高中生數感培養的障礙成因及對策研究

吳嫦娥

[摘? 要] 數感的重要性在小學已被《義務教育數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《新課標》）所提及了，雖然由此經歷了十年左右的相關培訓，但是目前高中生在數感方面表現出的缺乏狀態卻屢屢可見. 文章對影響高中生數感培養的障礙成因進行了探討，并對此做出了對策建議.

[關鍵詞] 數感;培養障礙;對策

新課標對數感的表述，主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟[1]. 新課標所描述的“感悟”對不少教師和學生來說，是具有較大抽象性的，多來自自身體驗，所以對“感悟”的理解不到位. 在2001年，我國教育部制定并頒布的《義務教育數學課程標準（試驗稿）》已對數感有所描述：使學生“經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立數感和符號感，發展抽象思維”. 在這里，我們能得到一些對數感較為具體的解釋：“數感”和“符號感”是并列的，因為在高中數學教學中，隨著高中生抽象思維的發展，“符號感”對“數感”的影響越來越大，所以“數感”的建立和發展是無法離開“符號感”的. 因此，結合新課標對數感的表述，筆者認為，在高中數學教學中，對數感的理解應該是指對數與量之間關系的掌握，能夠利用估算和精確、嚴格的推論將數量關系通過數字、數學符號和圖形表達出來，從而用數學語言描述世界. 這也是筆者所要表達的高中生建立數感的內涵.

■高中生數感培養的障礙成因

從前文的敘述可以明顯知道，高中生數感的建立和發展相對小學和初中更具抽象性和復雜性，它包含了更多的數學符號和圖形，筆者認為這是形成高中生數感培養的障礙主線. 本文將以此主線為探討方向，從教師和學生兩個主要角色為分析出發點，從中說明高中生數感培養的障礙成因.

1. 障礙成因之一——由于數感的抽象性，對數感的認識不到位

新課標雖然做了對數感的表述，但是其表述本身也是抽象的，由此造成不同的教育者對其的理解并不相同（筆者也一樣，期望探討），甚至同一教育者在不同經驗基礎上對其的理解也不相同. 例如，不同學者就自身對數感的理解提出了不同定義：1988年，Judith Sowder將數感定義為“一個具有良好組織的概念網格結構，它能夠使一個數字和它相關的操作特性相關聯，并且以靈活而有創造性的方式解決數字問題”[2]. 2002年，我國學者馬云鵬、史炳星認為“數感是人對數與運算的一般性理解. 這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數學判斷和為解決復雜的數學問題作出有用的策略”[3].

雖然不同教育者對數感的理解并不相同，但是我們仍然可以利用“特殊到一般”的數學思想（這也是我們教師時常在教學中表示要傳授學生的數學思想）對數感的一般特性進行概況認識：首先，數感是一種直覺，代表了對數字（數量）及數學符號和圖形的敏感程度與理解廣度;其次，數感是一種數概念結構，能夠將與數字（數量）及數學符號和圖形有關的操作聯系起來;再次，數感并非是具體的、單一的算法、公式、定理、模型的感知，而是需要解決的問題與數學思維之間的按鈕.

在高中數學教學中，對數感的一般特性的認識，最容易缺乏的是數學符號和圖形，以及對數感的培養只在乎具體的、單一的算法、公式、定理、模型等，從而造成數感培養的層層障礙，這些障礙的積累使得學生對數學的認識不斷出現各種錯誤，甚至形成數學無趣、無意義、無作用、無實踐的觀念.

2. 障礙成因之二——由于建立和發展數感的復雜性，對數感的接觸意識變得冷淡

建立數感是多方位的，但首先要學會的是“用數學”去思考，這需要一種主動地、自覺地或自動化地去理解數和運用數的態度與意識，這種態度和意識的建立又需要經歷完整、復雜的思考過程. 數感的螺旋建立和發展的過程細節充滿了復雜性，這也是為什么大部分教師與學生一提到數學就頭疼的原因之一. 這種細節的復雜性源于數學概念的輸入，比如“函數”概念，學生開始在課堂中對“數集”“對應法則”“唯一確定”集結的函數顯得一臉茫然，仍然處于“變量”模型，這種階段的上升常常使得師生力所不及;細節的復雜性體現在對實際問題的解決和結果輸出，比如解決與函數有關的實際問題，其書面文字表達和圖形表達需要轉化為數字和數學符號表達，然后建立函數模型，通過邏輯推理、數學運算、數據分析等煩瑣的過程得出結果. 這種輸入過程與輸出過程所體現的復雜性，使得師生在教學過程中都會自覺主動地簡單化，拋棄與考試“無關”的教學內容和實踐活動，這使得數感的體驗逐漸減少.

數感是一種直覺，而這種直覺并不是天然的，它需要學生通過不斷地接納數學知識，形成良好的數學知識基礎和數學思考意識，這需要時間的積累，這對高中師生來說，太多時間的耗費是無法接受的. 而且對數學知識的接納和數學思考意識的建立，需要教師的引導和學生的自我構建，這是教師的知識輸出和學生的知識輸入共同努力、相互融合的結果，但師生的完好配合一直以來都是教學的難點，配合錯位容易造成教師授課和學生自我構建不斷出現多種問題. 最明顯的問題表現就是教師“講課”只看課程，對學情不了解，缺乏針對性. 錯位的教學，使得師生各行其是，最終能簡單統一的便是強調對算法、公式、模式等的記憶. 由于建立和發展數感的復雜性，最終使得師生都不愿意主動提及，主動接觸數感的意識越來越少，逐漸變得冷淡. 長此以往，使得不少教師在接受“新學生”時找不到培養數感的起點，而且學生在數感方面的冷淡表現也容易讓教師產生知識誤解，從而失去培養指向.

■消除障礙的部分對策建議

由障礙成因的分析，主要原因存在于兩大方面，一是對抽象的數感的理解不到位，導致數感培養不全面;二是復雜的數感培養對時間和精力的耗費是多數教師和學生無法接受的，加上師生之間常常存在的錯位表現，最終使得數感培養意識逐漸冷淡. 針對這兩大培養障礙，筆者提出了如下消除建議：

1. 了解數感培養的教育價值

了解數感培養的教育價值，是從思想上建立數感培養意識. 數感培養意識的產生和強化，是影響學生學習數學知識的持續動力，是教師主動去研究數感培養的教育沖動. 對數感培養的教育價值，可以從三個方面來理解：

（1）數感培養有助于提高學生的數學核心素養. 前文提到，建立數感首先要學會的是“用數學”去思考. “用數學”去思考，其標志是學生能自主在具體的現實情境中去探索、去發現問題，并轉化為數學問題，建立數學模型，能通過數學思維解決問題. 這個過程正是學生六大數學核心素養表現的過程，因此可以說，建立數感是提高學生核心素養的關鍵.

（2）數感培養有助于提高學生對知識的自我構建能力和實踐能力. 數感是一種數概念結構，它的建立和發展能夠將抽象的數學知識和現實世界聯系起來，這是提高學生的自我建構能力和實踐能力的結構支撐. 例如，當學生在現實世界遇到拋物運動時，能夠利用二次函數或圓錐曲線方程來思考、解決問題;例如，當學生看到“一個橢圓”時，首先想到的就是PF1+PF2=2a，■=■=e，a2=b2+c2等. 這就是數感在實際生活和數學運算中的具體表現，表現的輸出，是學生自我構建能力和實踐能力不斷上升的結果.

（3）數感培養有助于建立和發展學生的理性思維和邏輯思維. 雖說數感是一種數的直覺，但是直覺的表征需要精確、嚴格的邏輯證明，證明過程的提煉能打開學生數學思維的洞察力，從而認識事物的本質和規律性. 這是建立和發展理性思維和邏輯思維的完整過程.

2. 增加學生的數感體驗

更嚴格地說，數感并非教師教出來的，而是由學生經過實踐活動體驗和感悟出來的，教師在學生的數感培養過程中發揮得更多的其實是引導作用. 因此，如何引導學生增加數感體驗，是教師在培養中更需要思考的問題.

（1）對起點的設定. 所謂“起點的設定”是指教師在課堂教學之前，以學情的了解和掌握作為基礎，對課堂教學內容和課后知識鞏固的定位，包括情境創設、問題聯系、活動開發、助導反思等過程的定位. 在各個過程中，教師要以學情為基礎逐漸加強學生的自主行為，包括合作交流、發言提問、質疑反思、活動踐行等，自主行為的啟發和完善過程，是將輸入的知識、技能在熟悉之后轉化為數感的過程，這將增加學生的數感體驗.

（2）增加師生、生生相互交流和表達的機會. 這里的交流和表達主要是指教師引導和鼓勵學生在課堂上能用自己的語言解釋數學，在課堂外能用數學語言表達世界，將內隱的數感用外顯知識表達出來. 相互的交流和表達可以將個體在生活中的數感體驗融合之后數倍增加，這是增加學生數感體驗的直接途徑. 另外，師生、生生之間長期的交流可以使得相互配合切合，這不僅能為數感培養提供情感支撐，還能為數感培養發揮集體智慧.

3. 注重概念教學和實際問題的解決

概念可以說是基礎教育中最基礎的知識，而與數有關的概念又是數不勝數. 在概念教學中，將抽象的數概念具體化、形象化，與實際生活聯系起來，這是讓學生直接感受數的意義的過程. 教師要做的就是引導學生注意觀察身邊具體、有趣的實物，然后在課堂上用自己的語言將實物描述出來，這是學生對生活體驗的表述，是數感建立的初始之段. 在對數概念熟悉、理解之后，讓學生經歷獨立思考、合作交流、動手操作具體的實際活動. 在活動中，既要體現精確運算，也要表達估算的重要性，在解決問題中建立和發展數感.

■總結

筆者認為，數感并非只指對數與量之間的關系的感悟，還包含了數與形、數與號之間的關系的感悟，這點是培養學生數感的基礎和認識全面的定位. 要想深化學生的數感，除了思想意識之外，還要有實際行動，不斷積累數感體驗，將形象思維和抽象思維聯系起來，發展學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 葉蓓蓓. 對數感的再認識與思考[J]. 數學教育學報，2004，13（02）.

[3]? 馬云鵬，史炳星. 認識數感與發展數感[J]. 數學教育學報，2002，11（02）.