教“融通”的數(shù)學(xué)

【摘 要】“融通數(shù)學(xué)”的教學(xué)理念要求數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)融化概念與原理、融合思路與方法、融入文化與生活，達到溝通知識聯(lián)系、打通體系結(jié)構(gòu)、悟通本質(zhì)規(guī)律的目的，其教學(xué)設(shè)計應(yīng)遵循“順木之天，以致其性”“立乎其大，小不能奪”“務(wù)本為本，本立道生”等原則。

【關(guān)鍵詞】融通數(shù)學(xué);概念教學(xué);整體結(jié)構(gòu);數(shù)學(xué)本質(zhì)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）11-0076-05

【作者簡介】陸建，江蘇省濱海中學(xué)（江蘇濱海，224500）校長，正高級教師，江蘇省特級教師，“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。

“融”指融化、融合;“通”指通達、通透。融則通，通則透，“融”是過程，“通”是目的，“透”是最佳狀態(tài)。“融通”指融會貫通，把各方面的知識融化匯合、貫穿聯(lián)系，得到全面而透徹的理解。“融通數(shù)學(xué)”意指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要突出知識的聯(lián)系與遷移，把握知識的整體性與系統(tǒng)性，通過教學(xué)各要素之間的融合，實現(xiàn)整個教學(xué)結(jié)構(gòu)之間的通達，從而促進學(xué)生的自我建構(gòu)與完整發(fā)展，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。[1]

“融通數(shù)學(xué)”要求數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)融化概念與原理、融合思路與方法、融入文化與生活，達到溝通知識聯(lián)系、打通體系結(jié)構(gòu)、悟通本質(zhì)規(guī)律的目的。因此教師在教學(xué)過程中，要深刻理解教學(xué)內(nèi)容，把握知識內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化知識生成方式，挖掘數(shù)學(xué)思想方法，吃透數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，說到底就是要教“融通”的數(shù)學(xué)，而不是教“混沌”的數(shù)學(xué)。下面以人教版高中數(shù)學(xué)必修一“充分條件與必要條件”的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)劚救说拇譁\想法，敬請同行批評指正。

一、教學(xué)實踐

1.問題情境先引領(lǐng)。

問題1：小王是某高校的碩士研究生，想報考李教授的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)博士生，小王給教授發(fā)了封郵件，闡述了自己的理由：“我不想比別人差，父母也要我考博?！笨墒墙淌诮o他的回復(fù)是：“你考博的理由不‘充分。”這是為什么呢？

問題2：黨的十八屆五中全會提出“十三五”期間，必須堅持“創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享”的發(fā)展理念，特別強調(diào)，堅持綠色發(fā)展是保持中華民族永續(xù)發(fā)展的“必要條件”，這里的“必要條件”是什么含義呢？

【設(shè)計意圖】很多數(shù)學(xué)概念都有深厚的現(xiàn)實背景，充分條件和必要條件也不例外。事實上，在我們的日常生活中，面對兩件事情，常常需要進行比較、分析，然后作出判斷，進而明確它們的關(guān)系，充分條件和必要條件就是其中的兩種特殊關(guān)系。因此本環(huán)節(jié)中，教師從學(xué)生身邊熟悉的實例引入，讓學(xué)生先行理解生活中“充分”“必要”的意義，在此基礎(chǔ)上自然地揭示課題。從生活中的用語到數(shù)學(xué)中的定義，過渡自然、銜接順利，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的欲望，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

2.“推出”符號簡表達。

一般地，當(dāng)命題“若p則q”為真命題時，記作p?q;當(dāng)命題“若p則q”為假命題時，記作p [?]q。

問題3：下列空格處應(yīng)該填“?”還是“[?]”？

（1）x2>4? ? ? ? ? ?x>2;

（2）a，b都是奇數(shù)? ? ? a+b是奇數(shù);

（3）n是4的倍數(shù)? ? ? n是2的倍數(shù)。

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)符號語言具有抽象性、統(tǒng)一性、簡潔性的特點，它能準(zhǔn)確明了地刻畫數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征。此處引入數(shù)學(xué)“推出”符號“?”，既簡化了數(shù)學(xué)命題的表達，又表明了命題的真假，可謂“一舉兩得”。而“推出”符號連接的兩個數(shù)學(xué)判斷到底具有什么樣的關(guān)系呢？接下來學(xué)習(xí)的充分條件和必要條件就反映了它們的關(guān)系，因此，“?”符號的適時引入，為簡約化表達概念提供暗示和鋪墊，助推了充分條件和必要條件定義的順利生成。

3.自主建構(gòu)巧生成。

問題4：根據(jù)剛才的討論，你能嘗試著給充分條件和必要條件下定義嗎？

追問1：根據(jù)充分條件和必要條件的定義，你能舉例說明嗎？

追問2：在定義中，為什么取名“充分條件”“必要條件”而不用其他名稱呢？

【設(shè)計意圖】“一個好的例子勝過一千次說教”，通過追問1，讓學(xué)生自己舉例，深化學(xué)生對概念的理解，鞏固形成的概念認(rèn)知。通過追問2，深入挖掘“充分”“必要”的內(nèi)涵，p是q的充分條件，表明p成立一定能夠充分地保證q的成立，p對q來講是充分的、足夠的、盡量的;q是p的必要條件，表明要使p成立，q的成立是必要的、必須的、必不可少的，或者說若q不成立，p也一定不成立。3個問題環(huán)環(huán)相扣、層層深入，隨著問題的討論和解決，學(xué)生對概念的理解不斷深化，思維的腳步不斷逼近概念的核心，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到有效發(fā)展。

4.多元聯(lián)系深挖掘。

（1）集合的視角。

問題5：設(shè)集合A={x|x≥1}，B={x|x>0}，則“x∈ A”是“x∈ B”的什么條件？

設(shè)集合M =（-∝，1）∪（1，+∝），N={x|x2-1≠0}，則“x∈ M”是“x∈ N”的什么條件？

從這兩個問題的解決中，你能得到什么一般性的結(jié)論？

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)教學(xué)要利用和加強這種聯(lián)系，實現(xiàn)多元勾連，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本環(huán)節(jié)借助帶有集合背景的兩個問題，引發(fā)學(xué)生從集合的視角對充分、必要條件進行再認(rèn)識和思考，學(xué)生在對兩個問題的共同特征進行比較分析的基礎(chǔ)上，抽象概括出反映兩個數(shù)學(xué)判斷之間關(guān)系的充分、必要條件也可以用集合的包含關(guān)系來刻畫和描述，數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系性使數(shù)學(xué)知識互聯(lián)互通、觸類旁通，同時滲透了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想，進一步發(fā)展了“數(shù)學(xué)抽象”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（2）命題的視角。

一段對白：在由p?q對充分、必要條件進行定義時，小p和小q曾有過一段有趣的對話——

小p得意地對小q說：“有我就有你，我總算把你拿下了！”小q不服氣地說：“你別高興得太早，要知道，沒有我就沒有你！如果我不在了，你也活不成，請你勿忘我！”小p想想小q說的也對：更何況“沒有我也可能有他，而有他卻不一定有我呢？”想到這，小p趕忙向小q道歉，從此兩人不再爭吵，平等相處。

問題6：你覺得他們兩人說的有道理嗎？為什么？

問題7：戰(zhàn)國時期思想家墨子的著作《墨經(jīng)》中有一段話：“有之則必然，無之則未必然;無之則必不然，有之則未必然。”這兩句話與充分、必要條件有聯(lián)系嗎？談?wù)勀愕睦斫狻?/p>

【設(shè)計意圖】在定義充分、必要條件時，p，q之間具有關(guān)系“p?q”，那么p，q之間是否還具有其他的推出關(guān)系呢？這對理解充分、必要條件至關(guān)重要。為了突破這個難點，本環(huán)節(jié)利用擬人化的手法，將p與q的關(guān)系寓于風(fēng)趣的對話之中，幽默生動的語言把充分、必要條件與命題的關(guān)系表述得清清楚楚、活靈活現(xiàn)、易于理解。同時利用《墨經(jīng)》中的兩句話來佐證上述關(guān)系，再現(xiàn)古人的智慧，滲透數(shù)學(xué)文化。本環(huán)節(jié)既為充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件概念的生成形成鋪墊，又運用了類比思想，發(fā)展了邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）拓展的視角。

問題8：我們在定義充分、必要條件時，只關(guān)注p?q，至于q能否推出p并非我們關(guān)注的重點，但q?p與q [?]p還是有區(qū)別的，請談?wù)勀愕南敕ā?/p>

師生共同分析q?p說明p對q是必要的;q [?]p說明q對p不充分，p對q是不必要的，由此得出下列概念：

如果p?q且q [?]p，那么稱p是q的充分不必要條件;

如果p [?]q且q?p，那么稱p是q的必要不充分條件;

如果p?q且q?p，那么稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件;

如果p [?]q且q [?]p，那么稱p是q的既不充分又不必要條件。

問題9：我們能否從集合和命題的角度來說明上述幾個條件呢？

師生共同梳理相關(guān)知識，達成下列共識：

從命題角度看，若原命題為真，逆命題為假，則p是q的充分不必要條件;若原命題為假，逆命題為真，則p是q的必要不充分條件;若原命題和逆命題同時為真，則p是q的充要條件。

從集合角度看，若A? B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件。

【設(shè)計意圖】類似于集合A? B，可以得出A? B或A= B一樣，p是q的充分條件，僅表明p?q，但q?p卻不一定成立，于是，就有必要對p是q的充分條件進行進一步細(xì)化拓展。通過解決上述兩個問題，把p與q的關(guān)系區(qū)分為四種情況，并聯(lián)系命題和集合來理解，使學(xué)生對概念的理解進一步升華。在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教者從集合、命題、拓展等三個不同的視角對概念進行多元表征，打通了知識的前后聯(lián)系，使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解自覺地進入融會貫通的狀態(tài)，期間數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了進一步發(fā)展。

5.運用概念助理解。

例1：下列各題中，p是q的什么條件？（在“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分又不必要條件”中選一個）

①p：四邊形是正方形

q：四邊形的四條邊相等

②p：兩直線平行? q：內(nèi)錯角相等

③p：x2+x-2=0? ? q：x-1=0

④p：a2>b2? ? ?q：a>b

例2：不列各題中，p是q的什么條件？（在“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分又不必要條件”中選一個）

①p：x2-2x-3<0? q：x2-x-2<0

②p：|m|≠3? ? ? ? ? ? q：m≠3

③p：f（0）=0 q：f（x）是R上的奇函數(shù)

④p：b2=ac q：a，b，c成等比數(shù)列

⑤p：x+y≠3 ? ? ? q：x≠2或y≠1

問題10：你能總結(jié)一下判斷充分條件，必要條件的方法嗎？

【設(shè)計意圖】四種條件的選擇與判斷是常見的題型，這類問題常以相關(guān)數(shù)學(xué)知識為載體，考查學(xué)生對概念的理解和運用。本環(huán)節(jié)通過兩個例題進行實戰(zhàn)演練，在解題實踐中鞏固充分、必要條件的認(rèn)知，同時總結(jié)出相應(yīng)的判斷方法，即定義判斷法、反例否定法、集合關(guān)系法、等價命題法，從而揭示解題規(guī)律、領(lǐng)悟方法本質(zhì)，有利于提升學(xué)生歸納、概括的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

6.自主小結(jié)促提升。

問題11：請你談?wù)劚竟?jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？有什么收獲和啟發(fā)？試畫出本節(jié)知識內(nèi)容的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。

通過學(xué)生思考、自主小結(jié)、反饋交流、教師修正，并得到下列知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖：

[定義判斷法][充分非必要條件][必要條件][反例否定法][集合關(guān)系法][等價命題法][判斷方法][必要非充分條件][充要條件][充分條件][建構(gòu)聯(lián)系][集合關(guān)系][命題真假]

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)通過讓學(xué)生回憶學(xué)過的知識、滲透的數(shù)學(xué)思想方法、經(jīng)歷的數(shù)學(xué)體驗感悟，再讓學(xué)生畫出知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，從而對教學(xué)內(nèi)容進行整合，將零散的知識積聚、優(yōu)化，形成結(jié)構(gòu)緊湊的知識體系，使本節(jié)課的教學(xué)達到了融會貫通的良好境界。

二、教學(xué)反思

1.順木之天，以致其性。

“順木之天，以致其性”出自唐代文學(xué)家柳宗元的《種樹郭橐駝傳》，意指只要順應(yīng)樹木自然生長的規(guī)律，充分發(fā)展它的習(xí)性，就能使樹木活得久且長得好。這句話啟發(fā)我們在教學(xué)中，要順應(yīng)數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的規(guī)律，尊重知識的邏輯合理性，促進學(xué)生自然地獲取概念、生長知識;同時也要順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，教學(xué)生學(xué)會思考，進而發(fā)展理性思維，提升核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生往往是自然而然、順其自然的，而不是別扭的、強加于人的。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以自然的引入、自然的問題、自然的啟發(fā)，讓學(xué)生自然地參與到數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)中來，自然地融會貫通、生長思維、提升素養(yǎng)。

本設(shè)計以兩個生活中的情境為認(rèn)知起點，沿著充分、必要條件概念發(fā)生、發(fā)展的線索，設(shè)計了11個環(huán)環(huán)相扣的問題，自然地展開探究的畫卷，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，有效地促進了數(shù)學(xué)概念的孕育、拔節(jié)和生長。同時教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系集合、類比命題、拓展推廣和探尋判斷方法，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，不斷激發(fā)學(xué)生進行綜合、分析、歸納、概括、聯(lián)想等思維活動，滲透思維策略的指導(dǎo)，使學(xué)生對概念的理解得到自然的深入，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效的發(fā)展。

2.立乎其大，小不能奪。

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識，按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點，組合成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)，對數(shù)學(xué)概念深刻理解、融會貫通的標(biāo)志是學(xué)生頭腦中是否形成了良好的概念知識結(jié)構(gòu)。《孟子》里有句名言：“先立乎其大者，則其小者不能奪也?！睆娬{(diào)抓住中心或者重點環(huán)節(jié)，其他方面就會環(huán)繞中心而不偏離，這句話啟發(fā)我們，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該注重整體，抓大放小，避免被繁雜的細(xì)節(jié)所干擾。要以建立系統(tǒng)完善、聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，進而探究研究問題的一般思路等作為課堂教學(xué)的中心任務(wù)。

本節(jié)課中，教師通過問題情境、學(xué)生活動、意義建構(gòu)、數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)應(yīng)用、回顧反思等課堂內(nèi)容組織形式，緊密聯(lián)系集合、命題等知識，打通知識壁壘，幫助學(xué)生形成關(guān)于“充分、必要條件”的知識結(jié)構(gòu);通過小結(jié)提升，繪制知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，畫龍點睛、錦上添花，使學(xué)生形成的概念認(rèn)知逐步結(jié)構(gòu)化、緊密化、整體化。在知識建構(gòu)的過程中，學(xué)生深深地體會到了研究新的數(shù)學(xué)對象的一般思路，即“對同類對象進行比較、歸納共同本質(zhì)屬性、下定義、概念辨析，與相關(guān)數(shù)學(xué)對象比較、分類、概念應(yīng)用”等，以此優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，養(yǎng)成“數(shù)學(xué)地”思考問題的習(xí)慣，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人的作用。

3.務(wù)本為本，本立道生。

“君子務(wù)本，本立而道生”，孔子的這句話借鑒到數(shù)學(xué)教學(xué)中，提醒我們只有把握了數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能準(zhǔn)確地理解與建立相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、公式、思想方法，把握其在解決問題中體現(xiàn)的規(guī)律和作用，從而產(chǎn)生深度學(xué)習(xí)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要突出知識之間的溝通聯(lián)系，探尋聯(lián)系之中的共性，挖掘其中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進理解的融通。充分、必要條件的本質(zhì)是描述兩個數(shù)學(xué)判斷之間條件關(guān)系的一種數(shù)學(xué)語言，而集合、命題也是刻畫數(shù)學(xué)對象的常用語言，從這一認(rèn)識出發(fā)，教學(xué)設(shè)計突出了充分、必要條件與命題、集合之間的聯(lián)系，瞄準(zhǔn)共性、顯化本質(zhì)，多角度地表征概念，幫助學(xué)生把握概念的內(nèi)涵，優(yōu)化了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

“融通數(shù)學(xué)”順應(yīng)數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的規(guī)律，以問題為抓手開啟思維、展開探究、追尋本質(zhì)，努力構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知特點的整體結(jié)構(gòu)，促進理解的融會貫通，有效地提升了核心素養(yǎng)，需要我們在今后的教學(xué)實踐中不斷地研究和探索。

【參考文獻】

[1]陸建.促進理解融通 提升核心素養(yǎng)——基于“融通數(shù)學(xué)”理念的“拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（8）：24-26.