一種靜態轉子系統連接參數辨識方法

楊默晗， 陳 果， 于平超

(南京航空航天大學 民航學院，南京 211106)

建立高精度的轉子系統有限元模型是研究轉子系統動力學特性過程中的重要問題。目前對于零部件的有限元模型修正技術已經十分成熟，但是對于部件之間的連接參數修正仍沒有精確的計算方法[1]。準確地辨識連接參數對于轉子系統動力學建模至關重要。

有限元模型修正方法主要分為矩陣型和設計參數型兩大類[2]。矩陣型方法以有限元模型的質量矩陣與剛度矩陣元素作為修正對象，直接修正質量矩陣和剛度矩陣，以使實測模態和解析模態相關，使模型的計算結果和實際測試結果一致[3]。常見的矩陣型模型修正方法最具有代表性的是參考基準法[4]。基于矩陣型方法修正后的系統矩陣準確地再現了結構的模態屬性，但所提出的修正建議并不總是存在物理意義[5]。設計參數型方法修正的對象為結構的物理、幾何參數及邊界條件，修正后的模型物理意義明確，是研究和應用的主流。

對于轉子系統有限元模型修正或連接參數辨識：張保強等[6]采用復模態模型修正技術對具有較大阻尼的磁軸承-轉子有限元模型進行修正，辨識其支承剛度和阻尼參數；趙斌等[7]以單盤轉子-軸承系統為研究對象，基于粒子群算法對轉子系統材料彈性模量和支承剛度進行修正；Miao等[8]建立了某型雙轉子航空發動機的一維和三維有限元模型并對其進行了參數修正；劉濤等[9]基于二分法-PSO(particle swarm optimization)算法和模態試驗對某轉子系統有限元模型轉軸參數進行了修正，獲得了更準確的轉子系統模型用于碰摩故障的研究；繆輝等[10]以具有復雜接觸界面的拉桿轉子為研究對象，基于模態試驗和分層模型修正方法對預緊狀態下拉桿轉子部件接觸面的連接剛度進行識別；余堅等[11]提出基于云自適應的粒子群優化算法，解決了航空發動機高壓轉子連接非線性接觸有限元模型修正問題；王海朋等[12]以某微型渦噴發動機轉子為研究對象，結合有限元模型計算模態和試驗結果，采用1階優化方法對轉子彈性模量進行修正；Chouksey等[13]運用逆特征靈敏度分析法對轉子-球軸承系統的軸承剛度、阻尼和轉軸材料阻尼進行識別；Feng等[14]提出一種遺傳算法和模擬退火算法相結合的進行轉子系統有限元模型修正方法，修正后的模型固有頻率和頻響函數與試驗值具有較好的一致性。在各部件相互耦合的轉子系統中，支承、聯軸器等部件的連接參數識別問題往往較困難，研究其參數辨識技術具有顯著的工程實用價值。

本文提出基于有限元代理模型和多目標優化遺傳算法的軸承-轉子系統有限元模型修正方法：首先，以某型含膜盤聯軸器的轉子試驗器為研究對象，以支承剛度、支承位置、膜盤聯軸器連接剛度為修正參數，基于支持向量機回歸算法建立轉子系統有限元計算代理；然后，建立與轉子系統多階固有頻率相關的多目標函數，結合模態試驗數據，利用多目標遺傳算法；最后，通過多目標優化方法，求解得到轉子系統連接參數最優值，實現支承剛度、支承位置、聯軸器連接剛度的辨識。

轉子系統工作范圍內存在重要的多階模態頻率，當采用單目標方法僅優化某一階模態頻率時，其余階模態頻率可能出現較大誤差，又因結構各階模態受連接參數的影響，其變化趨勢可能出現矛盾。因此，采用多目標優化方法所得可行解能使結構有限元模型和試驗多階模態參數達到最滿意的一致性，實現了優化目標的綜合考量，具有顯著的物理意義。

1 基于有限元計算代理和多目標遺傳算法的轉子系統連接參數辨識方法

轉子系統連接參數辨識方法的總體框架和計算步驟為：

步驟1對轉子系統進行模態測試；

步驟2建立轉子有限元模型，分析連接結構特征，估計各連接參數大小，給出適當的取值范圍；

步驟3連接參數對轉子各階固有頻率影響的靈敏度分析；

步驟4挑選出靈敏度較高的連接參數進行修正和辨識；

步驟5構造不同的連接參數組合，代入有限元模型計算對應的轉子系統固有頻率，形成樣本集合；

步驟6將樣本集合作為訓練集，利用支持向量回歸算法構造連接參數與固有頻率之間的函數關系，即轉子系統有限元計算代理；

步驟7設置目標函數為代理模型多個固有頻率仿真值與試驗值差值的絕對值，利用第二代非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm II,NSGA-II)求解得到連接參數最優值；

步驟8將辨識出的連接參數代入有限元模型計算，將計算結果和模態試驗值進行對比，以驗證其正確性。

建立有限元計算代理模型流程，如圖1所示。其關鍵技術將在針對具體轉子系統的連接參數辨識過程中進行詳細介紹。該過程中均未考慮轉子旋轉效應，可以稱為靜態的轉子系統連接參數辨識。由于連接參數主要為影響剛度矩陣，因此，無論是基于靜止狀態下還是旋轉狀態下的響應試驗，通過本文辨識方法所獲結果是一樣的。對靜止狀態轉子系統連接參數進行辨識的目的為獲取準確的連接參數，進而獲得高精度的轉子系統有限元模型，從而用于動態轉子系統在典型激勵下的振動響應分析，該思路在實際工程中更具有應用意義。

圖1 連接參數辨識流程圖

2 含膜盤聯軸器的轉子試驗器連接參數辨識

2.1 模態測試

2.1.1 試驗器概述

本文的研究對象是一臺含膜盤聯軸器的轉子試驗器，該試驗器主要包括膜盤聯軸器、法蘭盤、轉軸、軸承座、轉盤等。試驗器采用尼龍繩與齒輪增速器相連，由電動機驅動。試驗器真實結構如圖2(a)所示，其結構示意圖如圖2(b)所示，膜盤聯軸器結構如圖2(c)所示。

圖2 含膜盤聯軸器的轉子試驗器

跨度短的部分稱為短軸，跨度長的部分稱為長軸。兩段轉子通過膜盤聯軸器連接，膜盤聯軸器材料為鋁合金，全長為294 mm，膜盤直徑為100 mm，采用電子束焊，將四片膜盤組成一膜盤組，單膜盤組可實現角度容錯，雙膜盤組組合的膜盤聯軸器可實現組合不同軸的容錯。

支承S1和支承S2是固定支承，支承S3和支承S4是可調支承，可調支承能夠實現該轉子試驗器平行和角度不對中。支承高度為530 mm，平臺總長度為1 740 mm，總寬度為1 135 mm。膜盤聯軸器不能有效傳遞軸向力，在雙軸上均為推力軸承配圓柱滾子軸承，即支承1、支承3為推力軸承，設計軸向力加載系統，消除推力軸承的軸向間隙(同步消除徑向間隙)，支承2、支承4均為推力軸承配圓柱滾子軸承，不承受軸向力。

該試驗器可以靈活地安裝轉速、振動位移、加速度傳感器進行綜合性的振動測試。振動位移由水平和垂直兩個方向的電渦流位移傳感器獲取，轉速由一個安裝在增速器和轉軸連接處的光電轉速傳感器獲取。

2.1.2 模態試驗方案

分別對試驗器短軸、長軸、整體進行模態試驗，采用HEV-500型激振器進行正弦掃描，掃頻范圍為0～300 Hz，掃頻間隔為1 Hz。激振力通過安裝在激振器頂桿和試驗器之間的F001B阻抗頭測量。本文采取單點激勵多點測量的方法，在轉子試驗器上安裝B & K 4508型ICP加速度傳感器，采用NI公司NI9234動態信號采集模塊獲取振動信號數據。測點和激振點位置如圖3所示。

圖3 模態試驗

2.1.3 模態試驗結果及分析

采用MAS振動模態識別軟件得到前兩階模態頻率和模態振型，如表1所示。其中：短軸第1階為彎曲振型、第2階為法蘭端擺動；長軸第1階為轉子1階彎曲振型、第2階為轉子2階彎曲振型；整機第1階為長軸和膜盤聯軸器彎曲、第2階為短軸和膜盤聯軸器彎曲。

表1 模態試驗固有頻率及振型

2.2 轉子試驗器支承參數及膜盤聯軸器剛度辨識

2.2.1 結構動力學建模

參照文獻[15]的建模方法建立轉子試驗器動力學簡化模型，如圖4所示。圖4中：P1，P2，P3，P4，P5為5個轉盤，法蘭盤P0與齒輪輸出軸相連，轉盤P1和轉盤P2所在轉子為短軸，轉盤P3、轉盤P4、轉盤P5所在轉子為長軸，通過膜盤聯軸器C連接；S1，S2，S3，S4為4個支承；L1，L2，L3，L4為支承在固定坐標系中的位置；對每個轉軸單元，E，I，μ，L，ρ，R分別為轉軸單元的彈性模量、截面慣性矩、泊松比、轉軸長度、轉軸密度、轉軸截面積。

膜盤聯軸器簡化為具有線剛度kT和角剛度kR的彈性元件。支承不考慮交叉剛度、徑向水平和垂直剛度相等。

建立坐標系如圖4所示。其中xyz為固定坐標系。變形狀態下任意截面相對于固定坐標系的位置按以下方法確定：以x方向位移x(s，t)、y方向位移y(s，t)確定彈性中心線位置；以繞x方向轉角φ(s，t)、繞y方向轉角φ(s，t)確定橫截面方位，橫截面還繞其自身中心線z方向旋轉。轉子試驗器有限元模型參數，如表2所示。其中：1#盤和2#盤參數相同；3#～5#盤參數相同；4個支承的剛度及阻尼參數初始值相同。

圖4 轉子試驗器動力學簡化模型

(1)

(2)

(3)

本文采用Newmark-β法結合翟方法對轉子系統運動微分方程組進行求解。短軸劃分為8個單元9個節點，支承S1在節點2，支承S2在節點8，計算模態時將整機有限元模型中膜盤聯軸器線剛度和角剛度設置為零，采取錘擊法模擬，錘擊點在節點3，在垂直方向施加作用時間為0.1 ms、大小為100 N的沖擊力，得到各節點加速度響應，然后將響應輸入模態分析軟件，得到短軸固有頻率和模態振型。長軸分為11個單元12個節點，支承S3在節點2，支承S4在節點11，模態計算過程同短軸。分析整機模態時將膜盤聯軸器剛度恢復為默認值，計算過程同上。

表2 轉子試驗器有限元模型參數

轉子試驗器初始有限元仿真計算結果，如表3所示。

表3 初始有限元模型模態計算結果

2.2.2 靈敏度分析及修正參數選擇

(1) 支承剛度對固有頻率的影響規律

單獨改變一個支承剛度，其他參數保持不變，分別計算不同剛度條件下的轉子試驗器短軸和長軸前兩階固有頻率變化規律，如圖5所示。由圖5可知，支承剛度的變化沒有對固有頻率造成顯著的影響，這是因為轉子試驗器各軸承沒有安裝彈性支承，軸承的剛度較大，在一定范圍內改變其數值并不會對系統固有特性造成影響。

圖5 支承剛度對短軸和長軸固有頻率的影響

(2) 支承位置對固有頻率的影響規律

建立轉子系統有限元模型時，通常采用連接在節點上的彈簧單元來模擬支承剛度，改變短軸一個支承點位置，另外一個支承點位置不變，計算不同支承點位置下的前兩階固有頻率，即可得到支承點位置對前兩階固有頻率的影響規律，長軸部分同理，結果如圖6所示。由圖6可知，彈簧單元連接點的軸向坐標對短軸和長軸的前兩階固有頻率有顯著的影響。

圖6 短軸和長軸前兩階固有頻率隨支承點位置變化規律

因此，連接點的位置需要滿足一定的精度要求，才能保證有限元模型反映轉子系統的固有特性。但是實際現場測量轉子支承位置時，由于存在軸承座較寬、多軸承串聯等情況，支承位置的測量精度不足，難以達到有限元模型節點坐標的精度要求。因此，對轉子系統有限元模型支承點位置進行修正是十分必要的。

(3) 膜盤聯軸器剛度對固有頻率的影響規律

分別計算膜盤聯軸器線剛度和角剛度對整機前兩階固有頻率的影響規律，結果如圖7所示。由圖7可知，隨著膜盤聯軸器線剛度和角剛度的增加，轉子系統整機前兩階固有頻率緩慢增加并且趨于穩定值，而從整機模態試驗結果可知，膜盤聯軸器剛度越小越容易將整機固有頻率調整到第1階大約30 Hz、第2階70 Hz，這與實際膜盤聯軸器剛度較弱的特性相符合。

圖7 膜盤聯軸器剛度對整機前兩階固有頻率的影響

綜上所述，4個支承剛度對轉子試驗器短軸和長軸的前兩階固有頻率影響不大，所以不作為待修正參數。支承點位置和膜盤聯軸器剛度均對固有頻率產生影響，最終選擇將4個支承位置和膜盤聯軸器線剛度、角剛度作為待修正參數。

2.2.3 轉子試驗器連接參數辨識

(1) 計算樣本集

確定待修正參數的優化范圍的方法為：①以支承位置實際測量值為中心上下波動2～3 cm，給出支承位置的優化范圍；②確定線剛度和角剛度優化范圍時，從經驗上看膜盤聯軸器屬于柔性聯軸器，剛度較弱，首先假設膜盤聯軸器剛度數量級為107，然后給出不同的線剛度和角剛度組合進行試算，發現在該數量級內減小或增大剛度都不會影響系統模態頻率，則將數量級減小到106，再次試算，以此類推。最終通過多次試算估計出線剛度和角剛度的優化范圍。給出待修正參數的取值范圍，如表4所示。

表4 待修正參數的優化范圍

以短軸前兩階固有頻率為例說明樣本構造方法：①按照固定間隔和取值范圍分別給出L1和L2的離散點序列；②獲得兩者的所有組合；③利用循環程序將每一種支承位置組合代入有限元模型中求解前兩階固有頻率，即可得到L1,L2,F1和F2所構成的4維向量。

(2) 基于支持向量回歸的代理模型

對于給定的訓練樣本{(xi,yi),i=1,2,…,n}， 其中：xi為輸入向量，即轉子系統連接參數組合；yi為與之對應的輸出特征量，即各階固有頻率。支持向量機用非線性映射φ將輸入向量映射到高維空間中進行線性回歸[16]，回歸函數為

f(x)=w·φ(x)+b

(4)

式中：w,b分別為權向量和閾值；w·φ(x)為內積。然后求解式(5)所示的最優化問題。

(5)

(6)

最終可得回歸函數形式為

(7)

利用式(7)構造連接參數與轉子試驗器前兩階固有頻率之間的函數關系，即有限元代理模型。

代理模型訓練完成后，對其進行回歸預測測試，以此檢驗所建立的代理模型是否具有較好的泛化能力，代理模型測試結果如圖8所示。圖8(a)和圖8(b)分別為短軸前兩階固有頻率關于支承點L1的代理模型回歸預測結果。由圖8可知，代理模型能夠反映固有頻率隨連接參數的變化規律，可以用來代替有限元模型進行參數優化分析。

圖8 代理模型測試結果

基于交叉驗證方法得到的支持向量機代理模型參數，如表5所示。

表5 支持向量機參數

(3) 基于多目標優化遺傳算法的連接參數辨識

NSGA-II算法是Deb等[17]提出的一種多目標優化遺傳算法：該算法引入了“擁擠距離”算子和“擁擠距離”偏好法則，用于衡量種群個體密度，維持了種群的多樣性；采用精英決策機制，在進化過程中將父代種群和子代種群合并，一起參與環境適應性競爭，保證性質優良的Pareto解不會丟失。該算法計算效率高，能夠得到均勻的Pareto最優前沿面，是目前應用最為廣泛的多目標優化遺傳算法。

以代理模型的輸出值和模態試驗值之間差值的絕對值為目標函數，利用NSGA-II算法在變量空間中尋找Pareto最優解，最終辨識出連接參數值。NSGA-II算法染色體采用實數編碼，種群大小為100，進化代數為200，交叉概率為0.9，變異概率為0.01。

3 結果及驗證分析

3.1 支承位置修正結果

L1修正后的值為185.4 mm，L2修正后的值為566.4 mm，L3修正后的值為1 151.5 mm，L4修正后的值為1 937.9 mm。Pareto最優前沿如圖9所示。修正前后短軸和長軸前兩階固有頻率和相對誤差，如表6所示。試驗模態振型與仿真模態振型之間的模態置信準則(modal assurance criterion, MAC)，如表7所示。其中相對誤差和MAC值分別由式(8)和式(9)得到

(8)

式中：ωi,a為有限元仿真第i階固有頻率；ωi,e為模態試驗第i階固有頻率。

(9)

式中：δij為試驗第i階振型與有限元分析模型第j階振型之間的相關系數；Φi,e為試驗的第i階振型；Φi,a為有限元分析模型的第j階振型；上標T為共軛轉置。

MAC為一個介于0～1的標量：當MAC值為1時，表示兩振型向量完全相關，是同一模態；當MAC值為0時，表示兩振型向量線性無關[18]。在有限元模型修正問題中，若試驗或有限元之間的MAC值接近于1，則說明修正后的有限元模型和試驗相關性較好，達到了有限元修正的精度要求。

圖9 Pareto最優前沿

表6 短軸和長軸前兩階固有頻率修正結果

表7 短軸和長軸試驗與仿真模態振型相關性

由表6和表7可知，短軸和長軸有限元模型修正后模態頻率相對誤差得到明顯改善，同時MAC值也反映出修正后的模態振型和試驗振型相關性比較好。

3.2 膜盤聯軸器剛度辨識結果

膜盤聯軸器線剛度kT辨識結果為4 158 N/m、角剛度kR為1 047 N·m/rad。

膜盤聯軸器剛度辨識Pareto最優解，如圖10所示。由圖10可知，膜盤聯軸器剛度辨識所得Pareto最優解僅有一個點，實際上存在多個Pareto最優解，然而這些解所對應的整機前兩階固有頻率幾乎沒有偏差，故而圖中顯示為重疊狀態。

圖10 膜盤聯軸器剛度辨識Pareto最優解

原因在于整機前兩階固有頻率分別趨向于長軸第1階固有頻率及短軸第1階固有頻率，尋優過程中膜盤聯軸器剛度存在向修正下邊界進行的趨勢，對應的整機前兩階固有頻率趨于定值。該規律符合膜盤聯軸器具有較弱剛度的結構特性。

整機前兩階固有頻率修正前后結果及相對誤差，如表8所示。前兩階試驗模態振型與仿真模態振型之間的MAC值，如表9所示。

表8 整機前兩階固有頻率修正結果

表9 整機試驗與仿真模態振型相關性

由表8和表9可知，整機有限元模型修正后模態頻率相對誤差同樣得到了明顯改善，同時MAC值也反映出修正后的模態振型和試驗振型相關性比較好。

4 結 論

以某型含膜盤聯軸器的轉子試驗器為研究對象，基于梁單元和集中質量法建立了轉子試驗器的有限元模型，將膜盤聯軸器等效為具有線剛度和角剛度的彈性元件。

(1) 針對轉子系統支承剛度、支承位置和聯軸器剛度辨識問題，采用支持向量回歸算法構造了轉子系統有限元模型的計算代理，在模態試驗基礎上建立目標函數并采用多目標優化遺傳算法尋找連接參數在修正空間中的Pareto最優解，實現了連接參數的辨識。

(2) 有限元仿真驗證結果表明短軸、長軸和整機前兩階仿真固有頻率值均接近試驗值，相對誤差有明顯改善，MAC值反映出修正后的有限元模態振型與試驗模態振型之間具有較強的相關性，證明了轉子系統連接參數辨識的正確性和有效性。

(3) 需要說明的是：膜盤聯軸器的連接剛度在某些情況下是非線性的，且包含交叉剛度；軸承的支承剛度也是非線性的。文中的辨識模型均將其處理為線性剛度。結構剛度線性化適用于系統狀態處于小變形范圍內，文中基于模態測試對靜態系統連接剛度進行辨識所得線性剛度可以滿足有限元建模精度需求。如果轉子系統處于運行狀態，只要轉子的振動仍然滿足小變形范圍，線性剛度的假設及不考慮交叉剛度的假設都是實用的。