問題為

式中：K與M為系統(tǒng)整體剛度矩陣與質量矩陣；v為系統(tǒng)位移幅值列向量。

因此采用有限元法計算聲學黑洞聲子晶體梁的能帶結構時，只需要選取一個晶胞單元，設置弗洛奎特周期性邊界條件。將波矢限制在第一布里淵區(qū)，通過計算晶胞的固有頻率即可得到結構的能帶結構圖。故本文通過COMSOL 軟件采用有限元法對周期排列的聲學黑洞結構的帶隙特性與傳輸特性進行分析。

2 有限元模型

2.1 晶胞模型

對于周期性聲學黑洞梁，聲學黑洞之間通常有一定間隔t。Tang 在文獻[5]中指出在黑洞中心1/4區(qū)域敷設阻尼層能較好提升黑洞抑制波傳播的效果，因此選擇黑洞與基體的組合作為聲子晶體梁的晶胞結構，并在黑洞中心1/4 區(qū)域敷設厚度為1 mm的阻尼層材料。

圖1 聲學黑洞梁晶胞模型

基體長度為間距t的1/2。t=20 mm，整體寬度B=50 mm，為矩形截面。如圖1所示，橙色區(qū)域為黑洞，紅色部分為基體，藍色部分為阻尼層。當構成無限周期時，此結構構成一維聲子晶體。

王博涵等[17]選取黑洞長度R=100 mm，冪指數(shù)m=2，對單個黑洞薄板進行振動特性分析，結果表明單個黑洞抑制結構振動有較好的抑制效果。本文將該文獻選取的參數(shù)作為參考，選取黑洞長度為R=100 mm、冪指數(shù)m=2的聲學黑洞進行分析。厚度取為h1=15 mm，考慮聲學黑洞最薄處不可能無限趨于0，選取截斷厚度為1/100的梁厚度，即黑洞最薄處厚度h0=0.15 mm。選取黑洞最薄處為原點O，則黑洞表達式為

代入具體參數(shù)，即：

因此晶格常數(shù)為：a=2R+t=220 mm。

晶胞有限元網(wǎng)格模型如圖2所示，阻尼層采用一層的映射四邊形網(wǎng)格，寬度方向為1 mm，黑洞區(qū)域采用自由四邊形網(wǎng)格，最小網(wǎng)格邊長為0.15 mm，最大邊長為1.875 mm。基體部分采用映射的四邊形網(wǎng)格，尺寸大小為1.875 mm×2 mm。

圖2 聲學黑洞晶胞有限元模型

為對比分析周期黑洞結構的振動波抑制效果，對具有同樣截面尺寸的矩形截面梁也進行對比分析，其與黑洞晶胞等長的幾何模型與有限元模型如圖3與圖4所示，網(wǎng)格采用映射四邊形網(wǎng)格，尺寸為1.875 mm×2 mm。與聲學黑洞梁相比，僅將黑洞區(qū)域替換成與基體等截面的截面梁,當此部分區(qū)域材料不同時，這也構成一種聲子晶體。

圖3 恒定截面梁幾何模型

圖4 恒定截面梁網(wǎng)格模型

2.2 有限周期結構模型

實際中周期性聲學黑洞梁不可能具有無限周期，因此選取8個周期晶胞構成的聲學黑洞梁與恒定截面梁，進行彎曲振動傳遞特性分析，幾何模型分別如圖5與圖6所示。有限元模型劃分尺寸大小與晶胞有限元模型一致，僅做8個周期的陣列。

圖5 8周期聲學黑洞梁模型

圖6 8周期恒定截面梁模型

3 帶隙特性與傳遞特性分析

對于無限周期的聲學黑洞結構，利用有限元法對晶胞進行分析，通過在晶胞兩端設置弗洛奎特周期性邊界條件，限制波數(shù)k在第一布里淵區(qū)內，波數(shù)步長為計算不同波數(shù)下結構的固有頻率，得到波數(shù)與頻率之間的關系，即能帶結構。

對于8個周期的不同結構，取長度L=8a=1 760 mm，在梁一端沿寬度方向施加大小為1 N/m的垂向分布力。在梁的另一端提取位移響應，頻率范圍為5 Hz～4 000 Hz，步長為5 Hz。選取輸入端與輸出端的位移響應的均方值計算傳遞函數(shù)，進而得到傳遞函數(shù)頻響曲線，具體處理方法如下：

有限元法中，通過網(wǎng)格在線與面上劃分出多個節(jié)點。設輸出端N個節(jié)點的位移響應幅值分別為s1、s2、…、sN。

則輸出端平均位移響應為

通過同樣的方法得到輸入端上均方位移響應，則位移傳遞函數(shù)H為

3.1 鋼質黑洞嵌入鋼質基體

首先考慮基體與黑洞材料同為鋼時的帶隙特性與傳遞函數(shù)特性。具體結構參數(shù)見表1。

表1 結構材料參數(shù)

圖7 鋼質黑洞梁彎曲波能帶結構圖

聲學黑洞聲子晶體梁晶胞彎曲波能帶結構如圖7所示，根據(jù)帶隙圖能較清晰看出帶隙的分布與寬窄，為了具體比較帶隙區(qū)間的頻率范圍，將帶隙區(qū)間列入表中，如表2所示，同時引入歸一化寬度[18]的概念：

式中：f1與f2分別為帶隙截止頻率與起始頻率。

表2 通過晶胞得到的彎曲波帶隙特性

圖8給出了8個周期聲學黑洞梁與等長度的恒定截面梁的位移傳遞函數(shù)曲線。以0 dB為閾值，聲學黑洞梁帶隙區(qū)間（灰色陰影部分）的位移傳遞函數(shù)出現(xiàn)很大衰減，每個帶隙區(qū)間最大衰減都達到35 dB以上，效果顯著，進一步驗證了聲學黑洞構成的聲子晶體梁存在彎曲波帶隙。而恒定截面梁位移傳遞特性則在閾值線附近振蕩，表明不存在帶隙特性。

將得到的此帶隙區(qū)間與通過晶胞計算得到的帶隙進行比較，如表2與表3所示，可以看出兩者的帶隙區(qū)間大致一致，帶隙寬度與歸一化寬度差異較小。但是帶隙區(qū)間起止頻率有一定的差異。這一部分主要是無限周期結構和有限周期結構的差異。

從整個頻段看，聲學黑洞梁傳遞衰減明顯優(yōu)于恒定截面梁。除了帶隙區(qū)間外，在帶隙區(qū)間附近的頻帶（黑色陰影部分），周期聲學黑洞梁傳遞也出現(xiàn)較大衰減，如85 Hz 至400 Hz 頻帶最大衰減達到30 dB。這可以從能帶結構圖中得到解釋，雖然這些區(qū)間沒有對彎曲波形成完全禁帶，但是由于在黑洞區(qū)域傳播時彎曲波數(shù)是隨截面變化的，這些部分抑制了部分波數(shù)傳播的彎曲波，因此在傳遞響應圖中也出現(xiàn)較大衰減。

圖8 鋼質黑洞梁振動位移傳遞函數(shù)

表3 根據(jù)傳遞函數(shù)確定的彎曲波帶隙

為了分析周期聲學黑洞梁中周期結構與聲學黑洞對抑制結構振動的貢獻，選取與鋼質周期聲學黑洞梁等長度的單黑洞梁進行對比分析。黑洞參數(shù)保持不變，為保證長度一致，非黑洞部分取為恒定截面梁，如圖9所示。

圖9 等長單黑洞梁模型

在靠近黑洞梁一端進行激勵，另一端提取位移響應，得到位移傳遞函數(shù)曲線如圖10所示。從圖中可以看出周期黑洞梁在帶隙區(qū)間（灰色陰影）抑制振動效果明顯優(yōu)于等長度的單黑洞梁，非帶隙區(qū)間內兩者抑制振動效果差別較小。這說明周期性結構對于形成帶隙區(qū)間從而有效抑制結構振動傳遞起著顯著作用，但是作為由變截面的單黑洞組成的結構不能產生帶隙區(qū)間。

為了進一步研究聲學黑洞對于采用周期聲學黑洞梁抑制結構振動的效果，將黑洞替換為楔形梁，計算等長度的8周期的鋼質周期楔形梁的位移傳遞響應，同樣在中心1/4 區(qū)域敷設阻尼，其結構如圖11所示。

截面厚度表達式為

從圖12所示周期楔形梁與周期黑洞梁的位移傳遞響應對比中可以看出，黑洞梁在[5，45]Hz、[1 080，1 460]Hz與[2 665，2 975]Hz 頻帶內明顯削弱了結構振動的傳遞，而楔形梁在[25，285]Hz頻帶內較大削弱振動位移的傳遞，即周期黑洞梁抑制振動的頻帶范圍明顯優(yōu)于周期楔形梁，聲學黑洞與周期排列的共同作用使得周期聲學黑洞梁產生了較好的帶隙特性。這也從側面說明周期性結構是形成帶隙的必要條件，選擇合適的原胞才能使結構的帶隙特性更加明顯，從而更好抑制結構振動，而聲學黑洞可作為聲子晶體的一種良好的原胞。

圖10 單黑洞梁振動傳遞函數(shù)

圖11 周期楔形梁及其組成單元

圖12 周期楔形梁振動位移傳遞函數(shù)

3.2 鋁質黑洞嵌入鋼質基體

材料特性差異的周期性排列是聲子晶體研究的另一思路，為此將黑洞區(qū)域材質更換為鋁，不改變基體材料。作為對比的恒定截面梁，中間段材料也變換為鋁。鋁材料參數(shù)見表4。

表4 鋁材料參數(shù)

聲學黑洞聲子晶體梁結構的彎曲波能帶結構如圖13所示。對應得到鋁質黑洞嵌入鋼基體的彎曲波帶隙見表5。對比表2可知，鋁制黑洞嵌入鋼質基體的帶隙相較于鋼質黑洞而言，整體向低頻移動。

表5 鋁質黑洞梁彎曲波帶隙特性

圖13 鋁質黑洞梁彎曲波能帶結構圖

位移傳遞特性曲線如圖14所示，響應曲線中對應帶隙區(qū)間（灰色陰影部分）的彎曲振動傳遞出現(xiàn)極大衰減，在相應的帶隙區(qū)間附近某些頻帶（黑色陰影）傳遞響應也同樣出現(xiàn)較大衰減。相較于由鋁制恒定截面嵌入鋼基體梁而言，聲學黑洞梁傳遞特性衰減優(yōu)勢明顯，進一步佐證了3.1節(jié)中的結論。

圖14 鋁質黑洞梁位移傳遞函數(shù)

3.3 環(huán)氧樹脂黑洞嵌入鋼質基體

為了進一步驗證3.2節(jié)中的結論，將鋁質黑洞替換成與鋼基體阻抗失配更大的環(huán)氧樹脂材料進行分析。環(huán)氧樹脂具體參數(shù)見表6。

表6 環(huán)氧樹脂材料參數(shù)

圖15 環(huán)氧樹脂黑洞梁彎曲波能帶結構圖

表7 環(huán)氧樹脂黑洞梁彎曲波帶隙特性

圖15給出了環(huán)氧樹脂聲學黑洞梁彎曲波能帶結構。其帶隙起止頻率見表7，結果表明黑洞材料換作密度與模量更小的環(huán)氧樹脂時，結構的帶隙特性進一步向低頻移動，進一步佐證了3.2 節(jié)中的結論。這是由于黑洞結構材料變化時，一方面材料本身密度與楊氏模量較小，使得結構的固有頻率向低頻移動；另一方面黑洞部分與基體的阻抗失配效應更明顯，更容易形成彎曲波帶隙。

對比圖16與圖8以及圖14給出的位移傳遞函數(shù)曲線也可以看出，同樣的頻率區(qū)間內，黑洞材料越“軟”，基體與黑洞阻抗失配效應越強，帶隙特性越容易在低頻出現(xiàn)，出現(xiàn)帶隙的數(shù)量就越多。這為基于周期聲學黑洞抑制低頻振動提供一定借鑒。

圖16 環(huán)氧樹脂黑洞梁位移傳遞函數(shù)

4 結 語

本文將聲學黑洞與聲子晶體相結合，采用有限元法研究了一種無限周期聲學黑洞梁的能帶結構與有限周期聲學黑洞梁的彎曲波帶隙與振動傳遞特性，并與恒定截面梁、單黑洞梁及周期楔形梁進行了對比，得到了如下結論：

(1)聲學黑洞作為截面冪律變化的結構，將其周期構造成一維聲子晶體，相較于單黑洞梁與周期楔形梁，能產生較好的彎曲波帶隙特性。有限周期黑洞結構帶隙特性與無限周期結構帶隙特性類似，且除了禁帶區(qū)間，在其附近的頻帶內由于聲學黑洞效應，振動位移衰減特性也十分明顯。這表明周期排列聲學黑洞結構對于抑制結構彎曲波的有效性。

(2)將黑洞材料變換為密度與剛度較小的材料嵌入基體后，由于材料間的阻抗失配可以讓聲學黑洞結構在更低頻范圍內出現(xiàn)帶隙特性，且相同頻率區(qū)間內，帶隙數(shù)量越多，抑制彎曲波傳播的頻段更寬，抑制振動傳遞的效果越好。這為周期性聲學黑洞結構抑制低頻振動提供新的研究方向。