電動力學課程教學中對帶電粒子自旋極化度的分析理解

溫 猛，陳紫晗

（湖北大學 物理與電子科學學院，武漢 430062）

0 引言

電動力學是研究電磁現象的經典動力學理論，它主要研究電磁場的基本屬性、運動規律以及電磁場和帶電物質的相互作用。電動力學課程是物理學專業和應用物理學專業的本科核心理論課程。然而在教學過程中，存在理論性強、抽象內容多、公式推導煩瑣等特點，如只注重理論知識講授很難激起學生的學習興趣，使學生保持長期的專注度。

近年來，強激光技術發展迅速，帶電粒子束的自旋特性引起廣泛的研究興趣。自旋是量子力學引入的由粒子內稟角動量引起的內稟運動。在量子力學中，自旋是用自旋算符進行描述的。對剛接觸量子力學的學生來說，算符和自旋都是非常抽象的概念，難以理解，難以和物理模型對應起來。實際上，帶電粒子在電磁場中的運動是電動力學課堂教學的重點內容，運動規律遵循洛倫茲公式。在經典電動力學中，粒子的自旋角動量用單位矢量表示。經典的自旋矢量及其相對應的自旋極化度的描述方法，對學生來說，更容易理解和接受。利用電動力學的經典模型，我們可以方便地研究帶電粒子的自旋極化度在平面電磁波中的演化過程，通過這個實例，使得學生對自旋有一定的認識，為量子力學的學習做一個過渡；依托基礎理論教學與前沿研究、科研實踐相融合的模式，使得學生對物理學前沿研究有一定的了解，可以加深學生對電動力學基礎知識的理解和掌握，激發學生的學習興趣和研究熱情。

中學和大學的物理課程中已經介紹了電荷和電磁場的耦合使得電荷受到洛倫茲力而運動。類似的，磁矩和電磁場耦合的結果是磁矩在電磁場中的轉動。這種現象用粒子的自旋演化描述，稱為自旋量的進動。實際應用中，很多粒子除了攜帶動量信息，還會攜帶自旋角動量信息。比如質子、中子、電子、中微子和夸克都是自旋1／2 粒子。在普通高校物理專業的課程設置中，自旋更多是在量子力學中引入。大部分學生第一次接觸到的粒子自旋態是量子力學中的概念，是粒子的一個內稟的自由度，然而并沒有一個形象化的物理過程與之對應。量子力學的學習過程中，波函數、算符、矩陣等抽象的描述方法等，都加大了學生理解物理概念上的難度。學生需要一個從經典到量子、從具象到抽象的過渡。實際上，在電動力學中，也可以用自旋矢量及其相對應的自旋極化度的方法進行描述。帶電粒子的自旋作為一個交叉領域的概念在經典電動力學和量子力學中都有介紹，它們相通的地方是電動力學的自旋矢量對應于量子力學中自旋算符在某自旋態下的期望值。量子力學中，自旋1／2 粒子在態ψ=（a，b）T下的自旋由算符σh/2 表示，其中σ 為泡利矩陣。在經典電動力學中，歸一化的粒子的自旋角動量用單位矢量s 表示，它對應于泡利算符在某自旋態下的平均值s=〈ψ|σ|ψ〉。本文基于這個自旋矢量討論帶電粒子自旋極化度的概念，其物理意義為粒子自旋在方向n 上自旋向上和自旋向下的概率差，用于描述單粒子或粒子束的自旋極化度。它可以用量子力學中自旋算符此方向的期望值計算，根據本文介紹，也可以用P=s·n 計算。例如，在直角坐標的z 方向計算的自旋極化度為s·ez=〈ψ|σz|ψ〉=a2-b2。

1 基礎理論知識

本文以電子為例討論粒子的自旋極化問題。帶電粒子的電量、質量和動量分別用q、m 和p=γmcβ 表示，這里β=v/c 為歸一化的粒子速度，為洛倫茲因子，c 為真空中的光速。首先，帶電粒子在電磁場中的運動方程由洛倫茲公式給出：

同時，其自旋矢量s 在電磁場中的進動方程可以寫為：

這里ae=0.00 116，為電子的異常磁矩。

本文討論粒子在運動方向n=β/|β|的縱向自旋極化度P=s·n，這個物理量也被稱為粒子的螺旋度。根據公式1 經過推導可以得到粒子運動方向的演化公式dn/dt=Ωv，其中

再進一步推導可得粒子自旋極化度隨時間演化的規律

為了更直觀地理解電磁場對帶電粒子自旋極化度的影響，下面用數值的方法討論帶電粒子在平面電磁場中的動量和自旋極化度的演化情況。

2 帶電粒子螺旋度在平面電磁場中的演化

通用的量子力學教程介紹過定域電子在均勻磁場中的進動頻率，然而對于非定域電子的自旋進動的情況，用量子力學的方法計算是非常復雜的。本文用經典電動力學的方法，考慮一個初始動量為p0的帶電粒子沿x 軸正向運動，一個脈沖型平面電磁波沿x 軸負向傳播，帶電粒子在電磁波中運動和自旋情動的情況。帶電粒子初始是完全縱向極化的P0=s0·ex=100%，

圖1 初始動量為p0=0.2mc 的帶電粒子在平面電磁場中自旋、運動方向、極化度隨著相位的演化

電磁波在峰值ω（t-x/c）=T/2 附近對粒子的退極化能力是依賴于粒子自身的動量的，這一點可以從公式（2）～公式（4）看出。粒子的極化度變化率決定于粒子自旋和運動方向偏轉速度的差Ωs-Ωv≈（q/m）（1/|β|-|β|）（n×E/C），由此可以知道粒子極化度變化率會隨著粒子速度β 的增大而變小。所以，電磁波對初始動量較高的粒子的退極化會較弱。圖2 的結果也印證了這個結論。圖2 的橫軸為粒子在電磁波中的相位，縱軸為粒子的初始動量，圖中陰影的強度表示粒子的瞬時極化度。由此可以看出，在粒子的初始動量p0較小時，其極化度可以被退極化即sx0=1。平面電磁波的形式由Ey=2πmc2/（|q|λ）sin2［（t-x/c）T］sin［ω（t-x/c）］給出，其中λ 為電磁波的波長，T=3λ/c 為電磁波的脈沖寬度，ω（t-x/c）為帶電粒子所在位置x 對應的電磁場的相位。由于粒子的速度一定小于真空中的光速c，隨著時間的增長，相位值（ct-x）/λ 也會單調的增大。在電磁場的電場表達式中，2πmc2/（|q|λ）為電場的振幅，當λ=1μm 時，該電場振幅對應的電磁波能流強度為1.37×1018W/cm2。由于電磁波沿x 軸負向傳播，其磁場可以表示為Bz=-Ey/c。

當一個初始動量為p0=0.2mc 的帶電粒子穿過該電磁場時，該粒子的自旋矢量和運動方向均會在電磁場中發生偏轉，偏轉的角速率由公式（2）和公式（3）決定。它們在x 軸上的分量sx和nx=n·ex如圖1 的點線和虛線所示，由此可以看出，粒子的相位越接近平面電磁場脈沖的峰值ω（t－x／c）＝T/2，它們的變化值越大。然而，點線和虛線的區別表示粒子的自旋矢量和運動方向偏轉的角度不同，所以兩矢量的內積，也就是該粒子的縱向自旋極化度P=s·n=sxnx+syny+sznz會在粒子穿過平面電磁場時發生變化。通過數值運算，可以看出粒子自旋極化度P 也在電磁波峰值附近發生較強的退極化，會從初始的100%極化降低到60%左右，如圖1 中的實線所示。此外，還可以看出，由于脈沖型電磁波的震蕩對稱性，粒子穿過電磁波峰值之后，自旋s和運動方向n 都會逐漸回到初始的方向。也就是說，粒子穿過平面電磁波之后，電磁波不會對粒子的自旋、動量以及極化度產生凈效果。到較小值，也就是陰影部分較暗；在初始動量p0較大時，粒子的極化度會保持在一個較高的范圍，也就是陰影部分較亮。我們上面也用本文提供的理論知識解釋了這個現象。

圖2 初始動量為0.02mc～2mc 的帶電粒子在平面電磁場中自旋、運動方向、極化度隨著相位的演化

3 結語

本文用經典電動力學的概念，分析理解了帶電粒子在電磁場中極化度變化的情況。這可以幫助本科物理專業高年級學生學習理解電動力學和量子力學課程中相近和相通的粒子自旋這個物理概念。雖然粒子極化度在電動力學和量子力學中都是一個比較基礎的概念，但是它在粒子物理，高能物理領域都占據非常重要的地位，也存在很多難以解釋和難以解決的自旋相關的現象和問題。本文介紹的這個簡單的物理過程也是自旋動力學的一個關鍵環節。通過對本物理過程的理解和認識，為開闊學生視野，提高學生興趣，加強本科學生對科學前沿研究的認識提供素材，并能有效增進課堂教學效果，提升整體教學質量。