含分數階慣容器隔振系統的臨界阻尼設計

陳炎冬,徐 俊,王 芃,陳 寧

(1.無錫太湖學院 機電工程學院，江蘇 無錫214064；2.南京林業大學 機械電子工程學院，南京210037)

慣容器目前主要有3種基本結構，分別是齒輪齒條式、滾珠絲桿式和液壓式[1-4]，其中前兩種機械式慣容器理想的慣性力為慣性系數和相對速度導數的乘積，慣容系數一般取常數，而其阻尼作用基本都忽略不計。而對于液力慣容器則不能忽略阻尼作用，一般采用并聯的復合形式[5-7]，即慣容器的輸出力用慣性力和阻尼力之和來表示，即液力慣容器的輸出特性類似于多相介質（例如軟物質、氣體和固體的混合物等）的力學行為，采用經典模型描述并不準確[8]。而從分數階微分方程建模的觀點看，Westerlund[9]建議采用一個統一的分數階導數項來描述既有慣性又有阻尼作用的多相特性，參數更少，例如采用分數階描述黏彈性材料本構關系已經有很多成功的案例［10-11］。從文獻[1-7]可知慣容器的作用主要是輸出慣性力，不管哪一種形式阻尼力占比相對均較小，因此隔振系統包含分數階慣性容器且有非線性時，還需配合阻尼控制來提升其性能[12]。文獻［13-14］針對含分數階項時的2階系統討論了其特征方程解的形式，指出在0到2π范圍內不存在負實數的特征根，其形式都是具有負實部的共軛復數。文獻[15]則把分數階2階系統作為非傳統的2階微分方程處理，把幅角范圍從2π 拓展到無窮大，得到了具有數學意義的負實數特征根。因此本文在此基礎上研究具有用含分數階導數描述的慣容器的二階非線性隔振系統及其阻尼控制器設計。

1 隔振系統建模

研究對象為如圖1所示隔振平臺[16]，U型結構為隔振平臺基座，其在垂直方向由彈簧、慣容器和阻尼控制器組成，水平方向由左右對稱的一對彈簧組成，圖中m為隔振對象質量，kv為垂直彈簧剛度，kh為水平彈簧剛度，b為慣容系數，l0為水平彈簧初始長度，l為彈簧水平時的長度，u為阻尼控制器輸出力，z為隔振對象的位移。

圖1 隔振平臺示意圖

本文只討論系統垂直方向振動，隔振系統有隔力型和隔幅型兩種，限于篇幅，只討論第一種情況，即假定地基是剛性的，這使得隔振平臺基座的位移ze＝0。在隔振對象上作用激勵力fe，ft為傳遞到基座上的力。假設隔振對象在隔振平臺處于實線狀態時所處位置為靜平衡位置，虛線狀態對應彈簧未變形時的初始位置，可以得到靜位移表達式為

垂直方向的彈簧力、慣容器的輸出力可以分別表示為

式中：μ為分數階導數的階次，從式(2)看出水平彈簧在垂直方向上可以起到負剛度的作用，可以使整個系統的線剛度接近于零。

由牛頓第二定律和對式(2)進行泰勒級數展開，且忽略高階項，得到系統的動力學方程：

其中阻尼反饋控制力u=-ck，令等效線性剛度k=k1+變量記為Z，以示區別，導數用“′”表示。對上式進行無量綱變換，得系統的無量綱動力學方程為

2 力傳遞率

2.1 無阻尼控制時的力傳遞率

先討論無阻尼控制時的情況，即U=0時，在簡諧激勵作用下，假設式(5)的近似解為Z(τ)=acos(Ωτ-φ)，采用諧波平衡法，對式(5)進行化簡，忽略1階以上的諧波后，得到以下關系式：

由式(4)可寫出無量綱化后的輸出力為

令隔振平臺輸出力為簡諧輸出，即Fout=Ftcos(Ωτ-φF)，應用諧波平衡法，可得：

根據力傳遞率定義[16]，由式(6)和式(9)得到力傳遞率表達式：

根據式(10)可知當μ=2時，ξμΩμsin(μπ/2)=0；而當1＜μ＜2時ξμΩμsin(μπ/2)≠0，所以當1-Ω2+3k3a2/4+ξμΩμcos(μπ/2)=0時，第二種情況下TF不會像整數階時那樣趨向于無窮大，即起到了類似于阻尼的作用。另外根據式(10)繪制了不同參數下的力傳遞率對比曲線（圖中細的點線為不同情況下由于非線性引起的共振峰“彎曲”或叫“跳躍”現象曲線），如圖2(a)至圖2(d)所示。

從圖2(a)圖2(b)可以看出，在相同條件下：(1)不管是整數階(μ=2)還是分數階(μ=1.8)，慣容系數b的增大共振頻率都是明顯降低，而且效果差不多，說明取分數階不會改變其慣性特性；(2)分數階時共振峰的“彎曲”程度和共振峰值明顯比整數階時小，說明取分數階可以抑制非線性特性且使慣容器起到一定的阻尼作用；(3)整數階時有明顯的反共振位置，而分數階時幾乎沒有，從隔振的角度看，沒有反共振是需要的。從圖2(c)可以看出，在相同條件下，隨著μ增大，共振峰的“彎曲”程度增大，同時降低共振頻率，穩態時的力傳遞率值增大。從圖2(d)可以進一步看出，在相同條件下，隨著L的增大，共振峰彎曲的程度降低，同時共振頻率降低，穩態傳遞率幅值基本不變，所以綜合來看L取大一點好。

圖2 力傳遞率對比曲線(m=200，kv=18 000)

2.2 有阻尼反饋控制時的力傳遞率

從上面的分析可以看出雖然含有慣性容器，提高慣容器系數可以明顯降低共振頻率，且采用分數階導數來描述的慣容器還起到一定阻尼作用，可以降低共振幅值，符合液力慣容器的多相力學特性，但是不能完全解決非線性的“跳躍”問題。因此在前面的基礎上引入可調的阻尼控制器，通過阻尼力反饋控制來提升隔振效果。根據式(5)可寫出有阻尼反饋控制時隔振平臺的輸出力為

同樣假設此時隔振平臺輸出力具有簡諧形式，即：

然后采用諧波平衡法，化簡得到有阻尼控制時的力傳遞率：

從式(13)看出其比前面無阻尼控制時多了一項2ξαΩ，其中阻尼系數ξα是下面設計的重點。為了抑制非線性的影響，ξα具體選多少合適呢？

3 分數階臨界阻尼設計

對于傳統的二階線性系統當阻尼比為臨界阻尼比時，系統響應單調遞減，系統全局穩定，那在含有分數階導數項時是否也有臨界阻尼比呢？是否能克服非線性項的影響，或可以抑制多大的非線性？

3.1 特征根在s平面負半軸上的條件

為了討論和設計臨界阻尼比，首先將忽略非線性項的自由振動方程作為討論對象，即式(5)可以改寫為

本文分數階導數采用Caputo 定義[8]，對上式進行拉氏變換，可得特征方程：

拉氏因子s是任意復數，可表示為s=reiθ=rcosθ+rsinθi，其中模r為正實數，代入式(15)，并根據等式兩邊實部、虛部分別為0，有如下關系式：

由經典振動理論可知，只有特征根為負實數時系統響應才能單調遞減，系統處于全局穩定。參考文獻[13-14]中在0～2π 討論了特征值的存在情況，證明當μ取分數時特征值只有負實部的共軛復數解，顯然在傳統理論下是不存在臨界阻尼概念的。那是否說明含分數階導數項的二階系統的響應就不會單調下降了嗎？很顯然結果是否定的，事實證明分數階系統響應單調下降情況是普遍存在的。參考文獻[15]將視野拓寬，在幅角為0 至∞范圍內討論所有在數學上滿足特征根為負實數的情況。具體需要滿足什么條件，才能找到負實數的特征根呢？

下面將詳細介紹，首先記在s平面負半軸上的特征根為-r，即sinθ=0，cosθ=-1，可得θ=(2k1-1)π，k1為整數且k1≠1，此時式(16)可簡化為

下面來討論滿足式(17)的條件。當μ=2時由式(15)可以直接求得特征根為

其中：k1、k2都為整數(2，3，4，…)，μ∈(1，2)。很明顯滿足該條件的分數階階次普遍存在，但須滿足分母為奇數、分子為偶數時(如14/9、16/9、16/11、18/11、20/11、22/11 等)，才能使特征根在s平面負半軸上。此時化簡式17(a)可得阻尼系數表達式為

很顯然，從以上分析看出，滿足負實數特征根的阻尼系數是普遍的，那何時是臨界狀態呢?

3.2 分數階臨界阻尼和仿真驗證

從式(20)可以看出阻尼不僅和結構參數μ、ξμ有關，還與特征值幅值r有關。要在選定μ、ξμ后，能夠有一個最佳的阻尼系數使系統單調遞減，顯然應取其為所有可取值的最小值即臨界阻尼，因此將式(20)對r一次求導得：

令式(21)等于0，可得ξα為極小值時對應的r值，解出r后代入式(20)可得分數階臨界阻尼，記其為ξc。當μ=2時，ξα的極小值為此時，將其代回式(15)，得到的特征值與式(18)一致。根據式(20)和式(21)繪制分數階階次不同時阻尼系數隨特征值幅值r變化的曲線，如圖3所示。結果表明其和理論預測一致。滿足特征值為負實數的r和阻尼系數ξα很多，但是希望滿足系統阻尼器工作時提供能量最少。圖中圓圈為阻尼系數各自的最小值，該值即為保證系統單調下降時可選阻尼范圍的臨界位置即對應臨界阻尼，大于該值為過阻尼，小于該值為欠阻尼。同時發現隨著μ增大，臨界阻尼也相應增大。

為了驗證計算出的阻尼是否是臨界阻尼，運用MATLAB/Simulink 對式(14)進行建模和數值計算，其中分數階算子采用Oustloup近似算法[8]求解，得到不同分數階階次(ξμ=0.8)時和不同倍數臨界阻尼(ξμ=0.8，μ=18/11)時的有阻尼自由振動位移響應，如圖4所示。從圖4(a)中可以看出階次小于1時，其單調下降的速度明顯比大于1時慢，說明導數階次小于1時阻尼明顯起了作用，而從另外3條曲線看出系統受到的影響不大，總的規律是導數階次越大越好。從圖4(b)中可以看出，和整數階時情況一樣，小于臨界阻尼時曲線會發生震蕩，大于臨界阻尼時為過阻尼狀態，曲線收斂很慢。

圖3 分數階階次不同時阻尼系數隨特征值幅值r變化的曲線（ξμ=0.8）

圖4 有阻尼自由振動位移響應

圖5為臨界阻尼倍數(ξμ=0.8，μ=18/11)不同時的力傳遞率曲線(其中圖5(a)中非線性項系數K3=10，圖5(b)中K3=100)。從圖中可以看出只有分數階慣容器(ξα=0)時，曲線“彎曲”程度很大，基本沒有抑制非線性影響能力，而有阻尼器且選取臨界阻尼時不管非線性項系數大還是小，都可以有效抑制非線性的影響。此外，選取欠阻尼時抑制非線性能力相對較差。

圖5 分數階階次不同時力傳遞率曲線(ξμ=0.8)

4 結語

本文所提出采用分數階導數(階次在1到2之間)描述輸出特性介于慣性和阻尼之間的液力慣容器是合理的，理論分析和仿真結果表明，改變分數階階次的大小可以調節慣性和阻尼特性的占比，因此可以描述不同結構形式的液力慣容器，這為研究人員提供了一種新的慣性容器建模思路。含有非線性時，阻尼作用不可簡單用慣性容器替代，而可通過增加阻尼控制來對其進行抑制。參考2階系統臨界阻尼的思想，設計出含分數階導數項時的分數階臨界阻尼，驗證了在慣容器參數等其他結構參數確定后對應的滿足特征值為負時的阻尼只有一個極小值，且能夠保證系統響應單調遞減，由此證明了其為系統的臨界阻尼。同時通過對比驗證了考慮非線性項作用時，根據該方法得到的分數階臨界阻尼反饋控制相對無阻尼、欠阻尼時可以更有效降低振幅和抑制非線性的影響。