基于三元偽隨機序列集的多聲源房間脈沖響應測量方法?

許 凡 申雨晨 馮雪磊 沈 勇

(南京大學 近代聲學教育部重點實驗室 南京 210093)

0 引言

在房間聲學領域，諸多情況下需要測量多個聲源的房間脈沖響應。例如，在構建房間幾何模型的算法中，常會使用多個聲源以增加測量精度[1?6]，這就需要對多個聲源進行并行測量，以降低測量時間，提高測量準確度。

一方面，掃頻信號是聲學測量領域一種測量單個聲源的傳統的測量信號。為了縮短使用掃頻信號測量多個聲源的時間，Majdak 等[7]提出了多重對數掃頻方法(Multiple exponential sweep method,MESM)，將不同聲源重放的掃頻信號部分重疊以提高測量效率。此后，Dietrich 等[8]降低了該算法非線性分量的相互干擾，進一步縮短了測量時間。MESM 的優點在于，對每個聲源而言，其測量信號均相當于是掃頻信號，因此測量準確度較高，且不會受到待測聲源非線性特性的影響。然而，這種方法將不同聲源的重放過程錯開，測量時間仍然長于單個掃頻信號，且仍可能引入由于各通道不同步而產生的額外誤差。

另一方面，二元偽隨機序列在聲學測量領域得到了極為廣泛的應用，如M 序列(Maximum-length sequence)常用于測量揚聲器頻率響應或者房間脈沖響應[9]。M 序列作為測量信號，最主要的優點是生成方便、計算簡單。在計算資源尚不充足的年代發揮了重要的作用[10]。然而，同掃頻測量等其他傳統的測量方法類似的是，M 序列每次只能測量一個聲源，難以滿足對于多聲源同時測量的需求。

為了縮短使用二元偽隨機序列測量多個聲源的時間，Xiang 等[11]拓展了傳統的二元偽隨機序列測量方法，使用互逆M 序列對(Reciprocal maximum-length sequence pairs)同時測量兩個聲源。但是，由于互逆M序列對的特殊性，將該方法直接推廣到多聲源時遇到了困難。此后，Xiang 等[12]利用M 序列生成Gold 序列集與Kasami 序列集，其具有類似互逆M 序列對的自相關和互相關性質的特點，成功將該方法推廣到多聲源情況，實現了多聲源同時測量。相比于MESM，使用二元偽隨機序列進行測量，所有聲源同時重放測量信號，因此總測量時間與單個聲源的測量時間相同，測量效率更高。此外，由于所有聲源同時測量，該測量方法可以避免由于各通道不同步而引入的額外誤差。然而，這種測量方法存在兩個缺陷：其一，該方法規定編碼信號和解碼信號都只能是二元信號；其二，該方法規定編碼信號和解碼信號完全相同。該方法對于編碼信號和解碼信號的這兩個約束是由Gold 序列集或Kasami序列集的數學性質決定的，但是這兩個約束對于聲學測量而言并無必要，反而限制了編碼信號和解碼信號的可選空間，使得序列集的相關特性存在較大的可優化空間。這就導致實際測量中，由于各通道干擾而產生的噪聲較大，極大地限制了測量準確度。

為了解決這個問題，本文使用最佳屏蔽零相關域序列偶集(Optimized punctured zero correlation zone sequence-pair set，以下簡稱OPS)作為編解碼序列集[13]。2004年，蔣挺等[14]在研究最佳二進序列的基礎上，提出了最佳屏蔽二進序列偶。隨后，許蕾等[15]將最佳屏蔽二進序列偶應用于構造零相關域序列集，并提出了構造OPS 信號的方法。此后，OPS 信號被應用于多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output, MIMO)雷達中，用以提高MIMO雷達的距離分辨率[13,16]。相比于Gold 序列集或Kasami 序列集，OPS 信號的解碼信號為三元信號，且編碼信號和解碼信號并不相同，并由此獲得了更好的相關特性。

本文第1 節簡述了利用Kasami 信號和OPS 信號進行多聲源同時測量的原理，以及這兩種信號的相關特性和生成方法；第2節通過仿真實驗，對比了掃頻信號、Kasami 信號和OPS 信號作為測量信號時，脈沖響應測量結果的差異，并研究了聲源個數、序列階數等因素對于測量結果的影響；第3 節通過實驗進行驗證；第4節為結論。

1 多聲源同時測量方法

1.1 測量原理

考慮有p個揚聲器，q個傳聲器，各個聲源同時重放測量信號。如圖1所示，設si(n)為第i個聲源發出的信號，也即該測量系統的編碼信號，則第j個傳聲器接收到的信號rj(n)可表示為

其中，hij(n)表示第i個揚聲器到第j個傳聲器的房間脈沖響應，?表示線性卷積。

圖1 多聲源同時測量系統Fig.1 Simultaneous measurements of multisource systems

第k個聲源的解碼序列vk與接收信號的互相關序列為

這里?表示求周期相關函數，定義為

其中，L表示信號長度，i和j表示兩個序列在對應序列集的序號，符號AmodB為取模運算，表示A除以B的余數。如果測量信號滿足

則可以得到

這樣即可計算出任意聲源到任意傳聲器的房間脈沖響應。

1.2 Kasami信號的性質和生成方法

由式(4)可知，所需要的測量信號應該滿足以下3個條件：(1)每個測量序列的自相關函數都近似脈沖函數；(2)任意兩個測量序列的互相關函數近似為0；(3)測量序列的數量足夠多，以滿足多聲源測量的要求。

在數學上，Kasami 序列集可以滿足以上3 個條件。Kasami 序列集是一種通過偶數階M 序列構造生成的二元序列集，只含有?1或1兩個元素。M序列是一種特性類似白噪聲的二元偽隨機序列，它的具體特性可參見文獻[17–19]。通過N階M序列構造出的Kasami 序列集，每個序列ksi(n)的長度為L=2N ?1，序列集中的序列個數為2N/2。

根據式(3)， 可定義Kasami 序列的自相關函數為

Kasami 序列的自相關函數在n= 0 處取到極大值θ1= 2N ?1；設當0 時自相關函數的取值和互相關函數的取值的最大值為θ2，則θ2= 2N/2+1[20]。若N足夠大，則θ1?θ2，可以近似認為滿足式(4)的要求。這里解碼序列vi(n)=ksi(n)。18 階Kasami 序列的自相關和互相關特性如圖2所示。

N階(N為偶數)Kasami 序列集的生成方式如下[12]：

(1)首先生成N階M 序列mls(n)，該序列也是Kasami序列集中的第1個序列；

(2)計算序列長度L= 2N ?1 和采樣因子d= 2N/2+ 1，定義采樣序列e(n)= mls(d × nmodL)；

(3)計算Kasami序列ksτ(n)=mls(n)e((n?τ)modL)，其中，0nL ?1。

該序列長度L=24?1=15，采樣因子d=+1=5。則

這實際上是一個周期內的采樣序列{?1,1,1}重復5次：

當τ=3時，e((n ?3)mod 15)與e(n)相同，故不重復的e((n ?τ)modL)只有3個，這樣Kasami序列為

圖2 Kasami 序列相關特性Fig.2 Correlation properties of Kasami sequences

1.3 OPS信號的性質和生成方法

根據以上描述可知，以Kasami 信號作為測量信號，雖然滿足了測量信號所必須的3 個條件，但是實際上也為測量信號引入了兩個新的約束：(1)測量信號和解碼信號都是二元信號；(2)測量信號與解碼信號相同。這兩點對于聲學測量而言并不是必要的，但是卻限制了編碼信號和解碼信號的可選空間，使得Kasami 信號的相關特性仍存在較大的可優化空間。如果突破了這兩個不必要的約束條件，拓展了編碼信號和解碼信號的可選空間，則可以找到相關特性更好的序列集。

在這些可能的序列集中，OPS 信號是一種同樣滿足測量信號所必須的3 個條件、但是相關特性優于Kasami 信號的序列集。OPS 信號是一種通過屏蔽二進序列偶構造的，部分特性類似于Kasami 序列集的偽隨機信號。它的編碼信號是二元信號，而解碼信號是三元信號，編解碼信號并不相同。所以OPS 信號不滿足Kasami 信號及其類似信號對測量信號的限制條件，拓展了編碼信號和解碼信號的可選空間，進而獲得了更好的相關特性。

設存在序列x(n)={x0,x1,x2,,xM1?1}和y(n)={y0,y1,y2,,yM1?1}。若序列滿足以下條件：

其中，xj ∈{?1,1}，則稱序列(x(n),y(n))為屏蔽二進序列偶[14]。

根據式(3)，可定義屏蔽二進序列偶的自相關函數cx,y(n)為

若屏蔽二進序列對的周期自相關函數cx,y(n)滿足

則稱(x(n),y(n))為最佳屏蔽二進序列偶，這里E為大于0的常數。

使用數值搜索的方式尋找最佳屏蔽二進序列偶耗時頗長，文獻[21]中提出可采取以下方式構造最佳屏蔽二進序列偶：對于一個長度為奇數的偽隨機序列(例如M 序列)，將其中的“?1”都改為“0”，則原偽隨機序列和新序列構成最佳屏蔽二進序列偶。

根據文獻[13]，OPS 信號的編碼矩陣U與解碼矩陣V為

綜合文獻[13]和文獻[21]，OPS 信號生成的具體方法如算法1 所示。以M1= 3 的M 序列和M2=2的Hadamard矩陣為例，OPS信號的構造過程如下：

(1)生成M1=3的M序列{1,?1,?1}；

(2)利用M 序列構造最佳屏蔽二進序列偶：x(n)={1,?1,?1}，y(n)={1,0,0}；

(3)利用最佳屏蔽二進序列偶和Hadamard 矩陣構造編碼矩陣U與解碼矩陣V。

算法1：OPS 信號的生成算法(1)procedure M1 M2(2)MLS ←mls(M1) △生成長度為M1的M 序列(3) x,y ←MLS(4)for 0 images/BZ_36_1541_1147_1571_1180.pngn images/BZ_36_1612_1147_1641_1180.pngM1 ?1(5)if y(n)==?1 then y(n)←0△將序列y中的所有?1均改為0(6)end(7)end(8) H ←hadamard(M2)△生成大小為M2×M2 的Hadamard 矩陣(9)for 0 images/BZ_36_1529_1542_1559_1575.pngi images/BZ_36_1591_1542_1620_1575.pngM1M2 ?1(10)for 0 images/BZ_36_1594_1598_1624_1631.pngj images/BZ_36_1659_1598_1689_1631.pngM2 ?1(11)u(i,j)←x(i mod M1)H(j,(i mod M2))(12)v(i,j)←y(i mod M1)H(j,(i mod M2))(13)end(14)end

根據式(3)， 可定義OPS 信號的周期相關函數為

這里Um′和Vm分別表示矩陣U的m′列和矩陣V的m列。當m′=m時，稱為自相關函數；當m′m時，稱為互相關函數。對于總長度為L= 218、M2= 4 的OPS 信號，其中第1 列信號的自相關函數和第1 列與第2 列信號的互相關函數如圖3所示。由于OPS信號的自相關函數呈周期性，實際測量時只需要取0nM1?1的結果即可。

為定量衡量OPS 信號和Kasami 信號的相關特性，定義自相關旁瓣峰值(Autocorrelation sidelobe peak, ASP)和互相關旁瓣峰值(Crosscorrelation sidelobe peak, CSP)如下：若信號的自相關序列為AC(n)(0nL ?1)，這里L表示自相關序列長度，則

若信號的互相關序列為CCm1,m2(n)(0nL?1,0m1M ?1,0m2M ?1,m12)，這里M表示序列集中的序列個數，m1、m2表示序列編號，則

旁瓣峰值越小，則說明序列集的相關特性越好。序列個數為4 時，OPS 信號和Kasami 信號的ASP和CSP隨序列階數的變化如圖4所示。

圖3 OPS 信號相關特性Fig.3 Correlation properties of OPS

由圖4可知，OPS 信號相比Kasami 信號，具有更小的自相關和互相關旁瓣，它的自相關函數更接近理想沖激信號，互相關函數更接近0。所以用OPS信號作為測量信號，各通道間的相互干擾會更小，測量結果的誤差也就會更小。

圖4 OPS 信號和Kasami 信號的ASP 和CSP 隨序列階數的變化Fig.4 Variation of ASP and CSP with sequence order of OPS signal and Kasami signal

2 仿真驗證

為了研究不同測量信號對測量結果的影響，本文采用數值方法對房間脈沖響應進行仿真計算,其具體如下：(1)本文以一組實測揚聲器單元的線性參數和非線性參數為參考值，使用前向歐拉法對非線性揚聲器的狀態空間進行建模[22]，以得到不同測量信號激勵下，揚聲器的輸出信號；(2)利用鏡像聲源法，得到不同聲源對同一個傳聲器的房間脈沖響應，該方法中最大鏡像聲源個數由吸聲系數決定[23]；(3)用揚聲器的輸出信號和房間脈沖響應進行卷積，模擬出實際測量中每個聲源到達傳聲器的信號；(4)如果是同時測量信號，則將各個聲源的信號疊加，作為傳聲器的實際接收信號；(5)使用不同測量信號各自計算房間脈沖響應的方法，計算出房間脈沖響應。為對比各方法的仿真結果，本文定義以理想沖激信號為激勵信號，線性參數相同、非線性參數為0 的線性揚聲器作為聲源計算出的房間脈沖響應為房間脈沖響應的參考值。

圖5 3 種信號測量結果與參考值對比Fig.5 Comparison of measurement results from three kind of measurement signal and actual value

該仿真實驗的具體參數如下：信號的采樣率fs= 48 kHz，3 種測量信號分別為16 階Kasami 信號(在48 kHz采樣率下約為1 s)、16階OPS信號、同樣長度的對數掃頻信號(起止頻率分別為2 Hz 和24 kHz)，所有激勵信號的峰值均設為1；房間尺寸為6 m×6 m×6 m，吸聲系數為0.3；聲源數量為4個，聲源和傳聲器的位置隨機生成；每個激勵信號添加信噪比為50 dB 的高斯白噪聲。這里信噪比的計算公式為

其中，Pn表示白噪聲的功率。分別計算3 種激勵信號對應的房間脈沖響應和參考房間脈沖響應，并對頻域響應做1/36倍頻程平滑，其中第一個聲源對應的房間脈沖響應如圖5所示。

從時域響應可以看出，采用Kasami 信號進行測量，會導致得到的測量結果的底噪較大，進而降低了測量的準確度；采用OPS 信號進行測量，也會導致得到的測量結果含有部分底噪，但是該底噪比Kasami 信號測量結果的底噪小大約30 dB。由于Kasami信號、OPS 信號與掃頻信號長度相同，而Kasami 信號、OPS 信號可以多聲源同時測量，故而Kasami 信號、OPS 信號的測量速度是掃頻信號的4 倍。

為定量比較3 種測量方法在不同頻段的頻響測量準確度，定義相對誤差

以下設計5 個仿真實驗，分別研究聲源數量、附加白噪聲、序列階數、吸聲系數、非線性特性對不同頻段測量誤差的影響。為定量研究非線性特性的影響，本文使用非線性增益來表示系統的非線性特性的大小。非線性增益定義為仿真實驗中設定的非線性參數與參考非線性參數的比值。設定5 個仿真實驗的基本參數為：聲源個數為8 個，附加白噪聲信噪比為50 dB，序列階數為18，吸聲系數為0.4，非線性增益為1，信號采樣率均為48 kHz，掃頻信號的起止頻率均為2 Hz 和24 kHz。在仿真中，不同信號的長度均近似相等，每個實驗重復100 次并將結果進行平均。對于每個仿真實驗，除了所研究的參數外，其余仿真參數均為基本參數。為分別研究上述5 個因素對不同頻段測量誤差的影響，本文設定了2～24個不等個數的聲源進行仿真，其結果如圖6所示；設定附加白噪聲信噪比區間為45～55 dB，仿真結果如圖7所示；設定序列階數區間為16～20，仿真結果如圖8所示；設定吸聲系數區間為0.4～1，仿真結果如圖9所示；設定非線性增益區間為0～20，仿真結果如圖10所示。

圖6 不同聲源個數下，各頻段測量結果的相對誤差Fig.6 Relative error of measurement results in different frequency bands with different number of sound sources

根據圖6～10 可知：掃頻信號的測量結果最準確，而且幾乎不受所研究的5 個因素的影響；OPS信號的測量準確度在低頻低于掃頻信號，在中高頻幾乎與掃頻信號相當；Kasami 信號測量結果誤差最大；OPS 信號和Kasami 信號的測量誤差主要集中于低頻，中高頻的誤差較小，這是因為測量系統的低頻能量較低，容易受到其他因素的干擾。由圖6可知，同時測量的聲源個數越多，各通道間的干擾就越大，測量誤差越大；由圖7可知，附加白噪聲的信噪比的變化，對3 種信號的測量誤差幾乎沒有影響；由圖8可知，序列階數越高，信號越長，OPS 信號和Kasami 信號的測量結果越準確；由圖9可知，吸聲系數越大，越接近消聲室環境，OPS 信號和Kasami信號的誤差越小；由圖10可知，非線性增益對3 種信號的測量誤差幾乎沒有影響。對比圖6～10 可以發現，對OPS 信號和Kasami 信號的測量誤差影響最大的因素是聲源個數和序列階數，其次是吸聲系數，這說明OPS 信號和Kasami 信號的測量誤差主要是由多通道干擾所產生的噪聲引起，也容易受到房間的反射聲和混響聲的影響。

圖7 不同附加噪聲信噪比下，各頻段測量結果的相對誤差Fig.7 Relative error of measurement results in different frequency bands with different SNR of additional noise

圖8 不同序列階數下，各頻段測量結果的相對誤差Fig.8 Relative error of measurement results in different frequency bands with different order of sequences

圖9 不同吸聲系數下，各頻段測量結果的相對誤差Fig.9 Relative error of measurement results in different frequency bands with different absorption coefficients

圖10 不同非線性增益下，各頻段測量結果的相對誤差Fig.10 Relative error of measurement results in different frequency bands with different nonlinear gains

3 實驗驗證

為了驗證本文提出的方法，在視聽室(房間尺寸約為6 m×7 m×3 m)開展了驗證實驗，其概況如圖11所示。在實驗測量鏈路中，聲源激勵信號數據由計算機生成，通過聲頻接口(FIREFACE UC，RME)饋給8 臺有源音箱(R1000TC，漫步者)，由一個全指向型擴散場傳聲器(TYPE 4943，Brüel& Kj?r)接收信號，再通過聲頻接口傳遞給計算機分析處理，其概況如圖12所示。本文分別使用掃頻、Kasami 信號、OPS 信號作為測量信號，信號長度約為218點，采樣率為48 kHz，持續時間約為5.5 s，掃頻信號的起止頻率分別為16 Hz 和24 kHz。采用掃頻信號時，每個聲源依次發聲。采用Kasami信號和OPS信號時，為8個聲源同時發聲，時域測量結果如圖13所示。

圖11 視聽室示意圖Fig.11 Illustration of audio-visual room

圖12 實驗設備示意圖Fig.12 Illustration of experiment setup

圖13 3 種信號的時域測量結果(對應第一個聲源)Fig.13 Measurement results of three kind of measurement signal in time domain

本文以掃頻信號測得的頻響為參考值，分別計算采用Kasami 信號和OPS 信號時的相對誤差，并根據最大值做歸一化處理，其結果如圖14所示。結果表明：(1)整體而言，相比Kasami信號，采用OPS信號可以顯著降低測量結果的噪聲，從而降低測量誤差；(2)在低頻部分，無論采用Kasami 信號還是OPS信號，測量結果和參考值相比都有較大的偏差，而在中高頻部分采用OPS信號則誤差較小。

圖14 8 個聲源Kasami 信號和OPS 信號測量結果的相對誤差Fig.14 Relative errors of measurement results from Kasami signal and OPS signal in 8 sources

為比較采用兩種激勵信號在不同頻段誤差的大小，本文根據式(15)分別計算得到低頻部分(小于250 Hz)、中頻部分(250 4000 Hz)、高頻部分(大于4000 Hz)Kasami 信號和OPS 信號測量結果對應的相對誤差，式(15)中的n1、n2分別為對應頻段分界頻率對應的頻率采樣點，8 個聲源的測量誤差如圖15所示。結果表明：Kasami 信號和OPS 信號對應的測量誤差在中頻和高頻較低，在低頻較大；相比Kasami信號，采用OPS信號的測量誤差較小。

圖15 采用Kasami 信號和OPS 信號的測量結果在不同頻段上的相對誤差Fig.15 Relative errors of measurement results from Kasami signal and OPS signal in different frequency band

4 結論

本文提出了一種基于三元偽隨機序列集的多聲源同時測量方法，利用其良好的相關特性，可以實現多個聲源的同時測量。相較于Kasami信號，本文提出的激勵信號具有更好的相關特性，更低的旁瓣峰值。仿真結果表明，相較于Kasami 信號，采用本文提出的激勵信號的測量誤差較小。為了驗證本文提出的測量方法的準確性，在視聽室中開展測量實驗。實驗結果表明，采用本文提出的方法測量房間響應，具有較低的測量誤差。在需要對多個聲源進行測量的應用場景中，采用這一方法可以提高測量效率，降低由于各通道不同步導致的誤差。