線性FBM過(guò)程隨機(jī)退化設(shè)備剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測(cè)

高旭東，胡昌華，杜黨波

(火箭軍工程大學(xué)，陜西 西安 710025)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)代化工業(yè)設(shè)備朝著集成化、復(fù)雜化、智能化方向發(fā)展，這些設(shè)備在實(shí)際工程中，由于受到外界復(fù)雜環(huán)境、人為因素以及各種負(fù)載的不同程度影響，會(huì)逐漸發(fā)生性能退化并導(dǎo)致系統(tǒng)故障，從而造成人員的傷亡和經(jīng)濟(jì)的損失。因此，為了避免發(fā)生重大的設(shè)備故障，降低設(shè)備運(yùn)行失效的風(fēng)險(xiǎn)以及提高設(shè)備的可靠性和安全性[1-2]，剩余壽命（remaining useful life，RUL）預(yù)測(cè)技術(shù)成為可靠性領(lǐng)域近年來(lái)研究的熱點(diǎn)與難度之一。

目前，文獻(xiàn)[3]將剩余壽命預(yù)測(cè)的方法總結(jié)為4類，其中基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法在各種工程領(lǐng)域中得到了最廣泛的應(yīng)用[4-9]，該方法只需要對(duì)退化量建立合適的動(dòng)態(tài)模型，而無(wú)需考慮系統(tǒng)的復(fù)雜機(jī)理。現(xiàn)有研究中，多數(shù)基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法通常將退化量簡(jiǎn)化成無(wú)記憶效應(yīng)的馬爾科夫鏈模型，常用的模型有馬爾科夫鏈[4-5]、維納過(guò)程[6-7]、伽馬過(guò)程[8-9]等。例如，Wang等[4]提出了一個(gè)連續(xù)的隱馬爾科夫模型來(lái)描述刀具磨損的退化狀態(tài)，并基于銑削力的退化信號(hào)預(yù)測(cè)了系統(tǒng)的RUL。Lei等[7]考慮了機(jī)械系統(tǒng)中的測(cè)量不確定性，簡(jiǎn)單地用零均值高斯隨機(jī)變量表示，然后根據(jù)維納過(guò)程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立了狀態(tài)空間模型來(lái)預(yù)測(cè)RUL。Horenbeek等[8]通過(guò)固定Gamma退化過(guò)程的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果提出了一種動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)維護(hù)策略。

盡管上述的建模方式都可得到較為準(zhǔn)確的設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，但是由于設(shè)備的未來(lái)退化可能不僅與當(dāng)前退化狀態(tài)有關(guān)，而且可能還將受到歷史退化狀態(tài)的影響，因此實(shí)際工程設(shè)備中的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)之間可能存在長(zhǎng)期依賴性。這種長(zhǎng)期依賴性一般有兩種表現(xiàn)形式，即正相關(guān)性與負(fù)相關(guān)性。前者的表現(xiàn)形式是未來(lái)的退化趨勢(shì)遵循之前的退化趨勢(shì)，而后者會(huì)導(dǎo)致相反的退化趨勢(shì)。鑒于此，采用無(wú)記憶效應(yīng)的傳統(tǒng)馬爾科夫模型難以準(zhǔn)確描述此類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

綜上分析，為了刻畫退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)之間可能存在的長(zhǎng)期依賴性，本文首先基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)建立了一種線性隨機(jī)退化模型，并且引入隨機(jī)效應(yīng)來(lái)反映不同樣本間的退化差異性。在此基礎(chǔ)上，基于弱收斂性理論與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)推導(dǎo)得到了剩余壽命分布的近似解析解。然后，基于極大似然算法和貝葉斯理論完成了模型參數(shù)的離線估計(jì)與在線更新，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了剩余壽命的在線自適應(yīng)預(yù)測(cè)。最后，通過(guò)數(shù)值仿真和陀螺儀實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)本文所提的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 退化過(guò)程建模與剩余壽命預(yù)測(cè)

1.1 基于FBM過(guò)程的線性退化模型

為了表征退化軌跡的記憶效應(yīng)，本文用布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)展模型分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)（fractional Brownian motion，F(xiàn)BM）對(duì)退化軌跡進(jìn)行建模。因此，設(shè)備的線性隨機(jī)退化過(guò)程{X(t);t≥0}可以表示為：

注解1：FBM[10]是一種具有長(zhǎng)期依賴性、自相關(guān)性的連續(xù)非馬爾科夫過(guò)程，其增量是固定且相關(guān)的，并且引入了長(zhǎng)程相關(guān)的結(jié)構(gòu)[11-12]。FBM的相關(guān)函數(shù)是以赫斯特指數(shù)H為特征的，可以測(cè)量整個(gè)退化軌跡之間的長(zhǎng)期依賴性。因?yàn)镠可以刻畫FBM的記憶效應(yīng)，所以可以用FBM對(duì)帶有記憶效應(yīng)的退化軌跡進(jìn)行建模。文獻(xiàn)[10]對(duì)FBM進(jìn)行了詳細(xì)的定義：

其中 KH(t-s)定義為：

Γ(·)為伽馬函數(shù)，具體形式為：

1.2 剩余壽命預(yù)測(cè)

基于隨機(jī)過(guò)程首達(dá)時(shí)間（first hitting time,FHT）的定義，當(dāng){X(t);t≥0}首次到達(dá)預(yù)先設(shè)定失效閾值w時(shí)，則認(rèn)為設(shè)備失效。因此，基于觀測(cè)數(shù)據(jù)X0:k={x0,x1,···,xk}，將系統(tǒng)在t時(shí)刻的剩余壽命Lk定義為：

由于FBM的非馬爾科夫性質(zhì)，很難得到FBM基于FHT分布的解析解。為了得到RUL的近似PDF，普通的方法是將FBM轉(zhuǎn)換成BM。Zhang等[13]利用文獻(xiàn)[14]中的復(fù)雜弱收斂定理將FBM近似為標(biāo)準(zhǔn)BM，然后推導(dǎo)了RUL的解析概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）。但是，由于進(jìn)行了大量的數(shù)值積分，這種方法的計(jì)算量很大。定理1考慮了關(guān)于FBM的更簡(jiǎn)單的弱收斂方案，提出了基于FBM退化模型的RUL分布。

因此，只需要解決以下形式的退化過(guò)程的RUL分布：

基于弱收斂理論，可以將模型（1）轉(zhuǎn)換成式（16），Wang等[16]指出，時(shí)間重新縮放的BM保持零均值高斯過(guò)程，具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量，然后在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下給出了相應(yīng)RUL分布的近似表達(dá)式。具體來(lái)說(shuō)，考慮以下退化模型：

假設(shè)失效閾值為 w，在tk時(shí)刻RUL的PDF表示式如式（8）所示，其中：

2 模型參數(shù)估計(jì)

2.1 離線參數(shù)估計(jì)

根據(jù)模型(1)可得：

根據(jù)FBM的性質(zhì)，Xi服從多元正態(tài)分布，即Xi～N(μ,Σ)。其中，

根據(jù)FBM的性質(zhì)可得參數(shù)θ的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

對(duì)式(34)分別求關(guān)于μλ和σλ的一階偏導(dǎo)并令一階偏導(dǎo)數(shù)為零，可以得到如下表達(dá)式：

將式(36)、(37)帶入式(34)可得：

可以看出似然函數(shù)式(38)具有高維的特征，直接將其極大似然化很難得到其余參數(shù)的極大估計(jì)值，本文利用Matlab中的多維搜索算法求取σ、 H 的極大似然估計(jì)值，然后代入式(36)、(37)得到μλ，σλ極大似然估計(jì)值。

2.1節(jié)基于同批設(shè)備的歷史退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)得到的參數(shù)估計(jì)值反映的是同批設(shè)備的共同特征，接下來(lái)利用實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行更新。

2.2 貝葉斯參數(shù)更新

考慮到同一批次設(shè)備在運(yùn)行過(guò)程中有環(huán)境差異、外界干擾以及任務(wù)的不同等差異性，所以同一批次設(shè)備中不同個(gè)體的退化軌跡是不完全相同的，具有一定的偏差，因此僅僅利用同批設(shè)備的歷史退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)單個(gè)設(shè)備進(jìn)行RUL的預(yù)測(cè)會(huì)導(dǎo)致比較大的偏差。為了得到單個(gè)設(shè)備比較準(zhǔn)確的RUL，需要利用單個(gè)設(shè)備實(shí)時(shí)退化的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)去更新反映設(shè)備個(gè)體差異性的參數(shù)。模型中σ、H反映同批設(shè)備的共同退化特征，因此不需要用實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行更新。但是設(shè)備的退化率，即漂移系數(shù)λ是因設(shè)備的不同而變化的，因而對(duì)同批設(shè)備中的單個(gè)設(shè)備進(jìn)行RUL預(yù)測(cè)時(shí)，主要對(duì)漂移系數(shù)λ進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，進(jìn)而對(duì)單個(gè)設(shè)備的RUL進(jìn)行在線預(yù)測(cè)。

對(duì)于同一批次設(shè)備中未失效的個(gè)體k，要實(shí)現(xiàn)其RUL的在線預(yù)測(cè)，就需要利用其實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的退化數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)更新退化模型中的漂移系數(shù)λk。假設(shè)該設(shè)備在截止時(shí)間t*一共得到nk個(gè)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的退化數(shù)據(jù)，記作：

其中，{ti,i=1,2,···,nk}為對(duì)應(yīng)的退化監(jiān)測(cè)時(shí)間，并且滿足ti＜t*。

通過(guò)式(40)～(44)完成了基于單個(gè)設(shè)備的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)退化數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)的在線更新。接下來(lái)利用仿真試驗(yàn)和實(shí)例研究對(duì)本文所提的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 數(shù)值仿真

圖1 仿真退化軌跡

圖1是時(shí)間為0～9的仿真退化軌跡，同時(shí)每條軌跡中有90個(gè)采樣點(diǎn)。為了驗(yàn)證本文所提供的方法對(duì)單個(gè)設(shè)備的RUL能夠有效預(yù)測(cè)，本文假設(shè)失效閾值 w=8.3，取截尾時(shí)間t*=7.6 h。因此從圖1可以看出，到截尾時(shí)間的時(shí)候，這批設(shè)備中有6個(gè)設(shè)備失效，對(duì)應(yīng)的壽命數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 仿真失效數(shù)據(jù)

利用未失效設(shè)備的仿真退化數(shù)據(jù)和本文所提的離線參數(shù)估計(jì)方法，得到參數(shù)的先驗(yàn)估計(jì)值如表2所示。

表2 參數(shù)的先驗(yàn)估計(jì)值

得到以上模型參數(shù)的先驗(yàn)估計(jì)值后，將先驗(yàn)估計(jì)值帶入退化模型 X (t)=λt+σBH(t)中，得到設(shè)備的退化軌跡，并將其退化數(shù)據(jù)當(dāng)作待預(yù)測(cè)設(shè)備的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，如圖2所示。

依據(jù)預(yù)先設(shè)定的失效閾值，從圖2中可以看出，設(shè)備在 t*=7.98 h時(shí)失效。為了檢驗(yàn)本文所提模型和參數(shù)估計(jì)方法的有效性，用圖2中 t*=7 h之前的70個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)作為待預(yù)測(cè)設(shè)備的實(shí)時(shí)退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，基于上述監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并利用本文參數(shù)估計(jì)方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行更新并進(jìn)行設(shè)備RUL在線預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

圖2 待預(yù)測(cè)設(shè)備的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

從表3中可以看出，在設(shè)備退化的初始階段，由于可利用的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)較少，使得RUL預(yù)測(cè)的精度不太高。隨著設(shè)備的不斷退化，獲得了更多的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，就可以用較多的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)本文所提退化模型的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行更新，更新過(guò)后的模型參數(shù)更加接近待預(yù)測(cè)設(shè)備的退化特征，使得RUL的預(yù)測(cè)精度不斷提高。實(shí)驗(yàn)表明本文所提方法能夠依據(jù)單個(gè)設(shè)備的實(shí)時(shí)退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)退化模型參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，并且能夠在線預(yù)測(cè)單個(gè)設(shè)備的RUL，其預(yù)測(cè)結(jié)果可靠可信。

表3 漂移參數(shù)更新及RUL預(yù)測(cè)值

接下來(lái)將本方法得到的PDF與蒙特卡羅方法來(lái)獲得數(shù)值PDF結(jié)果進(jìn)行比較。進(jìn)一步證明了本文所提方法的有效性，具體對(duì)比如圖3所示。

圖3表示不同時(shí)刻設(shè)備剩余壽命分布的預(yù)測(cè)結(jié)果。從圖3可以看出，所有帶有估計(jì)參數(shù)的預(yù)測(cè)RUL都可以很好地匹配數(shù)值RUL，這證明了該方法的有效性。由圖還可知，距離設(shè)備失效時(shí)刻越近，剩余壽命分布越就集中，預(yù)測(cè)均值與設(shè)備真實(shí)剩余壽命的差距也越小，意味著預(yù)測(cè)的不確定性降低，精度提高。具體的，利用本文所提方法得到的待測(cè)設(shè)備的RUL的PDF如圖4所示。

圖3 本文的RUL的PDF與數(shù)值PDF的對(duì)比

圖4中黑色方框表示待測(cè)設(shè)備實(shí)際的RUL，紅色三角形表示本文方法預(yù)測(cè)的RUL。圖4更能直觀形象地反映本文所提的方法能夠可靠有效準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)單個(gè)設(shè)備的RUL，并且隨著獲取的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)越來(lái)越多，RUL預(yù)測(cè)的精度也越來(lái)越高。

圖4 剩余壽命的分布

3.2 實(shí)例驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，將其應(yīng)用到具體的實(shí)際工程設(shè)備中，進(jìn)行RUL分析。

陀螺儀是慣導(dǎo)系統(tǒng)的核心部件，其精度決定著導(dǎo)航的精度。然而，在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中由于內(nèi)部的磨損以及外部沖擊等一系列因數(shù)的影響，陀螺儀的性能會(huì)隨著時(shí)間的變化逐漸發(fā)生退化，當(dāng)它的性能指標(biāo)超過(guò)失效閾值時(shí)，陀螺儀就會(huì)發(fā)生失效，進(jìn)而影響導(dǎo)航的精度。針對(duì)慣性平臺(tái)的陀螺儀，主要分析其各項(xiàng)漂移系數(shù)隨時(shí)間的退化規(guī)律。在陀螺儀的所有漂移系數(shù)中，對(duì)導(dǎo)航精度影響最大的是敏感軸方向的漂移退化，鑒于此，本節(jié)基于軸向漂移系數(shù)的歷史退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證本文方法。同時(shí)，與傳統(tǒng)模型方法對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，傳統(tǒng)方法基于Winner過(guò)程的線性模型記作模型2，其并沒(méi)有考慮記憶效應(yīng)對(duì)RUL的影響，本文所提的模型記作模型1，彌補(bǔ)了模型2的不足。接下來(lái)利用收集到的陀螺儀歷史退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文方法，一共收集到10組陀螺儀的退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，其中發(fā)生失效的有5組，對(duì)應(yīng)的失效表見表4。未發(fā)生失效的有5組，其退化軌跡如圖5所示。依據(jù)該型號(hào)陀螺儀的性能指標(biāo)，其漂移的最大值為 0.37?/h，因此其失效閾值 w=0.37?/h。

表4 陀螺儀失效數(shù)據(jù)

圖5 5組陀螺儀歷史退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

基于獲取的5組陀螺儀歷史退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，首先利用第2節(jié)的參數(shù)離線估計(jì)方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行離線估計(jì)，得到的參數(shù)離線估計(jì)值見表5。

表5 參數(shù)的離線估計(jì)值

利用同批次陀螺儀獲得參數(shù)的離線估計(jì)值后，要想實(shí)現(xiàn)單個(gè)陀螺儀的RUL在線預(yù)測(cè)，還需利用單個(gè)陀螺儀的實(shí)時(shí)退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更新參數(shù)。接下來(lái)，將從圖6中任選一條退化軌跡進(jìn)行驗(yàn)證，本文選擇圖5中綠色的退化軌跡，基于該組的退化數(shù)據(jù)利用第2節(jié)的貝葉斯估計(jì)方法對(duì)模型1中的參數(shù)進(jìn)行更新，參數(shù)的軌跡更新如圖6所示。依據(jù)模型1和模型2，得測(cè)陀螺儀的結(jié)果對(duì)比如圖7所示。

圖6 漂移系數(shù)λ 的后驗(yàn)更新

圖7 模型1與模型2的結(jié)果對(duì)比圖

從圖6可以看出，在陀螺儀退化的初始階段，獲得的退化數(shù)據(jù)比較少，導(dǎo)致模型參數(shù)的波動(dòng)性比較大，并且參數(shù)的估計(jì)值與真實(shí)值的誤差也比較大。隨著獲取的退化數(shù)據(jù)增加，參數(shù)的估計(jì)值逐漸趨于平穩(wěn)，表明參數(shù)的估計(jì)值越來(lái)越接近參數(shù)的真實(shí)值，同時(shí)也表明估計(jì)的精度隨著獲取退化數(shù)據(jù)的增加越來(lái)越高。在t=20～100 h中的軌跡波動(dòng)較大，是因?yàn)樵谠搮^(qū)間陀螺儀的監(jiān)測(cè)退化數(shù)據(jù)波動(dòng)比較大，因此進(jìn)一步表明本文所使用的參數(shù)估計(jì)方法能夠根據(jù)退化設(shè)備的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)的在線更新，從而實(shí)現(xiàn)退化設(shè)備的RUL在線預(yù)測(cè)。

由圖7可以明顯地看出，所有監(jiān)測(cè)時(shí)刻的PDF都位于實(shí)際RUL的正上方，這表示預(yù)測(cè)結(jié)果是比較準(zhǔn)確的。還可以看出模型1與模型2在預(yù)測(cè)退化方面的性能比較相似，但是本文所提的模型1較傳統(tǒng)的模型2還是具有一定的優(yōu)勢(shì)，在各個(gè)監(jiān)測(cè)時(shí)刻，模型1得到的PDF比模型2得到的PDF更窄、更尖銳，這表明模型1的預(yù)測(cè)結(jié)果比模型2更有效，更精確，不確定度更小。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了在記憶效應(yīng)影響下的線性隨機(jī)退化設(shè)備RUL預(yù)測(cè)問(wèn)題。本文首先利用FBM對(duì)線性隨機(jī)退化過(guò)程建模，得到了RUL的近似PDF；然后利用離線估計(jì)與貝葉斯估計(jì)方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)與更新；最后通過(guò)數(shù)值仿真例子和陀螺儀實(shí)例結(jié)果比較，驗(yàn)證了本文方法的合理性、有效性、準(zhǔn)確性。主要結(jié)論如下：1）基于FBM的線性退化模型，能夠更為準(zhǔn)確、合理地描述線性隨機(jī)退化設(shè)備的記憶效應(yīng)。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，與傳統(tǒng)的線性建模方法比較，其RUL預(yù)測(cè)結(jié)果更加精確、不確定性更小；2）所采用的參數(shù)估計(jì)方法充分利用了設(shè)備的歷史退化信息與實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)信息，從而更加準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)了設(shè)備RUL的在線預(yù)測(cè)。如何對(duì)受記憶效應(yīng)影響的非線性隨機(jī)退化設(shè)備建模以及如何實(shí)現(xiàn)其參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)與RUL的在線預(yù)測(cè)需要進(jìn)一步研究。綜上，對(duì)受到記憶效應(yīng)影響的線性隨機(jī)退化設(shè)備而言，本文提出的基于FBM的線性退化模型對(duì)其建模更為合理與準(zhǔn)確，并且RUL預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的方法，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。