可配置八階巴特沃斯低通濾波器的設計

朱思浩，羅顯志

(湖北大學計算機與信息工程學院， 湖北 武漢 430062)

0 引言

濾波器常用的近似函數有4種：巴特沃斯函數、切比雪夫函數、橢圓函數、貝塞爾函數.用巴特沃斯函數設計低通濾波器，仿真出來的幅頻特性曲線平坦，通常無起伏情況，阻頻帶持續降低，直至變為零.在設計高階巴特沃斯低通濾波器時，前人通常用級聯設計法串聯數個二階巴特沃斯低通濾波器的設計思路，形成高階巴特沃斯低通濾波器電路，再仿真其幅頻特性曲線.本設計在原有基礎上，做了兩點修改.首先，對電路結構進行修改.ADA4084-2是一種軌至軌輸入和輸出的雙通道，單電源，10 MHz帶寬的芯片，用ADA4084-2做為電路的運算放大器，它具有帶寬大、噪聲低、精度高的優點.每一級運算放大器的反向輸入端接到下一級電路的電容[1].其次對設計的八階巴特沃斯低通濾波器進行噪聲分析.因為頻譜噪聲密度是反映濾波器噪聲干擾強弱的重要指標，通過與AD8671芯片的頻譜噪聲密度曲線進行比較，看出設計的八階巴特沃斯低通濾波器在截止頻率處的抗噪聲干擾能力的強弱.

1 巴特沃斯濾波器的傳遞函數

其系統函數歸一化形式為：

通常情況下保持通帶增益為0 db,設定d0=a0,在a0=an=1時，可以得到歸一化巴特沃斯多項式因子：當濾波器的階數N=1時，它的多項式因子為s+1;濾波器的階數N=2時，多項式因子為s2+1.414s+1;濾波器的階數N=3時，多項式因子為(s+1)(s2+s+1)；濾波器的階數N=4時，它的多項式因子為(s2+0.765 4s+1)(s2+1.847 8s+1)；一直到濾波器的階數N=8時，多項式因子為(s2+0.398 6s+1)(s2+1.111s+1)(s2+1.663 0s+1)(s2+1.962 2s+1).為了便于理解，可用如表1來表示從一階濾波器至八階中，全部的多項式因子.

表1 歸一化的巴特沃斯多項式

由a0=an=d0=1時，可以得到如下公式：

此時的Butterworth多項式為：

sn+an-1sn-1+…+a2s2+a1s+1(a0=an=1)

用振幅的平方對頻率的關系來表示巴特沃斯低通濾波器，如下式所示：

上式中,n表示濾波器的階數，wc是截止頻率，ωp是通頻帶邊緣頻率，1/(1+ε2)=|H(ω)|2是通頻帶邊緣數值.如果該濾波器是N階的情況下，其相應的振幅和頻率之間有這樣的一種關系：

式中，G是放大率，H是轉移函數，j是虛數單位，n是級數，w是角頻率.假設截止頻率wc=1的情況下，那么，該公式歸一化就是：

2 電路結構

八階巴特沃斯低通濾波器的設計方法有多種，本設計在原有基礎上，對電路結構進行修改.八階巴特沃斯低通濾波器電路選用ADA4084-2型運算放大器芯片，該芯片具有帶寬高、低噪聲、精度高、單位增益高的優點，適合高階低通濾波器的設計.該電路是由4個改進后的二階Sallen-Key低通濾波器串聯形成.改進后的二階Sallen-Key低通濾波器電路結構如圖1所示.

圖1 改進后二階Sallen-Key低通濾波器結構圖

由圖1可以看出二階Sallen-Key低通濾波器電路結構中，以ADA4084-2芯片作為Sallen-Key低通濾波器的有源器件，1個交流電壓源，2個電阻和1個電容相互連接接到ADA4084-2的同相輸入端，ADA4084-2的反相輸入端與1個電容的一端直接接到下一級放大電路中[2-3].根據基爾霍夫電壓規律，基爾霍夫電流規律和運算放大器同相端的關系可以得到電路的傳遞函數.傳遞函數如下所示：

(1)

3 電路參數計算

設計此濾波器所用到的公式如下：

(2)

(3)

式中，W0為低通濾波器的轉折頻率，Q為低通濾波器的品質因數，R1、R2、C1、C2分別表示八階低通濾波器第一級電路中電阻和電容.根據圖1可知，1個二階Sallen-Key濾波器中有4個未知數，它們分別是R1、R2、C1、C2. 由(2)式和(3)式來確定R1、R2、C1、C2.由于方程的個數少于未知數的個數，不能直接通過方程來依次求解出R1、R2、C1、C2的數值.因而在求解這4個未知數時，必須要先確定2個電路元器件的參數值，然后再根據不同電阻電容之間的關系來確定剩下2個值，從而求解出R1、R2、C1、C2的數值[4-7].

在對低通濾波器中電阻電容等相關參數進行取值時，經常用到等值元件法.在該電路若用等值元件法對各級電路中的電阻電容進行取值，即C1=C2，R1=R2；電路中只有2個未知的參數值：C1，R1，再根據濾波器電路的截止頻率與電容選取的關系確定電容C1，再將C1帶入上述(2)式，可以求得電阻R1.作為設計電路的一種方法，使用等值元件法設計電路其目的是為了減小元件的分散性，計算參數值時相對簡便；但是使用等值元件法缺點很明顯.首先電路的截止頻率不能設置的太高，其次是對電路中Q值有所限制.考慮到使用等值元件法設計濾波器電路的諸多限制，所以用另外一種設計方式來設計該濾波器.[8]設計該濾波器，第一步要選擇合適的電容的阻值.通過分析可以清楚的了解到，在此需要進行設計的電路中，需要用到200 kHz的截止頻率,同時，還要充分分析其截止頻率、電容的情況，并且要按照它們選取的關系確定各級電路中電容值[9-10].為了便于敘述，通過表2展現八階巴特沃斯低通濾波器各級電路的電阻、電容值.

表2 各級電路電阻電容數值表

八階巴特沃斯低通濾波器電路圖如圖2所示：

圖2 八階巴特沃斯低通濾波器

4 仿真結果

通過對此濾波器進行分析，并且通過NI Multisim 14.0對其電路圖進行仿真，得到以ADA4084-2型運算放大器，為八階巴特沃斯低通濾波器的有源器件的幅度特性曲線圖，如圖3所示.

圖3 幅度特性曲線圖

以ADA4084-2型運算放大器，為八階巴特沃斯低通濾波器的有源器件的頻譜噪聲密度曲線圖如圖4所示.

圖4 頻譜噪聲曲線圖

以AD8671運算放大器芯片做為八階巴特沃斯低通濾波器有源器件，用NI Multisim 14.0繪圖工具進行仿真得到幅度特性曲線圖，如圖5所示.

圖5 幅度特性曲線圖

以AD8671運算放大器芯片作為八階巴特沃斯低通濾波器有源器件，其所對應的頻譜噪聲密度曲線如圖6所示.

圖6 頻譜噪聲曲線圖

5 結論

通過將ADA4084-2型運算放大器與AD8671運算放大器芯片的噪聲分析比較可知：當噪聲頻率在電路截止頻率200 kHz處，ADA4084-2型運算放大器噪聲頻譜密度值低于AD8671運算放大器噪聲頻譜密度值，噪聲頻率高于200 kHz時，ADA4084-2型運算放大器的噪聲的頻譜密度曲線，比AD8671運算放大器頻譜密度曲線下降的快.綜上可知：以ADA4084-2型運算放大器作為八階巴特沃斯低通濾波器的有源器件是合適的，設計的八階巴特沃斯低通濾波器抗信號的噪聲干擾性能強，在濾波器領域有較大的應用前景.