在結構化復習中發展學生推理能力

【摘 要】復習課是數學教學中的一種典型課型，在一個階段的新知學習之后，根據艾賓浩斯遺忘曲線，需要進行知識的回顧和梳理。以初中“軸對稱圖形”一章的復習課為素材，從“垂直平分線”出發進行問題變式，在驅動學生重塑認知結構的過程中，促進學生深度認識、理解軸對稱圖形知識之間的相互關系，發展推理能力。

【關鍵詞】結構化復習;軸對稱;推理能力

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）11-0030-04

【作者簡介】諸士金，南京市六合區橫梁初級中學（南京，211515）校長，高級教師，南京市學科帶頭人。

復習課是數學教學中的一種典型課型，在一個階段的新知學習之后，根據艾賓浩斯遺忘曲線，需要進行知識的回顧和梳理。很多復習課慣常采用“框圖+例題+練習”的模式進行。而這里“框圖”如何建立、“例題”如何選擇、“練習”怎樣設計，往往沒有被深入研究，經常是以新課認知的順序，羅列知識，形成框圖，以常考的試題為例題分析講解，用教材后的練習進行鞏固。這樣的復習缺乏系統性，不利于學生整體認識知識的內在聯系，缺乏新意，也容易將復習課上成習題課。

江蘇省特級教師卜以樓提出“用生長型構架進行數學復習”，是指根據要復習的知識內容和學生已有的認知經驗，堅持系統化理論，運用結構化方法，架設生長型路徑，開展探究型活動，形成求異思維的自我建構，有著新授課特質的復習方法。以此理念為指導，筆者嘗試借助結構化復習教學策略，以蘇科版初中數學八年級“軸對稱圖形”復習課為素材進行了以下教學實踐和反思。

一、軸對稱圖形復習課的教學價值

“軸對稱圖形”一章從簡單的平面圖形入手，分兩部分進行研究：一是認識軸對稱，包含了認識軸對稱和軸對稱圖形，探索軸對稱的性質，設計軸對稱圖案;二是簡單平面圖形的軸對稱性質探究，包含探索線段、角、等腰三角形、等邊三角形的軸對稱性及其相關性質。這些概念和性質的學習為后續四邊形、圓以及圖形之間的變化等知識的學習做了鋪墊，是認識圖形“對稱性”性質的起始。

初中階段的幾何知識公理化體系特征明顯，教材基本上按照歐幾里得幾何學和希爾伯特的《幾何基礎》構建了基于一組基本事實、定義的純粹演繹系統。這樣的演繹系統體現了數學獨特的邏輯性，以知識之間存在的邏輯關系，形成數學知識結構。但數學知識結構不等同于教學結構，教學結構是依據教師對客觀的數學知識結構的理解，以學生認知結構為基礎，在實施課堂教學中所體現出來的環節先后、問題遞進等教育形態的邏輯關系。因此，結構化教學是一種從數學知識結構和認知結構出發，形成教學結構并予以實施的教學策略。

這一策略在復習課中尤其能體現其價值。價值一在于可以幫助學生建立從局部到整體的認識路徑，培養學生形成“整體決定局部”的觀念;價值二在于可以優化和完善學生已有的認知結構，發展學生思維的邏輯性和系統性;價值三在于可以幫助學生從不同的角度認識同一個事物，培養學生思維的獨創性和深刻性。基于對這些主要價值的認識，進行結構化復習教學能夠凸顯知識內在聯系，發展學生的推理能力，形成更高水平層次的系統觀，以圖1輔助理解。

[數學知識結構][結構化教學評價][形成教學結構][學生認知結構][結構化教學][學生新認知結構][迭代][（圖1）]

二、基于教學價值認識的教學設計

1.初步梳理結構，交流分享激發生長。

請學生結合自己的學習和理解，嘗試用知識結構圖的方式將本章學習成果進行梳理。

【設計意圖】本環節提前布置學生利用課余時間自主梳理已經獲得的知識。一方面有利于了解學生已有的知識結構，另一方面借助交流和分享，促使不同學力的學生從不同的角度呈現對統一知識的認識和理解，激發其他學生思考如何結合自己的知識結構進一步生長并完善。

2.問題驅動聯想，發展邏輯推理能力。

問題1：如圖2，已知直線l是線段AB的垂直平分線，垂足為O，點P在l上，連接PA，PB.則可以推出（1）? ;（2）? ;（3）? ;等結論。其中形成結論（1）的理由是什么？

【設計意圖】軸對稱結構化復習選擇從最經典的垂直平分線切入，源于垂直平分線和其他知識內在關聯性在初中階段的重要程度。問題1結論開放，不同層次的學生給出答案是不一樣的，可以更廣泛地幫助不同層次學生對已有認知結構進行回顧。要求學生說明結論（1）成立的理由，無論學生選擇哪一個結論，都可以借此從幾何解題的角度發展邏輯推理能力。

問題2：如果在問題1中添加∠A=60°，還能推出哪些結論？∠A=45°呢？

【設計意圖】以問題1為“根”，強化條件∠A=60°或∠A=45°，開放結論，驅動學生在“垂直平分線”的節點上繼續生長出“等邊三角形”“等腰直角三角形”及相關性質。這是一種“從一般到特殊”的思想，問題2在等腰三角形的基礎上強化角度的大小，就可以得到更特殊的等腰三角形，如這里的等邊三角形、等腰直角三角形。因為特殊的都擁有一般的性質，因此研究特殊的圖形性質可以根據所強化的元素條件帶來的影響進行研究，這種數學思想是邏輯推理能力發展的一個重要體現。

問題3：如圖3-1，在問題2中∠A=45°時，點C、D在圖中線段PA、PB上（不與P、A、B重合），連接OC、OD.請說明點C、D分別處于PA、PB何位置時，OC=OD？（寫出一種位置時OC=OD的理由）

預設1：過O點分別做AP和BP邊上的高，垂足為C、D，如圖3-2.

預設2：C、D為PA、PB邊上的中點，如圖3-3.

追問：上述C、D位置是否能推出OC=OD？還有其他位置嗎？

小結：C點和D點滿足PC=PD，如圖3-4;C點和D點滿足PC=BD，如圖3-5.

【設計意圖】教師繼續就問題2進行結構生長，強化條件OC=OD，這里開放的已不再是結論，而是開放了條件。點C、D在線段PA、PB上，并沒有給出具體位置，需要借助軸對稱概念與證明線段相等的通法（構造全等）來確定C、D。此處又滲透了分類思想，需要進行兩種情況的分析，情況1：OC、OD如果關于直線l對稱，會在什么位置？情況2：OC、OD不關于直線l對稱，是否存在相等的情況？分類思想的滲透在發展邏輯推理能力中不可或缺。

問題4：如圖4-1，在問題1的條件基礎上，如果點Q也是直線l上的一點，且點A、P、Q構成的△APQ為等腰三角形。請借助尺規在圖中確定出點Q的可能位置。

【預設】位置不唯一，這里要分類討論，結合之前學習等腰三角形時，“如果等腰三角形不確定的，可以按照頂點不同來分類”，比如這里可以分別以P、A、Q為等腰三角形頂點進行分類，這樣就能找全（如圖4-2，4-3，4-4）。

【設計意圖】問題4是對等腰三角形相關問題中滲透的“分類思想”進行重點復習。需要學生先思后作，是典型的以尺規作圖為載體發展學生邏輯推理能力的一種形式。

3.再次梳理結構，反思路徑積累經驗。

請學生結合課前梳理的知識結構，進行修改微調，并分享本節課學習中的反思。

【設計意圖】本環節旨在幫助學生進一步結構化認識。教師為了讓學生結合自己的學習對自己的獲得印象進一步強化，先組織學生書寫，再進行交流，這一過程是將默化認識進行顯化。這樣的顯化一方面需要學生有條理、有取舍地進行表達;另一方面有利于強化經驗積累和提升，嘗試表達，并在交流中分享獲得，收獲質疑與鼓勵。

三、基于教學設計的進一步思考

1.發展推理能力需要關注數學思想。

這里的“發展推理能力”主要是指歸納推理能力和演繹推理能力。發展歸納推理能力在問題的設計中主要體現在由特殊到一般的數學思想上，結合具體的條件變化和結論的對應關系，預測一般化的條件下可能的數學結果。在本節課的設計中，引導學生對“等腰三角形”按元素（頂點或底邊）進行分類，是一種屬性歸納。當然，本節課更多的地方是一種命題推理的證明，問題1和問題3明確要求學生寫出理由，在理由的表述過程中需要學生不斷地對條件進行轉化，在不斷轉化中將要證的線段或角的數量相等關系轉化到等腰三角形、全等三角形的基本圖形中研究，這樣的轉化思想是一種“未知向需知，需知向已知”的“靠攏”，能夠很好地幫助學生發展演繹推理能力。

2.發展推理能力需要選擇有效的載體。

本節課中以幾何證明為框架，以軸對稱圖形、全等三角形等知識為內容，通過問題驅動的方式將一個個看似獨立的證明連接起來。這樣有脈絡的生成，能更好地引導學生在推理證明時關注不同命題之間的內在聯系。

在本節課以問題1中的“垂直平分線”為基礎，一步步強化條件，或條件開放或結論開放。這樣的問題變式驅動讓學生在推理證明時看到了題與題之間的變化，感受到變化的方法和方向。這樣顯化問題變式和知識生長的方式會默默地影響學生對所學知識拓展方向的思考，在思考中“預測”數學結果，以及對產生的數學結果進行“驗證”，是一種有效發展歸納和演繹推理能力的載體。

3.發展推理能力需要構建新的認知結構。

無論歸納推理還是演繹推理，推理中必然體現數學邏輯。“邏輯學的重大發展在本質上是依賴于如何更好地模擬人們的思維過程（至少在現階段是如此），而模擬的前提就是如何合理地解釋人們的思維過程。” [2]現有的數學知識可以看成是一種“客觀結果”，這樣的“客觀結果”是古往今來眾多數學家構建的“數學系統”。我們在不同認知水平上能夠觸摸其中一角，教材所呈現的知識結構也是其中一種形式，因此構建新的認知結構是基于學習者對教材呈現知識結構的理解，以分解、重組、演繹的方式構建另一個認知角度的知識結構，這個結構的構建要依賴于學習中獲得的推理能力。

分享學生知識梳理的環節，其主要目的就是要了解學生已有的本章知識結構到了什么程度，能否知曉知識點之間的邏輯關系等。不少學生梳理的知識結構建立的水平不等，大體分為三個層次：第一個層次是模塊化梳理，一般羅列對應知識的文字語言、符號語言和圖形語言，邏輯性不強;第二個層次是用粗線條的思維導圖進行梳理，這里有了第一層次的理解基礎，也有了對這些知識點之間邏輯關系的梳理，比如從等腰到等邊，在構建的路徑線條（或箭頭）附近注明強化的條件，這里梳理出來的一些關系則為課本上或教師授課中已經明示過的;第三個層次則是在第二個層次基礎上的拓展，除了將第二層次的思考以思維導圖形式體現出來，還主動思考了知識點存在的新關系，以及能夠打通內在聯系的新路徑。如可以從垂直平分線（見48頁圖5）或從角平分線等知識點出發建構本章復習路徑等。

卜以樓老師指出，拓展復習課的升值空間的路徑可能有很多種，教學實踐告訴我們，根據知識發生、發展、生長的過程，對生長路徑做必要的調整和優化，構建出更加適合學生認知的生長路徑，是生長型復習課的關鍵之所在。結構化復習課教學的實踐正是基于此觀點的嘗試和探索，這樣的探索需要我們更深刻地讀文本、更深入地下課堂、更深情地愛學生。

【參考文獻】

[1]卜以樓.生長數學：卜以樓初中數學教學主張[M].西安：陜西師范大學出版總社，2018.

[2]史寧中.數學思想概論（第3輯）——數學中的演繹推理 [M].長春：東北師范大學出版總社，2009.