一類具阻尼項的三階非線性中立型泛函微分方程的振動性和漸近性

曾云輝， 羅李平， 汪志紅， 汪安寧， 俞元洪

(1. 衡陽師范學院 數學與統計學院，湖南 衡陽 421002； 2. 智能信息處理與應用湖南省重點實驗室，湖南 衡陽 421002；3. 中國科學院 數學與系統科學研究院，北京 100190)

考慮如下一類具阻尼項的三階非線性中立型分布時滯泛函微分方程

(1)

本文假設下列條件成立：

條件1α和β是兩個正奇數之比，I=[t0,∞),R+=(0,∞)；

條件2r(t),m(t)∈C1(I,R+),r′(t)≥0,q(t,ξ)∈C(I×[c,d],R+),c

定義函數

(2)

我們稱式(1)的一個解，是指函數x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0使r(t)(z″(t))α∈C1[Tx,∞)且在[Tx,∞)上滿足式(1)。本文僅考慮式(1)中滿足sup{|x(t)|∶t≥T}>0對一切T≥Tx成立的解。式(1)的解稱為振動，如其在[Tx,∞)上有任意大的零點。否則，稱其為非振動[1]。

近幾年來， 三階泛函微分方程的振動性和漸近性研究受到了很大關注，并取得了許多重要結果，見文獻[2-15]。但是，我們注意到所得結果都是關于式(1)特例給出的，而對一般情況的振動結果很少見到。2012年Zhang等考慮了式(1)的如下特例

(3)

成立下，給出了式(3)每一解振動或者收斂到零的若干Philos型充分條件。

2015 年Tian等改進了Zhang等的結果，考慮了半線性中立型方程

(4)

(5)

成立下，利用廣義Riccati變換得到式(4)每一解x(t)振動或者收斂到零的新的Philos型條件。且當α?1時與Zhang等的條件一致。我們也注意到Tian等提出了兩個公開問題：①在式(5)成立下，尋找當0<α<1時式(4)每一解經x(t)振動或者收斂到零的充分條件；②尋找式(4)在非正則，即在

(6)

條件下，上述結論仍然成立的充分條件。

2016年Fu等進一步研究了式(4)的振動性，給出了在式(5)成立下且α>0是兩個正奇數的商時，式(4)每一解振動或者收斂到零的Leighton型充分條件，并且將Candan研究中關于二階非線性中立型微分方程的振動準則推廣到三階中立型方程式(4)，從而解決了Tian等在研究中提出的第一個公開問題。

2018年Gao等進一步研究了式(3)， 在條件

成立下，利用Riccati方法和比較方法分別給出了式(3)每一解x(t)振動或者收斂到零的若干新的充分條件， 從而在α=1的條件下解決了Tian等在研究中提出的第二個公開問題。

2016 年林文賢研究了一類具有分布式中立項和阻尼項的三階非線性微分方程

(7)

(8)

成立下，給出了式(7)每一解振動或者收斂到零的若干Philos型充分條件。

2017年林文賢研究了一類三階非線性中立型阻尼泛函微分方程

(r(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α)′+m(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α+q(t)f(x(σ(t)))g(x′(t))=0,t≥t0

(9)

在條件

(10)

成立下，給出了式(9)每一解振動或者收斂到零的若干Philos型充分條件。

我們注意到式(1)中當α=1時，成為Emden-Fowler型方程,在天體物理、核物理、氣體動力學、流體力學等眾多高科技領域中有著重要應用。半線性方程式(4)是式(1)中當α=β,m(t)=0時的特例，但不包含Emden-Fowler型方程。因此，對式(1)的研究具有更廣泛的理論和實際意義。

本文目的是研究式(1)的振動性和漸近性問題，通過導出式(1)的新的Riccati不等式，從而給出式(1)每一解x(t)振動或者收斂到零的充分條件。所得結果推廣和改進了以往研究中相應的振動結果。另一方面，我們的結果在更廣泛的條件下回答了Tian等提出的兩個公開問題。下文中出現的函數不等式如果沒有特別說明，均假設是最終成立的，即對一切充分大的成立。

1 主要結果

為了書寫方便，我們引入記號

(11)

(12)

(13)

首先，我們敘述幾個有用的引理：

引理1設x(t)是式(1)的正解，則z(t)只可能有下列三種性質。

性質Ⅰz(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0,z?(t)≤0,(r(t)(z″(t))α)′≤0。

性質Ⅱz(t)>0,z′(t)<0,z″(t)>0,z?(t)≤0,(r(t)(z″(t))α)′≤0。

性質Ⅲz(t)>0,z′(t)>0,z″(t)<0,(r(t)(z″(t))α)′ ≤0。

對t≥t1成立, 其中t1充分大。特別當式(10)成立時，則z(t)只可能出現性質Ⅰ和性質Ⅱ。

證明設x(t)是式(1)的最終正解及式(2)，則存在t1≥t0, 當t≥t1時, 有x(t)>0,x(τ(t,μ))>0,μ∈[a,b],x(σ(t,ξ))>0,ξ∈[c,d]。易知z(t)>x(t)且

則

下面證明當式(10)成立時， 則z(t)只可能出現性質Ⅰ和性質Ⅱ。

如果z″(t)<0, 則存在常數M0>0, 使

從t2～t對上式積分，有

式中， 令t→∞，利用式(10)，有z′(t)→-∞。因此，z′(t)最終為負。 但是，由z′(t)和z″(t)最終為負，可知z(t)最終為負，此與z(t)>0的假設矛盾。故有z″(t)>0。因此只能有性質Ⅰ或者性質Ⅱ。引理1證畢。

引理2設x(t)是式(1)的最終正解, 且相應的z(t)具有引理1中的性質Ⅱ。 若

(14)

x(t)>N(L+ε)>Nz(t)

故

xβ(σ(t,ξ))>Nβzβ(σ(t,ξ))

(15)

利用式(1)、式(15)、條件5以及引理1中的性質Ⅱ，我們有

即

上式可以寫成

(E(t)r(t)(z″(t))α)′+Q(t)E(t)zβ(σ(t,d))≤0,t≥t3

(16)

式中，E(t),Q(t)分別由式(11)和式(12)定義。

對式(16)從t～∞積分得到

注意到z(σ(t,d))≥L,E′(t)>0,t≥t3≥t2,有

從而

(17)

對式(17)從t3～t積分，得到

在[tλ,∞)上成立。

引理5[17]設A>0,B>0,X≥0，則

定理1設條件1～條件5和式(14)滿足。若式(10)和

(18)

成立，其中Q*(t)由(13)定義，則式(1)的一切解振動或者漸近收斂到零。

證明設式(1)有非振動解x(t)。不失一般性，我們設x(t)最終為正(當x(t)最終為負時可類似證明)，故存在充分大的t1(t1在引理3中提及)，使當t≥t1時x(t)>0,x(τ(t,μ))>0,μ∈[a,b],x(σ(t,ξ))>0,ξ∈[c,d]。由引理1和式(10)成立，則z(t)只可能有性質Ⅰ或性質Ⅱ。

若z(t)滿足性質Ⅰ， 我們有

即得

x(t)≥(1-p)z(t),t≥t1

故有

xβ(σ(t,ξ))≥(1-p)β[z(σ(t,ξ))]β

(19)

利用式(1)和式(19)，我們得到

(20)

即

(E(t)r(t)(z″(t))α)′≤-Q*(t)E(t)zβ(σ(t,c))

(21)

從t1～t對式(21) 積分，我們有

(22)

因z(t)>0和z′(t)>0，故存在常數K1>0使z(t)≥K1，則有

(23)

因此

(24)

此與式(18)矛盾。

注1Fu等研究中的定理4是本文定理1中，當α=β，m(t)=0時的特例。

例1考慮具阻尼項的三階非線性中立型時滯微分方程

(E0)

因此條件1～條件5以及式(14)滿足。又由于

和

所以式(10)和式(18)成立，由定理1可知式(E0)的每一解x(t)振動或者漸近收斂到零。

下面我們進一步考慮如果定理1的式(10)和式(18)中，其中一個條件不成立將如何彌補。為此，首先考慮式(18)不滿足的情況。我們有如下定理：

定理2設條件1～條件5和式(14)滿足。若式(10)成立且存在函數ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),常數λ∈(0,1)和M>0使

(25)

式中：ρ′+(t)=max{0,ρ′(t)};ξ=min{α,β};Q*(t)由式(13)定義。則式(1)的每一解是振動或者漸近收斂到零。

證明設式(1)存在非振動解x(t)，不失一般性， 設x(t)最終為正，如同定理1的證明，因式(10)成立，z(t)只可能有性質Ⅰ和性質Ⅱ。 首先，設z(t)滿足性質Ⅰ則同上面的證明一樣，我們有

(26)

z′(t)≥λtz″(t)

(27)

現引進Riccati變換

(28)

則u(t)>0,t≥t1利用式(20)、式(26)、式(27)和式(28)，我們得到

(29)

注意到z(t)>0和z′(t)>0，故存在常數M1>0使當β≥α時有

因此，式(29)產生

(30)

又由z″(t)>0和z?(t)≤0，故當α>β時存在常數M2>0和t3≥t2使

因此，式(29)產生

(31)

聯合式(30)和式(31)，我們得到

(32)

式中：ξ=min{α,β};M=min{M1,M2}。且當α=β時M=1。

根據引理5，利用不等式

(33)

從t3～t對上式積分產生

此與式(25)矛盾。

注2定理2既適用于式(18)成立，也適用于式(18)不成立的情況，因此推廣和改進了定理1的結果。

例2考慮具阻尼項的三階非線性中立型微分方程

(E1)

且

故由定理2可知式(E1)的一切解振動或者漸近收斂到零。

下面利用Philos型積分平均給出式(1)新的振動準則。為此，考慮集合

D={(t,s)∶t≥s≥t0},D0={(t,s)∶t>s≥t0}

函數H∈C(D,R)稱為屬于X類，記作H∈X， 如果它滿足

H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

定理3設條件1～條件5和式(14) 滿足。若式(10)成立且存在函數ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),h∈C(D0,R)使H∈X, 若存在常數λ∈(0,1) 和M>0使

(34)

其中

ψ(t)=ρ(t)Q*(t)

(35)

ξ=min{α,β}，Q*(t)由式(13)定義，則式(1)的每一解振動或收斂到零。

證明設式(1)存在非振動解x(t)，如同定理2的證明，z(t)只可能有性質Ⅰ和性質Ⅱ。首先，設z(t)滿足性質Ⅰ進變換u(t)同式(28)，則有式(32)成立。 令

和

(36)

現將式(32)可寫為

(37)

式中，ψ(t)由式(35)定義。

用H(t,s)乘不等式(37)且從T～t積分，我們有

(38)

令B=|h(t,s)|,A=H(t,s)A(s), 利用不等式(33)

注意到式(36)，則式(38)成為

因此

對一切充分大的t成立，此與式(34)矛盾。

注3本文定理3將Zhang等研究中定理3.1的結果從α=β=1,m(t)=0改進為m(t)≠0且對任意α>0,β>0是奇數的商成立。并且也將Qin等和Tian等研究中的定理3.1以及Zhang等研究中的定理4改進為當m(t)=0時，對α和β是任意正奇數的商成立。

下面考慮定理1中式(10)不滿足的情況。Tian等對式(1)當α=β,m(t)=0時，提出如下公開問題： 給出在非正則情況

(39)

下的研究方法。現在，我們對式(1)中允許α≠β，m(t)≠0時回答上述公開問題。

(40)

因此，我們有(21)成立。亦即

(E(t)r(t)(-z″(t))α)′≥Q*(t)E(t)zβ(σ(t,c))≥0

(41)

引進函數

(42)

則v(t)>0,t≥t1。微分式(42)并利用式(41)我們有

(43)

由引理4，我們得到z(t)≥tz′(t),t≥t1,則當σ(t,c)>t1時，有z(σ(t,c))≥σ(t,c)z′(σ(t,c))。又因為z(t)滿足引理1的性質Ⅲ且σ(t,c)≤t,所以z′(σ(t,c))≥z′(t)。因此，我們有

z(σ(t,c))≥σ(t,c)z′(σ(t,c))≥σ(t,c)z′(t)

(44)

將式(44)代入式(43)產生

(45)

由式(45)和式(42)，我們得到

(46)

此時，式(45)可以寫為

(47)

聯合式(46)和式(47)，我們有

(48)

式中：η=max{α,β}；K=min{βK1,βK2}且當α=β時，K=α。

其次，由式(21)可知,r(t)E(t)(z″(t))α非增，存在T≥t3使

(49)

從t～l對(49)積分，我們得到

因此

(50)

聯合式(42)和式(50)產生

(z′(t))α-β≥πα(t)v(t)>0

當α≥β時, 函數(z′(t))α-β非增，故存在常數l1>0使

0<πα(t)v(t)≤l1,t≥T

(51)

由式(50)得

即

當β≥α時,上式左端函數非增，故存在常數l2使

0<πβ(t)v(t)≤l2,t≥T

(52)

注意到式(51)和式(52)，我們有

0<πη(t)v(t)≤L0

(53)

式中：η=max{α,β}；L0=l1+l2。

現以πη(t)乘不等式(48)且從T～t積分，得到

(54)

在式(54)中利用了分部積分和不等式(53)。利用不等式(33)，其中取A=Kπ(s),B=η,則式(54)產生

(55)

因此

(56)

顯然式(56)與式(40)矛盾。故式(1)的每一解振動或收斂到零。定理4證畢。

例3考慮具阻尼項的三階非線性中立型微分方程

且

故式(40)成立，由定理4，式(E2)的每一解振動或者收斂到零。

和

式中，Q*(t)由式(13)定義，則式(1)的每一解振動或者收斂到零。

2 結 論

本文討論了一類具阻尼項的三階非線性中立型連續分布時滯泛函微分方程解的振動性和漸近性，得到了一組保證該方程每一解振動或者收斂到零的幾個充分條件，這些結果反應了阻尼項和中立項在振動中的影響作用，這些重要的結論為解決天體物理、核物理、氣體動力學、流體力學等眾多高科技領域的實際問題提供了數學理論依據和科學基礎。