執(zhí)行器中磁滯非線性問(wèn)題的建模和補(bǔ)償

羅黎明

摘 要：傳感器和執(zhí)行器復(fù)雜的磁滯特性導(dǎo)致了輸出、輸入變量之間的非線性和多值映射。針對(duì)這種復(fù)雜的磁滯非線性，本文基于改良的Prandtl-Islinskii方法對(duì)其進(jìn)行建模和補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了這種新的建模和補(bǔ)償方法可以有效解決執(zhí)行器中的磁滯非線性問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：執(zhí)行器;磁滯非線性;Prandtl-Ishlinskii算子;非線性誤差

由于硅在傳統(tǒng)機(jī)械材料的加工領(lǐng)域中取得了顯著的進(jìn)展，因此微機(jī)電系統(tǒng)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。微型化是作為微機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)的主要特征之一，它除了要求傳感器要小型化外，還要求執(zhí)行器具有較高的能量密度，這可以讓執(zhí)行器在尺寸很小的情況下獲得足夠大的力[1]。但是，在控制過(guò)程中執(zhí)行器與傳感器之間存在復(fù)雜的磁滯非線性，這就導(dǎo)致了執(zhí)行器的輸出變量和輸入變量之間存在非線性和多值映射[2]。

磁致伸縮執(zhí)行器，壓電執(zhí)行器和電磁執(zhí)行器的磁滯特性如圖1所示，圖中s為位移，U為電壓，I為電流。從圖中可以看出每個(gè)執(zhí)行器相應(yīng)的輸入變量和輸出變量之間都存在非線性和多值映射的關(guān)系，并且各個(gè)執(zhí)行器之間的磁滯特性還各不相同[3]。對(duì)于這種復(fù)雜的磁滯非線性，本文采取改良的Prandtl-Ishlinskii方法進(jìn)行非線性的建模和補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明這種新的建模和補(bǔ)償方法能夠解決執(zhí)行器中復(fù)雜的磁滯非線性。

1 建模和補(bǔ)償

在數(shù)學(xué)中，常把磁滯非線性的表示方法等同于“速率獨(dú)立記憶效應(yīng)”。這意味著具有滯后性系統(tǒng)的輸出信號(hào)不僅取決于輸入信號(hào)的現(xiàn)值，還取決于它們的振幅順序，特別是它們的極值，但是不取決于它們過(guò)去的速率。圖1所示的與速率無(wú)關(guān)的分支轉(zhuǎn)移特性是具有滯后非線性的典型標(biāo)志，其可以分為兩類。在第一類中，磁滯非線性具有局部存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，這意味著輸出的當(dāng)前值僅取決于輸入的當(dāng)前值和一個(gè)極值。但是，幾乎所有基于智能材料的傳感器和執(zhí)行器中出現(xiàn)的磁滯非線性都具有非局部或復(fù)雜的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，因此他們都屬于第二類情況。在這種情況下，輸出的當(dāng)前值不僅取決于輸入的當(dāng)前值，而且還取決于過(guò)去輸入的一個(gè)或多個(gè)極值[4]。這種復(fù)雜的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)可能會(huì)使得閉合的主循環(huán)和次循環(huán)在輸入信號(hào)相同方向的分支處相交。

對(duì)執(zhí)行器中出現(xiàn)的復(fù)雜磁滯非線性問(wèn)題，起初主要采用Prisach滯后算子其進(jìn)行建模和補(bǔ)償，并采用逆前饋控制的方法。但使用Prisach滯后算子的主要缺點(diǎn)是一般情況下Prisach滯后算子的補(bǔ)償器需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，不適合實(shí)時(shí)應(yīng)用。因此，最近的研究也提到了采用Prandtl-Ishlinskii滯后算子對(duì)非線性問(wèn)題進(jìn)行建模和補(bǔ)償。在初始狀況下：

對(duì)于初始時(shí)間為t0的輸出信號(hào)，滯后算子與輸出的獨(dú)立初始值y0∈R有關(guān)，并由其閾值參數(shù)rH∈R+0來(lái)表征。圖2顯示了該滯后算子不受速率影響的輸出-輸入軌跡。

Prandtl-Ishlinskii滯后算子的閾值離散形式為：

與Preisach滯后算子相比，使用Prandtl-Ishlinskii滯后算子的主要優(yōu)點(diǎn)是，Prandtl-Ishlinskii滯后算子的模型復(fù)雜度降低[5]，并且可逆的Prandtl-Ishlinskii滯后補(bǔ)償器也為Prandtl-Ishlinskii滯后算子類型，這意味著可以利用權(quán)重、閾值和初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換規(guī)律進(jìn)行分析計(jì)算。但是使用Prandtl-Ishlinskii進(jìn)行建模有一個(gè)最主要的缺點(diǎn)，是對(duì)實(shí)際復(fù)雜執(zhí)行器的磁滯非線性往往存在著很強(qiáng)的限制。

克服這些限制的一個(gè)直觀想法是將滯后算子與連續(xù)的、非凸的以及非對(duì)稱的無(wú)記憶非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)在一起[7]。這就引出了改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii方法，該方法使用了一種特殊的無(wú)內(nèi)存非線性建模技術(shù)。改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子由Prandtl-Ishlinskii滯后算子和Prandtl-Ishlinskii疊加算子組成[6]。Prandtl-Ishlinskii疊加算子是基于函數(shù)定義的所謂單側(cè)死區(qū)算子的加權(quán)疊加。

在相應(yīng)輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的現(xiàn)值之間，這個(gè)疊加算子也完全由閾值參數(shù)rS∈R來(lái)描述。圖3顯示了該疊加算子在不同閾值下與速率無(wú)關(guān)的輸出-輸入軌跡。

Prandtl-Ishlinskii疊加算子的閾值離散形式為：

對(duì)于Prandtl-Ishlinskii的滯后算子H和疊加算子S[6]，改進(jìn)后的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子由以下公式定義：

因此，改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii方法允許對(duì)具有非對(duì)稱回路的可逆復(fù)雜滯后非線性進(jìn)行一致的建模和補(bǔ)償。

2 實(shí)驗(yàn)仿真分析

在本節(jié)中，將通過(guò)補(bǔ)償圖1中3種執(zhí)行器的非線性來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)后Prandtl-Ishlinskii方法的性能。例如，圖1（b）中壓電執(zhí)行器的磁滯特性顯示出很強(qiáng)的磁滯分支，并且從奇對(duì)稱到原點(diǎn)的偏差很小。在這種情況下，可以使用帶有8個(gè)滯后算子和6個(gè)單邊死區(qū)算子的改進(jìn)后的Prandtl-Islinskii磁滯算子，來(lái)很好地補(bǔ)償壓電執(zhí)行器的非線性。但是，圖1（c）中的電磁執(zhí)行器的磁滯特性顯示出較弱的磁滯分支，并且從奇對(duì)稱性到原點(diǎn)的偏差很大。在這種情況下，可以使用具有6個(gè)滯后算子和24個(gè)單側(cè)死區(qū)算子的改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子，來(lái)補(bǔ)償電磁執(zhí)行器的非線性。最后，圖1（a）中磁致伸縮執(zhí)行器的磁滯特性顯示出很強(qiáng)的磁滯分支以及從奇對(duì)稱到原點(diǎn)的強(qiáng)烈偏差。在這種情況下，可以使用具有14個(gè)滯后算子和14個(gè)單側(cè)死區(qū)算子的改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子，來(lái)補(bǔ)償磁致伸縮執(zhí)行器的非線性。

在圖4中，改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii磁滯算子的分支顯示為黑線，相應(yīng)的精確逆算子顯示為灰線，它們是執(zhí)行器的磁滯特性來(lái)確定。我們定義的執(zhí)行器非線性誤差e可以通過(guò)下面公式計(jì)算。

在下表中，我們列出了三種執(zhí)行器使用改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii方法得到的非線性誤差，并且與最佳的線性逼近相比較（n=0，l=0），其中n表示滯后算子，l表示雙側(cè)死區(qū)算子[8，9]。

與最佳的線性逼近相比，使用改進(jìn)后的Prandt-Islinskii方法可以將磁致伸縮執(zhí)行器的非線性誤差降低約20倍，壓電執(zhí)行器的降低約15倍，電磁執(zhí)行器的降低約40倍。

3 總結(jié)

本文證明了利用改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii方法可以對(duì)磁致伸縮執(zhí)行器，壓電執(zhí)行器和電磁執(zhí)行器的復(fù)雜磁滯非線性問(wèn)題進(jìn)行建模和補(bǔ)償。在磁滯特性不同的情況下，非線性誤差至少可以減少約15倍，這使得上述3種執(zhí)行器的非線性問(wèn)題能夠很好地解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]程時(shí)杰.先進(jìn)電工材料進(jìn)展[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2017（15）.

[2]馮穎，胡躍明，蘇春翌.基于Prandtl-Ishlinskii模型的一類回滯非線性系統(tǒng)自適應(yīng)控制[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2006（03）.

[3]顧寒烈，吳洪濤，楊小龍，李耀，程世利.壓電作動(dòng)器非對(duì)稱遲滯模型的建立和參數(shù)辨識(shí)[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2017（04）.

[4]周洪成.數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)無(wú)模型自適應(yīng)控制技術(shù)研究[D].南京航空航天大學(xué)，2017.

[5]胡蘭雄.精密磁阻作動(dòng)器磁滯建模與控制研究[D].華中科技大學(xué)，2018.

[6]徐鴻翔.伺服閥用超磁致伸縮電-機(jī)轉(zhuǎn)換器控制技術(shù)的研究[D].南京航空航天大學(xué)，2013.

[7]席守治，賴?yán)诮?基于正切函數(shù)的壓電驅(qū)動(dòng)磁滯建模及其控制[J].輕工機(jī)械，2020（05）.

[8]李俊志，關(guān)杰，孫文龍.一種改進(jìn)的線性化技術(shù)及其應(yīng)用[J].密碼學(xué)報(bào)，2014（05）.

[9]李凱.一類二次函數(shù)的最佳一致線性逼近的思想方法及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（19）.