基于知識銜接的概念教學探究
——以“三角函數(shù)”為例

王 偉

（星海中學,浙江寧海315600）

概念教學應遵循學生的認知規(guī)律，讓學生經(jīng)歷概念引入、形成、應用的過程。數(shù)學概念是構建數(shù)學理論體系的起點，是深層次學習數(shù)學、研究數(shù)學的基礎，因此，概念教學就顯得尤為重要。但數(shù)學教學并不能只停留于概念教學，更應關注學生學習的可持續(xù)性，利用概念教學完善學生的知識架構，注重銜接，這更加有助于學生的發(fā)展性學習。現(xiàn)結合浙教版九年級下冊第一章第一節(jié)《三角函數(shù)》的教學設計較系統(tǒng)地論述如何做好概念課的教學以及知識的銜接。

1 探索概念

探究一 1. 一次函數(shù)y=2x的圖象如圖1 所示：（1） 在圖象第一象限上取點A、B，過點作AA1⊥x軸于點A1，BB1⊥x軸于點B1，那么比值與是否相等；（2）比值與與是否相等，請說明理由；（3）若將一次函數(shù)解析式更改為y=kx，上面的比值是否依然相等。

圖1

設計意圖：教材中建議以生活中熟悉的場景作為本節(jié)課的情境引入，例如山坡、屋頂?shù)男泵妫蛑苯佑媚景宕罱ㄐ泵鎰?chuàng)設問題情境，借助已有的現(xiàn)實生活經(jīng)驗研究邊與邊之間的數(shù)量關系。在函數(shù)概念的探究過程中，初中階段的學生抽象思維能力多屬于經(jīng)驗型，而高中階段的則更多的是理論型。教學中要更多地關注學生的思維轉型，舍棄實際問題借助一次函數(shù)研究三角函數(shù)概念，更加有利于學生的抽象思維由經(jīng)驗型向理論型轉化。一次函數(shù)圖像上點的橫、縱坐標可以直觀地得出一對比值相等的線段，通過勾股定理計算OA、OB的長度也可以間接得出兩對比值相等的線段，相較于實際問題的引入計算更加直接、方便，也更“貼近”三角函數(shù)的概念，更有助于探索三角函數(shù)的本質。同時本節(jié)新授課內容涉及函數(shù)的概念，以一次函數(shù)為鋪墊展開新概念的探索，既能兼顧函數(shù)概念的復習，又能聯(lián)系新授函數(shù)的學習，達到一舉兩得的效果。

探究二 2.上述的比值關系與什么變量有關？3.如圖2 所示，若去掉坐標軸，上述比值關系與什么變量有關？

圖2

設計意圖：引出三角函數(shù)的變量是一個銳角，當一個銳角確定時，銳角所在的直角三角形的邊構成的3 個比值都是一個確定的值，這是一種對應關系，而這種對應關系無法用解析式來表示，因此可引入三角符號來進行表示。在初中階段為了便于學生的理解，函數(shù)的概念采用較為直觀的描述，即為兩個變量之間的一種對應關系，到高中階段函數(shù)概念則描述為一種一一對應的映射關系，這也是函數(shù)的本質。

2 形成概念

2.1 明確概念

一般地，對每一個確定的銳角α，在角的一邊上任取一點B，作BC⊥AC于點C，如圖3 所示，則都是一個確定的值。比值叫做∠α 的正切（tangent），記做tanα；比值叫做∠α 的正弦（sine），記做sinα；比值叫做∠α 的余弦（cosine），記做cosα。銳角α 的正切、正弦、余弦統(tǒng)稱為∠α 的三角函數(shù)。

圖3

設計意圖：三角函數(shù)的應用起初多用于解決實際問題，故在探索概念時應更多的聯(lián)系實際，正如后續(xù)章節(jié)中的坡比其實就是角度的正切值，高中階段一次函數(shù)的斜率k也是角度的正切值。教材所建議的實例引入其實也是先體現(xiàn)三角函數(shù)的正切值，繼而研究其正弦、余弦。本課探究一也是先得出正切值，再借助勾股定理計算得到正弦值、余弦值。但教材卻是先給出正弦、余弦的概念，最后才得到正切的概念，這樣的編排順序確實有些不妥，違背了學生對事物發(fā)展的認知規(guī)律，因此本節(jié)教學設計在明確概念環(huán)節(jié)稍作調整，先得到正切概念，其次是正弦概念、余弦概念，這樣的呈現(xiàn)方式更突顯了概念定義的合理性，在后續(xù)的設計環(huán)節(jié)中均以此順序呈現(xiàn)。

2.2 三角函數(shù)表示

如果∠A是Rt△ABC的一個銳角，如圖4 所示， 則 有

圖4

三角函數(shù)的表示方法是引用英文字母簡寫進行表示的，在授課時要明確書寫的格式。當角度可以用一個大寫字母或希臘字母表示時，“∠”的符號可以省略不寫，例如tanA、cosα；當角度用3 個大寫字母或數(shù)字表示時，“∠”的符號不能省略，例如tan∠1、sin∠BAC。在規(guī)范三角函數(shù)的表示方法時也應該強調單獨的tan、sin、cos 是無意義的，tanα、sinα、cosα 是一個完整的符號。

2.3 三角函數(shù)拓展

探究三 4.除了以上3 組比值，你還能得到其他不變的比值嗎？

同上，引出鄰邊與對邊、斜邊與對邊、斜邊與鄰邊3 組不變的比值，讓學生了解這3 組比值也是因角度的確定而不變的量，這也是三角函數(shù)，是高中階段要學習的相關內容。此處不給出具體的表示符號，避免學生混淆概念，只是讓學生做初步的了解。

設計意圖：高中階段的三角函數(shù)還有余切、正割、余割3 個三角函數(shù)，在此處給學生稍作介紹，既可排除學生產(chǎn)生的疑惑，也能讓學生進一步了解三角函數(shù)概念的內涵，增強學生的發(fā)散性思維。

2.4 三角函數(shù)歷史

三角學的起源、發(fā)展與天文學密不可分，它是天文觀察結果推算的一種方法。在1450 年以前的三角學主要是球面三角，這不但是因為航海、歷法推算以及天文觀測等人類實踐活動的需要，而且也因為宇宙的奧秘對人類的巨大吸引力，這種“量天的學問”確實太誘人了。后來，由于間接測量、測繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角。在歐洲，最早將三角學從天文學中獨立出來的數(shù)學家是德國人雷格蒙塔努斯（J.Regiomontanus，1436—1476），他在1464 年完成的5 卷本的著作《論各種三角形》，是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作，該著作首次對三角學做出了完整、獨立的闡述。他采用印度人的正弦，即弧的半弦，明確使用了正弦函數(shù)，討論了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長的代數(shù)求法，給出了球面三角的正弦定理和關于邊的余弦定理。其工作為教學三角函數(shù)在平面與球面幾何中的應用奠定了牢固基礎，對16 世紀的數(shù)學家產(chǎn)生了極大影響，也對哥白尼等一大批天文學家產(chǎn)生了很大的影響。

我國古代的天文學也很發(fā)達。我國的古代歷法中計算由于節(jié)令不同而引出的“表”（就是竿）的影長不同，實際上構成了一個余弦函數(shù)表。現(xiàn)在所用的三角函數(shù)的名稱：正切、余切、正弦等是我國16 世紀已有的名稱。

設計意圖：通過三角函數(shù)歷史的介紹體現(xiàn)數(shù)學來源于生活實踐，并為我們的生活所服務。三角函數(shù)在解決實際問題中扮演著重要的角色，這也是讓學生先行體會三角函數(shù)的實用價值，為后面求解直角三角形教學做必要的鋪墊。

2.5 銳角三角函數(shù)范圍

探究四 5.對于任意一個銳角α，其三角函數(shù)值tanα、sinα、cosα 的范圍分別是多少呢？

銳角三角函數(shù)的值都是正實數(shù)，因為直角三角形的邊長都是正數(shù)，并且直角邊小于斜邊，所以tanα＞0、0＜sinα＜1、0＜cosα＜1。

設計意圖：利用三角函數(shù)范圍的探索讓學生再次感受三角函數(shù)概念的本質，線段比值大小的結果分析將有助于學生進一步認識銳角三角函數(shù)[1]，同時范圍的大小也可以在學生后續(xù)階段計算三角函數(shù)值時作為其檢驗結果正確與否的一個基本依據(jù)。

3 理解概念

3.1 辨析概念

練習1：如圖5 所示，在Rt △ABC中，∠C=90°,請表示sinA、cosA、tanA。

變式1：如圖5 所示，在Rt △ABC中，∠C=90°,請表示sinB、cosB、tanB。

設計意圖：三角函數(shù)的表示在初學階段的學生容易混淆，特別是鄰邊與對邊的概念是相對而言的，也是本節(jié)課的易錯點。利用練習1 和變式1中直角三角形兩個銳角三角函數(shù)的表示，強化學生對鄰邊、對邊概念的理解和掌握。若將圖形傾斜放置（非標準圖形）也可以在一定程度上培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。

變式2：如圖6 所示，在△ABC中，BD⊥AC，請寫出sinA、cosA、tanA。

變式3：如圖7 所示，CD是Rt△ABC斜邊上的高線，請用線段的比值來表示sinA、sin∠BCD[2]。

圖5

圖6

圖7

設計意圖：強化概念的理解，變式2 是讓學生明確利用直角三角形邊的比值關系表示一個銳角的三角函數(shù)值，變式3 則是讓學生把握概念的內涵，銳角三角函數(shù)的大小是一個固定的比值，只與角度的大小有關，與所在直角三角形的大小無關，同時明晰當銳角相等時，其三角函數(shù)值也相等，這將有助于啟發(fā)學生在后續(xù)學習時可借助找相等角來解決三角函數(shù)相關的問題。

3.2 運用概念

例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=2，求sinA、cosA、tanA的值。

例2：如圖8 所示，半圓的直徑AB在x軸上，AB=2，且圓心與坐標原點重合，點C在第一象限的半圓上，且sin∠BOC=3/5，求點C的坐標。

設計意圖：例1 通過作圖與計算在幾何直觀上讓學生再次感受三角函數(shù)的概念，例2 將三角函數(shù)的計算放在了單位圓中，通過構造直角三角形來解決三角函數(shù)的問題，這是最基本的途徑，也是最常用的途徑。高中的三角函數(shù)學習涉及非銳角三角函數(shù)的探索，其研究方式則是以單位圓為背景的，因此例2 的設置也能為初高中相關知識的學習起一定的銜接作用。

3.3 拓展創(chuàng)新

例3：我們在馬路旁邊的綠化帶上經(jīng)常會看到很多樹木進行如圖9 所示的形式加固，這其實是利用了三角形的穩(wěn)定性。如圖10 所示，把一根支架（AB）看成是直角三角形的一條斜邊，支架一點到樹木的距離（BC）以及另一點到地面的距離（AC）看成是直角邊，若支架AB長3 m，求：

（1）點A到地面的距離為1 m，支架的傾斜角α 的正切值是多少？

（2）當AC和BC相等時，tanα 的值是多少?

（3）tanα 的值可以大于100 嗎？

圖8

圖9

圖10

設計意圖：以生活中常見的樹木固定支架為問題背景，貼近生活實際，在生活實例中抽離出數(shù)學圖形，利用三角函數(shù)來解決問題更能顯示數(shù)學的實用性。其中的第3 個設問將涉及極端值思想的處理方法，同時必須聯(lián)系勾股定理，有一定的難度。如此設置不僅讓學生明確三角函數(shù)問題的解決往往離不開勾股定理，還能進一步強化學生對正切值的取值范圍可以是無窮大的認知。

4 教學反思

4.1 立足教材，體現(xiàn)概念內涵外延

三角函數(shù)概念是以角度為自變量、比值為應變量的基本函數(shù)，是對函數(shù)概念的一種升華。這類函數(shù)與學生之前所學函數(shù)卻有著很大區(qū)別，三角函數(shù)沒有固定解析式，其利用符號表示，函數(shù)概念更加抽象，學生理解難度也相應提升。教學中要讓學生感受到這是一種變化的關系:隨著角度的改變從而產(chǎn)生比值的改變，這種變化關系是一一對應的。這種關系需要學生探索、經(jīng)歷、感受，最后形成這樣一種認識，讓學生在感悟概念的過程中把握概念的內涵，內化概念。在明確概念的過程中，應有意識地培養(yǎng)學生在直角三角形中解決三角函數(shù)的問題，為求解直角三角形做好鋪墊，也讓學生初步體驗三角函數(shù)的實際應用，體現(xiàn)概念的外延。

4.2 關注內容，呈現(xiàn)數(shù)學實用價值

三角函數(shù)的雛形最早出現(xiàn)在天文學中，很多數(shù)學知識其實都是源自生產(chǎn)生活。三角函數(shù)一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途，在我們生活周邊就有著很多三角函數(shù)的應用實例。教學中可以更多地關注教學內容的設置以及題目背景的假設，以期呈現(xiàn)出數(shù)學在生活中更多的實用價值，更能體現(xiàn)出數(shù)學源于生活并最終為我們的生活所服務。例3 正是以生活中常見實物為背景，借助三角函數(shù)相關知識解決問題，由此讓學生感受到數(shù)學的實用價值，在潛移默化中激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和求知欲。

4.3 加強聯(lián)系，展現(xiàn)初高內容銜接

學生學習數(shù)學應具有持續(xù)性、完整性，并能夠體現(xiàn)持續(xù)發(fā)展的特點。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，以角度為自變量，初中階段只研究銳角，高中階段則利用與單位圓有關的各種線段的長度來定義，是利用任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為應變量的函數(shù)。例2 的設置就是為了能讓學生感受三角函數(shù)在單位圓中的計算，預設三角函數(shù)定義的新形式，初步形成一種“模糊”的感知，這將有助于學生更好地理解三角函數(shù)的概念。

5 結語

綜上所析，初中階段的數(shù)學課程，基本出發(fā)點是數(shù)學教育面向全體學生，使得人人都能學有用的數(shù)學，人人都可以獲得必需的數(shù)學，主要突出其普及性、基礎性、發(fā)展性，讓數(shù)學具有濃濃的“生活味”。而高中階段的數(shù)學課程重視數(shù)學與自然界及人類社會的關系，通過高中數(shù)學學習能使學生認識數(shù)學的科學文化和應用價值，對學生提出問題、分析問題、解決問題的能力有基礎性的作用，能夠培養(yǎng)學生形成嚴謹?shù)摹⒊錆M了“數(shù)學味”的邏輯思維能力。函數(shù)的概念，也由初中的“變量說”演變成了高中的“對應說”，在內容、方法、目標、思維層次上都有了較大的提升。因此，在初中的概念教學中，應適度拓展銜接知識，抓住要點，讓學生領會其精髓，從基本思想、基本方法、基本技能上為后續(xù)學習做好鋪墊，促使學生的知識水平和能力水平自然地螺旋式上升，確保為初高中的數(shù)學學習做到無縫銜接、平滑過渡。