Fong特征標與誘導源

常學武，張俊偉

(山西大學數學科學學院， 山西 太原 030006)

0 引言

本文中只考慮有限群, 有關群論和復特征標以及Brauer 特征標的符號和術語,分別按教材[1-3]. 眾所周知, 在有限群的表示理論中, 特征標的誘導是非常重要的技術, 因為它提供了從子群的特征標出發研究大群的特征標的一種自然途徑. 目前比較完善的誘導理論是所謂的Clifford誘導, 即考慮正規子群及其上不可約特征標所定義的Clifford對應(復特征標情形見文獻[2，定理6.11], Brauer特征標情形見, 文獻[3，定理8.9].

為了推廣特征標的Clifford對應, Dade在1985年提出了誘導源的概念.設G為群,S?G為G的子群,θ∈Irr(S)為S的一個不可約復特征標. 記Gθ為θ在G中的穩定子, 亦即

Gθ={g∈G|Sg=S,θg=θ}={g∈NG(S)|θg=θ}

為θ在NG(S)中的慣性群.如果特征標的誘導定義了一個雙射

Ind:Irr(Gθ|θ)→Irr(G|θ),ξ|→ξG.

Dade稱(S,θ)為G的一個誘導源, 稱該雙射為一個誘導源對應, 并在文獻[4]中系統地研究了誘導源對應, 獲得了幾個深刻結果. 2004年Isaacs和Lewis[5]深入考察了次正規誘導源, 并給出該情形下誘導源的一個判別條件. 關于Brauer特征標的誘導源理論, 或一般地, 關于 Isaacs 的π-部分特征標的誘導源理論, 也得到了研究. 2008 年 Lewis[6]證明了π-部分特征標的一個誘導源判別定理, 并用之研究π-部分特征標的提升等問題. 事實上, 誘導源對應提供了一種嶄新的證明技術, 被廣泛應用到許多重要特征標問題的研究中, 例如, 可見在文獻[7]中的主要結果.

另一方面, 1984年Isaacs[8]創立了π-部分特征標理論, 就π-可分群而言, 統一了復特征標 (取π為所有素數的集合)和p-可解群的Brauer特征標理論(取π為素數p的余p′). 具體概念和內容可參考Isaacs在2018年出版的最新專著[9]. 如同Brauer特征標理論, 在π-部分特征標理論中, Fong特征標也起著非常重要的作用, 并且研究Fong特征標在誘導下的表現是一個很基礎的課題, 例如文獻[10,11]. 1986年Isaacs[12]詳細地考察了Fong特征標的性質, 特別是證明了Fong特征標在正規子群上不可約復特征標提供的Clifford對應下保持不變, 得到了所謂的Fong特征標的Clifford對應定理.該定理具有許多重要應用, 方便起見, 我們重述如下, 相關符號和術語可見本文中下節.

Isaacs 定理 設G為π-可分群,H∈Hallπ(G),N

1)θ(1)為π-數.

2)Hθ∈Hallπ(Gθ).

則特征標的誘導

Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)

為雙射. 并且對任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 該雙射把Fongμ(Hγ|γ)映為FongμG(H|γ).

本文中主要結果是把上述正規子群上的Fong特征標的Clifford對應定理, 推廣到誘導源情形, 研究誘導源對應何時保持Fong特征標不變, 證明了Fong特征標的誘導源對應定理.具體內容如下：

定理A設G為π-可分群,H∈Hallπ(G), 并且(S,θ)為G的一個Iπ-誘導源. 令J=H∩S和γ=θJ, 假設下述條件成立：

1)θ(1)為π-數且Hθ∈Hallπ(Gθ).

2)Hγ?NG(S).

3) (J,γ)為H的一個誘導源.

則特征標的誘導Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)為雙射.并且對任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 該雙射把Fongμ(Hγ|γ)映為FongμG(H|γ).

在定理A中，取S=N為G的正規子群, 則條件2)和3)自動滿足,故定理A推廣了上述Isaacs的Fong特征標定理.

考慮Brauer特征標的誘導源, 我們可得到類似的結果.

定理B設G為p-可解群,p為素數,H∈Hallp′(G), 并且(S,θ)為G的一個Brauer誘導源. 令J=H∩S和γ=θJ, 假設下述條件成立：

1)θ(1)為p′-數且Hθ∈Hallp′(Gθ).

2)Hγ?NG(S).

3) (J,γ)為H的一個誘導源.

則特征標的誘導Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)為雙射. 并且對任意

μ∈IBr(Gθ|θ),

該雙射把Fongμ(Hγ|γ)映為FongμG(H|γ).

同樣地, 上述兩個定理中有關π-部分特征標和 Brauer 特征標的誘導源以及 Fong 特征標對應, 相關的概念和符號, 我們也將在下節給出具體含義.

1 預備知識

方便起見, 我們先給出π-部分特征標的定義, 具體內容和細節可參考文獻[9]. 設G為π-可分群,π為一個素數集合, 記G0為G的所有π-元素的集合. 如果χ為G的一個復特征標, 稱χ到G0的限制χ0為G的一個π-部分特征標. 如果χ0不能寫成兩個π-部分特征標的和, 則稱χ0為不可約的π-部分特征標, 簡稱為Iπ-特征標, 全體記為Iπ(G). 一個基本結果是：每個π-部分特征標η均可唯一地寫成若干Iπ-特征標φi的正整數系數的線性組合, 稱φi為η的不可約分量.

設H?G為G的子群, 則χ0在H上的限制定義為(χ0)H=(χH)0, 如果θ0為H的一個π-部分特征標, 其中θ為H的復特征標, 則θ0到G的誘導定義為(θ0)G=(θG)0. 不難看出π-部分特征標到子群的限制以及從子群的誘導仍為π-部分特征標. 假設α∈Iπ(H)和η∈Iπ(G), 如果α是ηH的一個不可約分量, 則稱α在η下方, 或稱η在α上方.群G的所有在α上方的Iπ-特征標的集合記為Iπ(G|α). 現在定義Fong特征標. 設H∈Hallπ(G)為G的一個Hallπ-子群, 任取φ∈Iπ(G), 稱φH的所有極小次數的不可約分量為H關于φ的Fong特征標, 全體記為Fongφ(H). 再令

其中成員稱為H在G中的Fong特征標.

方便起見, 我們把所需Fong特征標的基本性質摘錄如下, 見文獻[9，定理3.4].

引理1設G為π-可分群,H∈Hallπ(G)且φ∈Iπ(G).

1) 如果α∈Irr(H), 則α∈Fongφ(H)當且僅當α在φ下方, 并且α(1)=φ(1)π.

2) 如果α∈Fongφ(H), 則φ是G的在α上方唯一的Iπ-特征標, 即Iπ(G|α)={φ}.

下面是Iπ-特征標的Clifford對應, 見文獻[9，定理5.11].

引理2設G為π-可分群,N?G, 并且θ∈Iπ(N),則Iπ-特征標的誘導

Ind:Iπ(Gθ|θ)→Iπ(G|θ),ξ|→ξG

為雙射.

最后, 我們引入Iπ-特征標的誘導源概念. 設G為π-可分群,H≤G且α∈Iπ(H). 如果Iπ-特征標的誘導ξ|→ξG定義了一個雙射

Ind:Iπ(Gα|α)→Iπ(G|α),

則稱(H,α)為G的一個Iπ-誘導源, 該雙射稱為(H,α)定義的誘導源對應.

根據上述Iπ-特征標的Clifford對應可知, 只要N?G, 對任意θ∈Iπ(N), 則(N,θ)均為G的誘導源. 由此表明Iπ-特征標的誘導源對應是其Clifford對應的推廣. 值得指出的是, 取π為所有素數的集合時, 則Iπ(G)=Irr(G); 取π={p}′為素數p的余集, 根據著名的Fong-Swan定理, 則不可約Brauer特征標和Iπ-特征標重合, 即Iπ(G)=IBr(G). 所以, 本節給出的關于Iπ-特征標的誘導源定義及對應, 自然也包含了Brauer特征標情形.

2 主要結果及證明

本節證明定理A. 事實上, 我們將證明下述結果, 給出了定理A的一個細化.

定理2.1設G為π-可分群,H∈Hallπ(G),并且(S,θ)為G的一個Iπ-誘導源.令J=H∩S和γ=θJ, 假設下述條件成立：

1)θ(1)為π-數.

2)Hθ∈Hallπ(Gθ).

3)Hγ?NG(S).

4) (J,γ)為H的一個誘導源.

則(J,γ)定義的誘導源對應Ind:Irr(Hγ|γ)→Irr(H|γ)恰好給出其中Fong特征標集合之間的雙射

Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ),

即下圖交換：

↑ ↑

進而, 如果β∈Fongμ(Hγ|γ), 其中μ∈Iπ(Gθ), 則μ∈Iπ(Gθ|θ),βH∈FongμG(H|γ), 并且β|→βH定義了Fong特征標集合之間的雙射

Ind:Fongμ(Hγ|γ)→FongμG(H|γ),

圖示如下：

Hall↑ Hall↑ Hall↑

定理2.1的證明驗證γ不可約, 并且θ是γ上方唯一的Iπ-特征標. 因為條件1)和S?Gθ意味著θ具有π-次數且J=S∩Hγ為S的Hallπ-子群, 根據Iπ-特征標的限制定理(詳見文獻[9，引理5.14]), 即知γ∈Irr(H), 并且Iπ(S|γ)={θ}.

驗證Hγ=Hθ. 事實上, 按定義Hθ?H中的每個元素均固定S和θ, 從而也固定S∩H=J和θJ=γ, 表明Hθ?Hγ∩NG(S). 反之, 不難看出Hγ∩NG(S)中每個元素都固定J和γ以及S, 根據上段θ由γ唯一確定, 可知

Hγ∩NG(S)?Gθ∩H=Hθ,

由此即證Hθ=Hγ∩NG(S), 再從條件4)得到所需的Hγ=Hθ.

驗證Fong特征標誘導對應Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)定義的合理性. 首先說明FongGθ(Hγ|γ)不能是空集. 事實上, 任取μ∈Iπ(Gθ|θ), 因為S?Gθ且按定義θ是Gθ-不變的, 根據Iπ-特征標的Clifford定理(文獻[9，推論5.7]), 可令ηS=eθ, 對某個正整數e. 但前述已證θJ=γ, 所以(ηHγ)J=ηJ=eγ, 表明ηHγ的每個不可約分量均在γ上方. 特別地, Fongμ(Hγ)中每個成員也都在γ上方, 故集合FongGθ(Hγ|γ) 非空.

任取β∈FongGθ(Hγ|γ),則存在某個μ∈Iπ(Gθ)使得β∈Fongμ(Hγ|γ), 此時μ在β上方, 而β在γ上方, 故μ也在γ上方. 因為J?S?Gθ,存在某個θ′∈Iπ(S)在γ上方同時也在μ下方. 但第一段已證θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征標, 迫使θ′=θ, 即證μ在θ上方, 表明μ∈Iπ(Gθ|θ). 根據Iπ-誘導源(S,θ)所定義的誘導源對應,μG∈Iπ(G|θ).又因為μG在μ上方, 從而也在β上方, 但βH∈Irr(H|γ), 故βH只能在μG下方. 再計算次數

βH(1)=|H:Hγ|β(1)=|G:Gθ|πμ(1)π=μG(1)π,

表明βH∈FongμG(H|γ)?FongG(H|γ),故所述Fong特征標誘導對應β|→βH是合理的 (或者說該誘導映射Ind是有定義的).

驗證Fong特征標誘導對應為單射, 顯然FongGθ(Hγ|γ)?Irr(Hγ|γ)且FongG(H|γ)?Irr(H|γ), 故所述Fong特征標誘導對應恰為(J,γ)所定義的誘導源對應的限制, 故為單射.

驗證Fong特征標誘導對應為滿射. 事實上, 任取α∈FongG(H|γ), 則存在某個φ∈Iπ(G)使得α∈Fongφ(H|γ). 此時φ在α上方, 而α在γ上方, 故φ也在γ上方. 又J?S?G, 故存在某個θ′∈Iπ(S)在γ上方, 同時也在φ下方. 仍從θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征標, 可知θ′=θ, 故φ在θ上方, 即φ∈Iπ(G|θ). 再從Iπ-誘導源(S,θ)所定義的誘導源對應Ind:Iπ(Gθ|θ)→Iπ(G|θ),可令φ=μG, 對某個μ∈Iπ(Gθ|θ). 同理, 從Iπ-誘導源(J,γ)所定義的誘導源對應Ind:Irr(Hγ|γ)→Irr(H|γ), 亦可令α=βH, 對某個β∈Irr(Hγ|γ). 為證所述的滿射, 我們只需證明β為Hγ的一個關于μ的Fong特征標, 即β∈Fongμ(Hγ). 為此, 我們先計算次數β(1).因為α是關于φ的Fong特征標, 故α(1)=φ(1)π, 所以

|H:Hγ|β(1)=βH(1)=α(1)=φ(1)π=|G:Gθ|πμ(1)π,

注意到|H|=|G|π和|Hγ|=|Hθ|=|Gθ|π, 從而β(1)=μ(1)π. 其次, 我們需要證明β在μ下方. 顯然φ在α上方,α在β上方, 故φ必然在β上方.又因為Hγ?Gθ?G, 故存在某個μ′∈Iπ(Gθ)在φ下方, 同時也在β上方. 但此時從β在γ上方, 可推出μ′也在γ上方, 仍從θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征標, 可知μ′也在θ上方, 即μ′∈Iπ(Gθ|θ). 最后從(S,θ)的誘導源對應得到μ′=μ, 即證β在μ下方, 從而β∈Fongμ(Hγ|γ), 故所述Fong特征標對應為滿射.

至此我們證明了H中的誘導源(J,γ)定義的誘導源對應, 可給出Fong特征標誘導雙射Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ), 并且從上述證明過程可知該雙射可分塊為若干子集之間的雙射Ind:Fongμ(Hγ|γ)→FongμG(H|γ), 對任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 據此完成證明.

最后, 取π=p′為素數p的余集, 按第1節的說明, 則Iπ(G)=IBr(G)為p-可解群G關于素數p的不可約Brauer特征標的集合, 故定理B為定理A的Brauer版本, 也是定理A 的直接推論.