基于小波分解和IIR濾波器的最優均衡器設計

梁 彥，凌永權

（廣東工業大學 信息工程學院，廣東 廣州 510000）

1 研究背景

均衡器是一種以補償方式修補傳輸系統固有缺陷，減少傳輸系統對輸入信號造成的失真的電子設備，通常通過一組濾波器以串聯或者并聯的方式實現［1］。均衡器可以顯著提高音頻的質量，因此被廣泛應用于音樂會和廣播等音頻傳輸系統。

均衡器一般關注中心頻率、帶寬及增益3個重要特征。根據這3個特征是否可調，可將均衡器分為圖示均衡器和參數均衡器兩個類別［2］。通過預設圖示均衡器濾波器組中每個濾波器的中心頻率和帶寬，使用者只需調整濾波器增益即可實現信號的均衡化，使用方便簡單［3］；參數均衡器的每個濾波器的中心頻率、帶寬及增益都是可控的，使用靈活度更高，也能實現更高精度的均衡化，但使用者需要具備一定的專業知識［4-6］。由于使用簡單、方便明了，圖示均衡器被廣泛應用于人們的日常生活［7］。

一般情況下，為了彌補精度上的不足，圖示均衡器會將音頻通頻帶切分為多個不同的頻段，其中一個濾波器負責處理一個頻段的均衡化［8］。例如，房間均衡器將音頻通頻帶切分為32個頻段［9］，意味著均衡器的每個濾波器的帶寬都很窄，導致鄰近頻段濾波器之間相互干擾嚴重［3,10］。降低相互干擾的最直接方法是使用高階FIR濾波器，但是這種情況下濾波器的階數往往高達數千［1,5］。系統的時延與階數成正比，因而使用高階FIR濾波器會給系統帶來時延高和設計過程計算量大的問題。

針對這些問題，考慮采用IIR濾波器來構建圖示均衡器。IIR濾波器響應長度無限長，同時具有非線性相位的特點，因而無法保證穩定性［11］。但是，同規格的IIR濾波器的實現成本要遠低于FIR濾波器，同時可以節省更多的空間資源。因此，基于IIR濾波器的圖示均衡器可以應用在線性相位要求較低的場景，只要設計得當，也能同時保證IIR濾波器的系統穩定性［12-13］。

雙線性變換是設計圖示均衡器IIR濾波器的最常用方法。然而，雙線性變換會導致系統高頻處的頻率響應失真［1,4-5］。為了解決這個問題，通常需修正濾波器高頻處的頻率響應［14］，但依然無法保證IIR濾波器的穩定性。

為了解決上述問題，本文從優化角度出發，提出一種基于小波分解的圖示均衡器設計方法。具體地，使用小波分解將信號分解成不同頻段的頻率成分。在各個需要處理的頻段，理想均衡化和實際均衡化之間的絕對誤差作為優化問題的目標函數被最小化，同時對優化問題添加每個頻率點的誤差約束條件和IIR濾波器穩定性約束條件。當找到一個優化問題的最優解時，一個能對該頻段提供有效穩定均衡化的IIR濾波器的系數也將隨之確定。設計所有頻段對應的IIR濾波器后，以并聯方式連接濾波器，使用各濾波器的輸出重構均衡化后的信號。

2 基于IIR濾波器組的均衡器設計

本文提出的圖示均衡器設計方法采用分頻段處理方法，通過小波分解將傳輸系統的輸入輸出信號分解為對應頻段的分量，使用輸入輸出信號相同頻段的頻率分量設計出負責該頻段均衡化的IIR濾波器。當得到所有頻段對應的IIR濾波器后，即可組建完整的圖示均衡器。本節主要講述基于小波分解的頻段劃分和針對單個頻段設計IIR濾波器的方法。

2.1 基于小波分解的頻帶劃分

小波分解是一種多尺度的信號處理方法，對選定的小波基進行壓縮平移，配以適當的系數復現原信號，能同時得到信號局部的時域和頻域信息。若需要更小局部的時頻信息，只需對信號做更大尺度的小波分解即可。

國際標準化組織（International Organization for Standardization，ISO）標準根據人耳聽力敏感程度劃分的10段倍頻頻帶分布與采樣率為44.1 kHz（一般音頻信號采樣率）的信號10層小波分解的各頻帶對比，如表1所示。

表1 10段倍頻頻帶與10層小波分解的頻段對比

由表1可見，10段倍頻的各頻段與10層小波分解的各頻段相差無幾。因此，可對原系統的輸入輸出信號采用10層小波分解，得到輸入輸出信號對應頻段的頻率分量。

2.2 單個頻段的IIR濾波器設計

針對輸入輸出信號相同頻段的頻率分量，從最優化的角度設計負責對應頻段均衡化的IIR濾波器。首先，對需要均衡化的信號進行10層小波分解，得到對應頻段的頻率分量；其次，通過對應頻段的IIR濾波器，得到均衡化后的各頻率分量；最后，將所有IIR濾波器的輸出重構得到均衡化后的信號。處理流程如圖1所示。

假設x(n)和y(n)（n=0,1,…,L-1）分別是原系統輸入輸出信號經10層小波分解得到的相同頻段的頻率分量，由二者的離散時間傅里葉變換得到原系統在該頻段內的頻率響應為：

假設需要設計的IIR濾波器的頻率響應模型為：

式中，N和M分別是IIR濾波器頻率響應中分子和分母多項式的階數。一般情況下，N和M的取值越大，能得到的均衡化精度越高，但相應的計算量也越大。bi(i=0,1,…,N)和ak(k=0,1,…,M)分別是IIR濾波器頻率響應分子和分母的系數。

圖1 均衡器處理流程圖

考慮到IIR濾波器的非線性相位特點，為了簡化問題，后文只考慮幅頻響應。將IIR濾波器連接在原音頻傳輸系統后，理想情況下能得到如下的均衡化效果：

式中，C是圖示均衡器可控的增益，BP為需要此IIR濾波器均衡化的頻段。由于分頻段的工作已通過小波分解完成，此處需要均衡化的頻段為信號分量的全頻帶，即BP為［0,2π］。

對式（3）作變換，可得到：

由式（4）出發，定義頻段內單個頻率點處的誤差方程為：

為了簡化誤差方程（5），定義以下向量：

則誤差方程（5）可被簡化為：

由于需要被最小化的是頻段BP中理想均衡化和實際均衡化間的絕對誤差，即頻段BP中每個頻率點絕對誤差的疊加，因此需要對式（24）的絕對值在頻段BP內積分，以此作為優化問題的目標函數：

為了防止IIR濾波器在均衡化過程中出現某個頻率點處存在較大誤差的問題，為每個頻率點處的誤差添加約束條件：

值得注意的是，當且僅當IIR濾波器傳遞函數所有分母的根都在單位圓內時，IIR濾波器是穩定的。文獻［12，15］有此條件的等價條件。因此，為了保證IIR濾波器的穩定性，對優化問題添加以下穩定性約束條件：

至此，得到完整的優化問題：

通過調用遺傳算法，使用合適的算法參數能解此優化問題，得到優化問題的最優解，即為所設計IIR濾波器所有系數的集合。將最優解中的元素代回式（2）對應的位置，即可得到負責此頻段均衡化的IIR濾波器的頻率響應。

3 實驗仿真與分析

3.1 實驗仿真

實驗采用從普通音頻文件截取出的片段作為信號，長度為40 000（即L=40 000），采樣率為44.1 kHz（即fs=44 100 Hz），信號中含有［0，22 050］Hz的有效信息，涵蓋人耳聽力范圍。原音頻傳輸系統的輸入信號和輸出信號在時域和頻域中的對比，分別如圖2和圖3所示。

實驗中，IIR濾波器的階數為50。通過小波分解將音頻分解成10個頻率分量，各分量的頻率范圍如表1所示。對輸入輸出信號對應頻段的分量使用上述單個頻段IIR濾波器的設計方法，設計出負責各個頻段均衡化的IIR濾波器。為了使對比效果明顯，將均衡器各個頻段的增益值設為1（即C=1），盡可能將均衡器的輸出恢復到信號經過音頻傳輸系統前。

圖2 信號經過音頻傳輸系統前后在時域中的對比

圖3 信號經過音頻傳輸系統前后的幅頻響應對比

在得到對應各個頻段的IIR濾波器后，以并聯的方式連接各IIR濾波器。需要均衡化的信號先經過10重小波分解得到對應各IIR濾波器處理頻段的各頻率分量，再由各IIR濾波器實現均衡化，最后由各IIR濾波器的輸出重構得到經過均衡化的信號。經過均衡器處理后的信號與處理前的信號在時域和頻域上的對比，分別如圖4和圖5所示。

圖4 信號經過均衡器處理前后在時域中的對比

圖5 信號經過均衡器處理前后在頻域中的對比

3.2 實驗結論

從圖4可以看出，經過均衡器處理后，均衡器的輸出信號與原信號在時域上相差無幾。從圖5的頻域圖可以看到各個頻率成分在均衡器處理前后的對比，其中原傳輸系統的輸出信號在規范化頻率［0,0.4π］區間內衰減嚴重，個別頻率成分的幅值甚至只有-30 dB。經過均衡器處理后，衰減嚴重的頻率分量的幅值也有大約20 dB，和原來的信號相比只有微弱的衰減。此外，均衡器處理帶來的高頻噪聲也只有約-20 dB的幅值，對聲音質量的影響很小。

4 結 語

本文針對一般圖示均衡器時延高、計算量大以及相鄰頻帶間相互干擾的問題，從優化問題的角度，提出了一種基于小波分解和IIR濾波器的圖示均衡器設計方法。相對于一般的圖示均衡器，本文濾波器的階數低了兩個數量級，仍然能提供有效的均衡化，同時極大地降低了系統的時延和設計的計算量，解決了相鄰頻段相互干擾的問題。若要實現更高精度的均衡化，可適當加大IIR濾波器的階數，但系統的延時和設計的計算量也會相應增加。