運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生思維能力
——數(shù)形結(jié)合思想例談

顧麗鳳

（江蘇省無(wú)錫市甘露實(shí)驗(yàn)小學(xué) 江蘇無(wú)錫 214117）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》把“數(shù)學(xué)的基本思想”作為“四基”目標(biāo)之一，并明確指出：“數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想。”數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂和精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁[1]。掌握數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)提升學(xué)生的思維品質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的后續(xù)學(xué)習(xí)，對(duì)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，乃至對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展都具有十分重要的意義。那么，在課堂教學(xué)中，教師就要有意識(shí)地挖掘數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步感悟數(shù)學(xué)思想，切實(shí)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面就以“數(shù)形結(jié)合思想”為例，粗淺地談?wù)勎以诮虒W(xué)時(shí)是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思考能力的。

“數(shù)”與“形”是貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本內(nèi)容。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形，少直觀；形無(wú)數(shù)，難入微。”數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)階段的一種重要數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，相輔相成，各展其長(zhǎng)，有機(jī)地使邏輯思維和形象思維統(tǒng)一了起來(lái)。因此，教師在教學(xué)時(shí)，要根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生“見(jiàn)數(shù)想形，因形思數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生有效解決問(wèn)題。

一、數(shù)形結(jié)合，化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的數(shù)學(xué)方法。對(duì)于題型結(jié)構(gòu)復(fù)雜、抽象，學(xué)生難于理解和掌握的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)時(shí)，教師可以充分利用“形”的直觀、形象，引導(dǎo)學(xué)生有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、探尋解題的方向和入口，使數(shù)學(xué)思想方法在知識(shí)能力的形成過(guò)程中共同生成。

案例：《行程問(wèn)題》（四下）

出示例題：小明和小芳同時(shí)從家出發(fā)走向?qū)W校。小明每分鐘走70 米，小芳每分鐘走60 米，經(jīng)過(guò)4 分鐘兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

師：你能結(jié)合圖，說(shuō)說(shuō)小明和小芳兩人上學(xué)時(shí)的情景嗎？

生1：小明和小芳兩人是同時(shí)從家出發(fā)的。

生2：小明和小芳兩人是面對(duì)面地走。

師：兩人面對(duì)面地走，這是“相向而行”。

生3：小明和小芳最后在校門口相遇。

師：你能用畫(huà)圖的方法來(lái)整理題目中的條件和問(wèn)題嗎？

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出線段圖。

師：現(xiàn)在從圖中你能一眼看出題中的條件和問(wèn)題了嗎？

你能根據(jù)所畫(huà)的圖來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題了嗎？

由于相遇問(wèn)題是形式化的數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題的結(jié)構(gòu)比較抽象，且涉及運(yùn)行時(shí)間、方向等諸多因素，學(xué)生理解起來(lái)有一定的困難。為此，根據(jù)題意畫(huà)圖整理題中的條件和問(wèn)題，并借助直觀圖分析數(shù)量關(guān)系 ，化解了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，從而能幫助學(xué)生順利進(jìn)行解答。

二、數(shù)形結(jié)合， 理解數(shù)量關(guān)系

實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系是抽象化的，對(duì)于一些學(xué)生來(lái)說(shuō)，很難理解題中的數(shù)量關(guān)系，為幫助學(xué)生更好地解答實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的解題能力，教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，進(jìn)行“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，把“看不見(jiàn)”變“看得見(jiàn)”，化抽象的數(shù)量關(guān)系為形象的圖形，從而更好地幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，提升學(xué)生的思維能力。

案例：《畫(huà)示意圖》（四下）

出示例題：梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8 米。在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3 米，這樣面積就增加了18 平方米。原來(lái)花圃的面積是多少平方米？

師：根據(jù)題中的條件和問(wèn)題，你能想到什么？

生1：花圃的長(zhǎng)增加了3 米是什么意思？

生2：要求“原來(lái)花圃的面積是多少平方米？”，寬未知，怎么求寬呢？

師：想一想，要把題里數(shù)量之間的關(guān)系看得很清楚，有沒(méi)有什么好的辦法？

生：用畫(huà)圖的方法，應(yīng)該可以看得更清楚。

師：那就請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍?huà)圖吧。

學(xué)生在教師的幫助下畫(huà)出了示意圖。

師：你能根據(jù)示意圖分析數(shù)量關(guān)系，確定先算什么嗎？

生1：要求原來(lái)花圃的面積，要先算它的寬是多少米。

生2：花圃的長(zhǎng)增加了3 米，實(shí)際上就是增加了一個(gè)寬為3米的小長(zhǎng)方形。

生3：原來(lái)花圃的寬，就是增加的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。

生4：面積增加了18 平方米，就是增加的小長(zhǎng)方形的面積。

生5：根據(jù)18 平方米和3 米，可以求出增加的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也就是原來(lái)花圃的寬。

這一教學(xué)片斷，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)示意圖，在分析數(shù)量關(guān)系和解決問(wèn)題之間架設(shè)起了一座橋梁，學(xué)生從示意圖中直觀地理解了題意，發(fā)現(xiàn)了數(shù)量之間的關(guān)系，從而使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具形化，輕松簡(jiǎn)單地解決了問(wèn)題，同時(shí)通過(guò)這道題的講解，學(xué)生切實(shí)感受到了畫(huà)圖的重要作用，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用起到了潛移默化的作用。

三、數(shù)形結(jié)合，探索數(shù)學(xué)規(guī)律

學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的，主動(dòng)的和富有個(gè)性的探索和思考的過(guò)程。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，有助于學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律。在教學(xué)中，教師要抓住時(shí)機(jī)，適時(shí)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)構(gòu)造模型來(lái)直觀描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

案例：《轉(zhuǎn)化》（五下）

第一步：讓學(xué)生仔細(xì)觀察給出的算式，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式說(shuō)清楚算式的特點(diǎn)。

第二步：讓學(xué)生嘗試用自己的方法計(jì)算出結(jié)果，并要求他們?cè)谛〗M內(nèi)交流各自的計(jì)算方法。

第四步：引導(dǎo)學(xué)生將根據(jù)圖形想到的計(jì)算方法與自己先前采用的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比 ，說(shuō)說(shuō)哪一個(gè)更簡(jiǎn)便。回顧解題過(guò)程，反思解題方法，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)哪個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)自己的啟發(fā)最大。

這一教學(xué)過(guò)程，在學(xué)生觀察算式特點(diǎn)后，啟發(fā)他們產(chǎn)生采用非常規(guī)思路進(jìn)行計(jì)算的解題需求，教師適時(shí)出示“形”，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形的直觀來(lái)解決問(wèn)題。“形”的出現(xiàn)，豐富了學(xué)生的表象，引發(fā)了學(xué)生更深層次的思考，他們清晰地發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，從而化難為易，把一組連加計(jì)算轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的減法計(jì)算。在此思考過(guò)程中，學(xué)生實(shí)實(shí)在在地感受到了數(shù)形結(jié)合的思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

四、數(shù)形結(jié)合，揭示圖形特點(diǎn)

“形”有其直觀形象的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略、不便于表達(dá)的劣勢(shì)。在教學(xué)中，教師要順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生借助數(shù)的優(yōu)勢(shì)來(lái)彌補(bǔ)形的不足，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，感悟到數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，使數(shù)形結(jié)合的思想方法扎根學(xué)生心中。

案例：三塊邊長(zhǎng)都是12 厘米的正方形鐵皮，分別按下圖剪下不同規(guī)格的圓片。剩下的鐵皮面積相等嗎？（五下）

(1)

(2)

(3)

這是一個(gè)圖形的面積問(wèn)題，但是如果我們只從形的角度直觀觀察是無(wú)法得到結(jié)果的，即便學(xué)生能猜到結(jié)果，但也是沒(méi)有依據(jù)的。因此在教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度，通過(guò)計(jì)算去加以說(shuō)明驗(yàn)證。

圖（1）圓的面積：π×（12÷2）2=36π

圖（2）圓面積之和：π×（12÷2÷2）2×4=36π

圖（3）圓面積之和：π×（12÷4÷2）2×16=36π

這樣，通過(guò)計(jì)算，學(xué)生對(duì)正方形里圓面積之間的關(guān)系有了更加理性和深入的認(rèn)識(shí)，學(xué)生也深刻體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合思想在解決問(wèn)題中的有利作用。

數(shù)學(xué)思想方法是溝通知識(shí)與能力的橋梁，在課堂教學(xué)中，教師要深入鉆研教材，做教學(xué)的有心人，努力挖掘教材中可以進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的各種因素，從學(xué)生發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過(guò)程入手，把滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)作為一種有意識(shí)的教學(xué)行為，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不僅僅滿足于正確知識(shí)結(jié)論的獲得，更應(yīng)著力于對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的理解，領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。