六輪搖臂-懸架式星球車全動力學建模與分析

高大偉 黃鐵球 邢 琰

1. 北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044 2. 北京控制工程研究所，北京 100190

0 引言

近期在外星探測工程中，輪式星球車憑借其可靠性高，機動性強和行駛效率高等優點成為星球探測移動機器人的主流。目前對于輪式星球車的運動學模型已有較為充分的研究。Tarokh等[1]使用D-H坐標對于關節式星球車進行了正向和逆向運動學分析。劉建軍和陳建新[2]使用矢量法對存在滑移情況下的月球車進行了運動學建模與分析。以往對星球車采用逆運動學解算方式控制，雖然具有計算量小，易于實現等特點，但也制約了其行駛速度和驅動能力。隨著外星探測工程的逐步深入，對星球車性能提出了更高的要求，要提高崎嶇環境中星球車的驅動性能，有必要對其采用動力學閉環控制，建立動力學模型，考慮動力學特性。

對于星球車等輪式移動機器人的動力學控制模型，Iagnemma等[3]研究了在硬質崎嶇路面星球車(Rough Terrain Control: RTC)控制方法，以提高車輪牽引能力，其模型將星球車看為一個整體，忽略了關節式懸架的作用。高鵬和許紅霞[4]提出了滑轉率補償算法，利用速度與驅動力矩具有對偶性完成了對月球車力矩的分配，通過設計模糊控制器實現了對滑移率補償項的模糊控制。彭麗媛等[5]利用Kane方法推導了六輪月球車整車動力學模型，模型未考慮車輪滑移和滑轉的影響，也未從控制系統的角度對模型進行分析。搖臂式星球車關節自由度數較多，且行駛在松軟崎嶇的地形環境中，車輛不可避免地會發生較大的滑轉和滑移，因此要保證車輛良好的操縱平順性、穩定性和安全性，不僅需研究其包含懸架機構在內的完整動力學特性，同時需考慮滑轉和滑移對動力學模型的影響。

本文以21完整自由度的六輪搖臂-懸架關節式星球車為研究對象，采用Denavit-Hartenberg (D-H)方法[6]完成其運動學描述；采用拉格朗日方法推導其整車動力學模型，并結合地面接觸力學理論分析系統的受力狀況，給出含滑移滑轉在內的完整車輛動力學模型，并將模型整理為控制系統中常見的二次仿射非線性方程的形式；借助MATLAB Simulink平臺搭建仿真模型，通過仿真驗證動力學模型的正確性；最后對模型的應用領域進行了討論和展望。

1 星球車結構介紹及運動學描述

六輪搖臂-懸架式星球車由美國國家航空航天局最先提出[7]，美國好奇號火星車，中國玉兔二號月球車等星球車均采用此結構。本文的研究對象為六輪獨立驅動，獨立轉向，搖臂-懸架式星球車，與月兔二號月球車相比，增加了2個轉向自由度。如圖1所示，該星球車移動裝置由以下幾個部分組成：6個具有獨立驅動電機的車輪、6個獨立驅動的轉向機構、1個差動機構、2個主搖臂關節、2個副搖臂關節。

為建立運動學模型，建立如圖2所示的坐標系：R為車體的重心坐標系；D為差速器中心坐標系；B1,B2為副搖臂關節坐標系；Si,i=1，…，6為車輪i的轉向軸中心坐標系；Ai,i=1，…，6為車輪i的轉動軸中心坐標系；Ci,i=1，…，6為驅動車輪i的接地坐標系。采用Denavit-Hartenberg (D-H)方法表示星球車各坐標系間的平移和旋轉關系，具體數值可參考文獻[8]。

圖1 星球車移動裝置示意圖

圖2 中，η為副搖臂的關節角度 (η1代表左側，η2代表右側)；左右兩側的主搖臂通過差速器與車體相連，其角度分別用β1,β2表示，且有β=β1=-β2。

圖2 星球車移動系統坐標系示意圖

2 拉格朗日法推導動力學模型

星球車在空間中能實現全方位運動，有6個自由度；左右主搖臂通過橫桿以差動方式將車體懸掛，所以左右主搖臂只有1個自由度；左右副搖臂通過轉動副與主搖臂鉸接，有2個自由度；6個轉向輪有6個自由度；6個驅動電機有6個自由度。因此星球車共有21個自由度。

為提高計算效率，簡化模型，對系統提出以下幾點假設：

1)星球車的所有車輪均視為剛性輪，且其幾何尺寸均相同；

2)左右搖臂的質量和慣量相對于系統來說，可忽略不計；

3)車輪與地面接觸的尺寸與輪距和軸距相比，可忽略不計，故將車輪與地面的接觸看作點接觸。

對于具有21個自由度的星球車系統，可以通過21個廣義坐標來描述其相對于星體坐標系的運動。定義廣義坐標為：

2.1 系統動能與勢能

車體的速度和角速度在星體坐標系下可表示為：

由于連桿間都是鉸接，可用迭代法[9]依次求出各連桿速度和角速度。以連桿RD為例使用迭代法計算各連桿的角速度和質心速度。

(2)

式中：RRD為坐標系D和R間的旋轉矩陣；PRD為坐標系D原點在坐標系R的位置向量；vCRD為連桿RD質心速度。

同理可計算出其他連桿和輪子的速度和角速度。根據假設2，忽略主副搖臂的質量，因此系統的動能和勢能可通過車體和車輪的速度及位置求出。即：

(3)

(4)

式中：mW,mRD分別為車輪和車體的質量；IW,IRD分別為車輪和車體的轉動慣量；PGAi為坐標系R到坐標系Ai原點在大地坐標系G的位置向量。

2.2 廣義力

星球車所受的主動力包括重力G，車輪受到的輪壤作用力和驅動力矩τ。如圖3所示，車輪輪壤作用力包括支持力FN，掛鉤牽引力FDP，側向力FS，阻力矩Mr和側翻力矩Ms。

圖3 車輪受力圖

重力產生的廣義力項可由系統勢能對廣義坐標求偏導得，即：

(5)

式中：Eu為系統動能，qk為第k個廣義坐標。

外力(非重力項)產生的廣義力項可通過計算虛功并用該虛功對廣義坐標求變分得，即：

(6)

式中：δW2是外力(非重力項)產生的虛功；δ(·)為變分算子；Cy和Cx為車輪在C坐標系下y方向和x方向的位移；ψi為第i個車輪的轉向角；n為系統的自由度，這里為21；CvWiy為車輪速度在C坐標系下y軸的投影；δi為第i個車輪的輪壤接觸角，即坡度角；AvWix為車輪速度在A坐標系下x軸的投影。

綜上，可求得系統所受廣義力：

(7)

2.3 拉格朗日方程

將動能、勢能和廣義力，即式(3)(4)(7)，代入第二類拉格朗日方程，即可獲得系統的動力學方程。

(8)

2.4 輪壤接觸力

輪壤作用地面力學是揭示車輪滑轉和滑移問題的理論基礎。地面力學用滑轉率s表征車輪的縱向滑轉程度，用側偏角α表征車輪的側向滑移程度，具體定義如式。

(9)

式中：ω為車輪轉速；r為車輪半徑；vx為車輪速度在車輪前進方向的投影；vy為車輪速度在車輪側向的投影。

土壤車輪與地形間的相互作用表現為[10]：土壤產生法向力FN對車輪進行支撐；車輪發生下陷，下陷深度與其結構參數以及土壤參數有關，并因此產生壓實阻力RC；車輪與土壤的附著力和破壞土壤的剪切力形成前進所需的地面附著力P；地面附著力和壓實阻力共同形成了掛鉤牽引力FDP；車輪朝向和輪軸速度方向不一致(側偏角) 導致側向力Fs；將附著力和側向力等效平移至輪心有驅動阻力矩Mr和側翻力矩Ms。依據Bekker[11]提出的土壤承壓模型以及Janosi和Hanamoto[12]提出的土壤剪切模型，可推導出輪壤接觸力(矩)與滑轉和滑移的關系，如式所示。

(10)

式中：A為車輪接地面積；b為車輪寬；z為車輪的沉陷量；θ1為車輪進入角；r為車輪半徑；kc,kφ,kα,μτ,C0,K均為土壤參數，具體可參考文獻[10]。

2.5 簡化動力學模型

21自由度動力學模型由21個三階非線性微分方程組成，過于冗雜，計算效率低。因此再提出以下2點假設簡化模型。

1)車體繞x軸的橫滾角與俯仰角和偏航角相比較小，可忽略不計；

2)車輪的轉向角可視為輪壤接觸力的參數。即將車輪的轉向視為輪壤接觸力方向的變化。

基于假設4和假設5，可把系統合理簡化為14自由度。新的廣義坐標即為：

動能與勢能的求解仍由式(3)(4)所示。由于假設5將轉向角作為輪壤接觸力的參數，式(7)需要做相應的修正，修正結果如式(11)所示

(11)

修正后的廣義力為

(12)

最后將式代入拉格朗日方程可獲得簡化系統動力學模型。

(13)

將式進行化簡整理可得到包含輪壤接觸力的整車系統動力學方程，即式。

控制系統對車輛和關節的驅動力矩對車輛的動力學行為的影響尤為關注，因此將動力學方程整理為式(15)所示。

(15)

為仿真模型的搭建以及后續控制律的研究，將式(15)整理為二階非線性形式。動力學方程左右同乘質量陣的逆陣，得：

令：

xk=qk

通過變量代換可得二階仿射非線性動力學方程,即式(17)：

(17)

3 仿真驗證與分析

為驗證動力學模型，也為了后續對于控制方法的研究，借助Matlab Simulink平臺完成了仿真系統的搭建，采用四階龍格-庫塔法進行微分方程的求解。圖4為仿真系統的體系架構，核心模塊連接關系和變量傳遞關系。

圖4 系統仿真架構

圖5為星球車平地直線移動時，車體的位姿及速度變化。這里設定各輪電機驅動力矩相同。可以看出車體在前進方向(z方向)做一個近似勻加速運動；在側向(y方向)無位移；在豎直方向(x方向)有輕微的震蕩。仿真結果符合預期，在豎直方向上的震蕩是由于支持力是車輪沉陷量的函數，類似于一個彈簧振子模型。

圖5 直線移動星球車位姿與速度曲線

圖6為星球曲率轉向時，車體位姿及速度變化。這里仍設定輪電機驅動力矩相同且車體轉向角為1rad。可以觀察到車體在側向也出現了位移；車體繞x軸的角速度在不斷增大，且與車輛線速度增長趨勢相同。這是因為在轉向角度保持不變的情況下，車輛的轉向半徑不變，星球車線速度與轉向角速度成正比關系。

通過星球車的直線移動和曲率轉向仿真，驗證了動力學模型的正確性。模型的主要誤差因素是地形力學特性參數，次要因素有連桿的質量和慣量，連接副的摩擦及機構的非完全剛性等。關于星球車動力學模型的建模誤差定量分析由于篇幅所限將另文闡述。

圖6 曲率轉向星球車位姿與速度曲線

4 結論

依據六輪搖臂-懸架式星球車結構特點，采用Denavit-Hartenberg (D-H)方法完成其運動學描述，采用拉格朗日方法建立整車動力學方程；以經典地面力學理論為基礎，通過側向力、掛鉤牽引力和滾動阻力矩在動力學模型中引入滑移與滑轉參量，建立完整動力學模型；從控制系統角度，將模型整理為二階仿射非線性方程；后續仿真驗證了動力學模型的正確性。該模型為復雜工況下星球車的動力學與控制研究提供了重要依據。為提升車輛操縱平順性、穩定性和安全性，后續研究可從2處入手：1)地面力學理論，現階段應用于星球車的地面力學理論都將滑轉和滑移簡化描述為滑轉率和車輪側偏角的線性函數，這種簡化只適用于小滑移情況，針對大滑移情況需要進一步的探討；2)控制理論，基于本文提出的完整車輛動力學模型，考慮輪地接觸參數的時變性和不確定性，設計具有良好魯棒性和自適應性的控制律。