滾動碰撞式調制質量阻尼器力學模型及參數分析

黃緒宏， 閆維明， 許維炳， 王寶順

(北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點試驗室，北京 100124)

顆粒阻尼器作為一種被動控制減振裝置，通過振動過程中顆粒與主結構之間的動量交換及碰撞耗能實現對系統的控制。顆粒阻尼器的構造簡單、成本低廉、易于實現，一直是機械領域及航空航天領域的研究熱點，其中具有代表性的是單顆粒沖擊阻尼器。Masri等[1-2]對單顆粒沖擊阻尼器進行了詳細的理論研究，獲得了單自由度結構及多自由度結構穩態解析解。Li等[3-4]分別以單自由度結構及多自由度結構作為試驗對象，研究不同緩沖材料對顆粒阻尼減振效果的影響，結果表明緩沖型阻尼器不僅減小了結構加速度及沖擊力，而且相比傳統沖擊型阻尼器具有更好的減振效果。單顆粒阻尼器力學模型較為清晰，其在一定程度上也推動了多顆粒阻尼器的相關研究。Papalou等[5]及魯正等[6]將多顆粒等效為單顆粒，在單顆粒研究的基礎上對多顆粒進行相應理論分析，系統分析了多顆粒阻尼器減振機理及參數影響規律。

單顆粒沖擊阻尼器雖然理論模型較簡單，但在實際應用中，初始時刻沖擊質量塊處于隨遇平衡狀態，這對該型阻尼器的減振效果及理論分析結果的合理性有影響，且傳統單顆粒沖擊阻尼器沖擊力較大。相比之下，具有一定弧度的滾動碰撞式調制質量阻尼器 (pounding tuned rotary mass damper, PTRMD) 的提出解決了初始平衡狀態的缺陷，能夠在一定程度上減小碰撞時刻的沖擊力。陳俊嶺等[7]基于調諧質量阻尼器及顆粒阻尼器的工作原理提出一種適用于風力發電塔架振動控制的盆式調諧/顆粒阻尼器，并將其應用于1.5 MW陸上風機振動控制中，實測分析結果表明該型阻尼器能有效地控制塔架在急停工況及運行工況下的振動。王見祥[8]在滾動型調諧質量阻尼器研究基礎上提出了PTRMD，并采用數值仿真的方式驗證了其對單自由度結構及多自由度結構[9]在簡諧激勵及地震作用下的減振效果?，F階段研究成果表明，PTRMD能有效地減小受控結構的動力響應，但仍然存在以下幾方面不足：①PTRMD力學模型仍不完善，顆粒振動過程中可能存在黏滯振動現象；②PTRMD是在調諧質量阻尼器的基礎上提出的，其曲率半徑是按照最優調頻進行計算取值，但這種取值方法的合理性還有待驗證；③PTRMD主要物理參數對其減振控制效果的影響規律并不明確，仍處于探索階段。

鑒于此，本文以PTRMD作為研究對象，基于經典力學法中的碰撞恢復系數并考慮顆粒黏滯振動，建立PTRMD力學模型及PTRMD-單自由度結構運動微分方程，最后通過數值模擬的方法研究容器曲率、碰撞恢復系數等參數對PTRMD減振效果的影響規律，為PTRMD的應用及多顆粒滾動碰撞式調制質量阻尼器的進一步研究做鋪墊。

1 PTRMD運動分析模型建立及其求解

基于 PTRMD 的單自由度受控結構力學模型,如圖1所示，假設顆粒初始位置位于容器底部，兩側碰撞間距均為θmax，則顆粒在容器中運動狀態主要包括以下三個階段：未碰撞階段、碰撞階段、黏滯振動階段[10]，各階段運動方程建立如下。

圖1 PTRMD力學模型

1.1 未碰撞階段顆粒運動方程建立

本文基于Lagrange方程推導受控結構體系運動微分方程，認為顆粒在運動過程中只產生滾動摩擦，則受控結構體系動能、勢能及非保守力做功為

(1)

(2)

(3)

式中：T為系統動能；V為保守力對應勢能；δWnc為非保守力做功；m1，m2分別為結構質量及顆粒質量；R，r分別為容器曲率半徑和顆粒半徑；K1，C1為結構剛度及阻尼；J=2/5m2r2為顆粒轉動慣量；μf為滾動摩擦因數；g為重力加速度；x(t)為結構相對地面的位移；θ(t)為任意時刻顆粒相對結構轉動角度；δx,δθ分別為結構位移及顆粒位移對應的虛位移；xa,ya為任意時刻顆粒相對容器底部水平位移及豎向位移；P(t)為外部荷載作用。假設顆粒在運動過程中滾動角度θ為小量(0～0.3 rad)[11]，可將體系動能、勢能及非保守力做功分別近似為

(4)

(5)

(6)

由Lagrange方程推導結構體系運動微分方程組為

(7)

1.2 基于經典力學法的碰撞恢復模型建立

(8)

式中:i=1,2分別為結構和顆粒；s=n,t分別為碰撞接觸面的法向和切向。基于碰撞恢復系數e的定義有

(9)

由式(5)、式(6)得碰撞后速度為

(10)

(11)

1.3 黏滯振動簡化方法

(12)

(13)

圖2 顆粒黏滯振動

圖3 顆粒黏滯運動極限狀態

2 顆粒阻尼器自身參數對減振效果影響分析

以某單層鋼框架模型[13]作為研究對象建立附加PTRMD體系運動微分方程，利用四階Runge-Kutta法求解減振體系運動狀態，并進行參數分析。模型m1=17.96 kg，K1=5.4 kN/m，結構阻尼比為2%，其振動基頻ω0為17.34 rad/s。為研究PTRMD在簡諧激勵(P(t)=Am1sin(ωt))作用下各物理參數對減振效果的影響規律，選取基本參數如表1所示。文中除特殊說明外，參數按照表中數據取值。采用減振率β對碰撞阻尼器減振效果進行評價，減振率計算公式為

(14)

式中：X+為受控結構響應；X為原結構響應。

表1 基本參數選取

1.1 容器曲率半徑R及碰撞距離θmax對減振效果的影響分析

容器曲率半徑R及碰撞間距θmax為影響PTRMD減振效果的主要因素。學者們對于曲率半徑的選取目前普遍通過調整曲率半徑的大小將顆粒滾動頻率調至主結構1階頻率附近[14]，其中顆粒滾動頻率由式(7)得

(15)

式中，ρ=R-r。

即便如此，不同學者選取顆粒的碰撞間距也存在差異。為研究容器曲率半徑及碰撞間距對減振效果的影響，除選取結構基頻對應的曲率半徑0.053 4 m外，另外選取曲率半徑R為[0.04 m,10 m]，對應選取最大碰撞間距θmax在[0，0.3 rad]進行參數分析，并對參數進行無量綱化處理得到顆粒運動的頻率比λ及碰撞間隙比γ為

(16)

(17)

式中：ωn為顆粒振動頻率，如式(12)所示；ω0=17.34 rad/s為結構基頻；Am1Rd為共振時結構穩態位移響應，其中激勵幅值A默認為0.5g，Rd為共振放大系數。部分曲率半徑及碰撞間距組合對應分析結果如圖4～圖6所示。為更加清晰的描述減振規律，圖中虛線部分為對應組合下考慮顆粒大位移時對應的阻尼器減振率。參數分析結果顯示：

(1)由圖4可知，當頻率比λ較小(λ≤0.17)時，結構穩態位移響應減振率隨碰撞間隙比γ的增大總體呈現增長趨勢，但在碰撞間隙比增大過程中存在幾處明顯的極大值點(A,B,C)，依次對應顆粒不同的穩定狀態(見圖5)；當λ較大時(λ>0.17)，穩態位移響應隨γ先增大后減小，最優碰撞間隙比γ及減振率隨λ的增大而減小。值得注意的是，當γ=0時對應原結構附加同等質量塊下的減振率。

圖4 結構穩態位移響應減振率

圖5 顆粒碰撞狀態

(2)由圖6可知，結構最大響應減振率隨γ先增大后減小。頻率比λ較小(λ≤0.17)時，當γ<0.4，減振率受λ影響較小，當γ>0.4時，減振率隨λ的增大而增大；λ較大(λ>0.17)時，最優碰撞間隙比γ及減振率隨λ的增大而減小。

圖6 結構最大位移響應減振率

(3)為研究顆粒碰撞狀態對穩態結構響應的影響，本文采集了結構穩態周期運動狀態下顆粒的周期碰撞次數，如圖7所示。分析結果表明，當無量綱碰撞間距γ較小時(γ<0.01)，顆粒發生黏滯振動，隨著γ的增加黏滯持續時間減小，實際統計到的顆粒碰撞次數增加；當γ>0.01時，顆粒周期碰撞次數隨無量綱碰撞間距γ的增加呈指數衰減，且變化規律受λ影響較小。圖7與圖4對比結果顯示，當頻率比λ較小時(λ≤0.17)時，顆粒周期碰撞次數越小，對應結構穩態響應減振率越大，當顆粒發生周期2次碰撞時(狀態C)，共振時減振效果最好，該結論與文獻[15]分析結果一致。當頻率比λ>0.37時，由于容器曲率對顆粒運動狀態影響顯著，單顆粒阻尼器減振機理發生改變。隨著λ的增加，最優減振率對應碰撞次數增加。

圖7 顆粒碰撞次數統計

2.2 滾動摩擦因數μf對減振效果的影響分析

對于低速運動的土木工程結構來說，顆粒與容器之間的滾動摩擦因數μf對于顆粒阻尼器減振效果的影響是一個不容忽略的影響因素[16]。參數選取如表2所示。

表2 滾動摩擦因數μf影響分析對應參數選取

滾動摩擦因數對顆粒阻尼器減振效果影響，如圖8所示。當λ=0.05，γ=0.43時，此時顆粒運動并非穩態最優減振狀態，減振率隨著摩擦因數的增加先增加后減小，當滾動摩擦因數取0.03 m時達到最優減振效果，此時顆粒運動對應更為穩定的狀態，如圖9所示。當λ=0.17，γ=0.57時，此時顆粒運動為穩態最優減振狀態，當滾動摩擦因數取值較小時，滾動摩擦因數對于穩態狀態下顆粒阻尼器減振效果影響較小，但當滾動摩擦因數較大時(uf>0.02)，滾動摩擦因數消耗了較多的顆粒動能，促使顆粒無法與碰撞板發生碰撞，產生了減振效果的突變。當λ=1，γ=0.014時，在當前滾動摩擦因數數量級下，由于摩擦因數較大，已經嚴重限制了顆粒的運動，造成算法無法正常進行，但部分結果顯示，較大的滾動摩擦力對于減振效果是不利的。

圖8 滾動摩擦因數對穩態位移響應減振率影響

圖9 顆粒運動狀態(λ=0.05，γ=0.43)

2.3 碰撞恢復系數e對減振效果的影響分析

碰撞恢復系數e能夠反映碰撞過程中顆粒的耗能作用，試驗研究表明適當的降低碰撞恢復系數有利于降低結構的位移響應及沖擊力[17]，本文在頻率比λ=ωn/ω0及碰撞間隙比γ對減振效果影響分析基礎上，選取不同的碰撞恢復系數進行共振條件下參數分析，參數選取如表3所示。

表3 碰撞恢復系數e影響分析對應參數選取

分析結果顯示，當碰撞間隙比γ較小時，此時顆粒在容器中通過碰撞進行動量交換并不充分，顆粒碰撞主要起到耗能作用，因此當碰撞恢復系數e取值較小時，減振效果較優，如圖10所示；隨著碰撞間距的增加，顆粒與容器之間的動量交換變為主要影響因素，過低的碰撞恢復系數e反而不利于顆粒的連續穩定的沖擊減振，因此碰撞間隙比γ越大對應的最優彈性恢復系數e越大，如圖11所示。其次分析結果顯示，頻率比λ對于最優碰撞恢復系數e的取值也有影響。

圖10 碰撞恢復系數e對結構位移響應的影響(λ=1)

圖11 碰撞恢復系數e對結構位移響應的影響(λ=0.17)

2.4 顆粒附加質量比對減振效果的影響分析

需要說明的是實際條件下質量比的增加勢必會引起頻率比λ及碰撞間隙比γ的改變，進而影響顆粒在腔體中的運動狀態，而多種因素的耦合會提高質量比影響規律的分析難度。因此，本文在考慮質量比影響時僅通過調整顆粒的密度來獲得不同的質量比，對應選取表3中參數進行附加質量比影響分析，其中穩態較優狀態對應減振變化規律，如圖12所示。

圖12 附加質量比μ對減振效果影響分析

由圖12可知，當λ=0.05，γ=0.61時，最優附加質量比為7%，此時對應減振率為0.92；當λ=0.17，γ=0.57時，最優附加質量比為8%，此時對應減振率為0.93；當λ=1.00，γ=0.008時，在本文計算條件下，PTRMD的減振控制效果隨質量比增加而增加，但其減振控制效果與附加質量基本一致，對應的減振率小于0.7。PTRMD的減振控制效果隨質量比變化過程如下。①當λ=0.05，顆粒的附加質量比較小時(μ≤7%)，顆粒的無碰撞限制最大位移仍較大，顆粒與容器之間仍能發生有效的碰撞，顆粒與容器之間的能量交換及碰撞耗能隨附加質量的增加而增加，PTRMD的減振效果增加；當7%<μ<10%時，顆粒的無碰撞限制最大位移進一步減小，顆粒與容器之間碰撞的穩定性降低，顆粒與容器之間的能量交換及碰撞耗能均降低，PTRMD減振效果降低，且此過程PTRMD減振效果的穩定性降低；當μ≥10%時，顆粒的無碰撞限制最大位移進一步減小，顆粒與容器不再發生碰撞，此時顆粒僅起到調諧作為，隨著附加質量比的增加，PTRMD減振效果增加(與無阻尼調諧質量阻尼器類似);②當λ=0.17，μ≤8%時，與λ=0.05的減振分析過程類似，此時顆粒的無碰撞限制最大位移仍較大，顆粒與容器之間仍能發生有效的碰撞，顆粒與容器之間的能量交換及碰撞耗能隨著附加質量的增加而增加，PTRMD的減振效果增加；而當μ>8%時，顆粒與容器之間碰撞的穩定性降低，顆粒與容器之間的能量交換及碰撞耗能均降低，PTRMD減振效果降低，且此過程PTRMD減振效果的穩定性降低，但相比較于λ=0.05，由于無碰撞限制時顆粒運動幅值增加，顆粒將會在較大附加質量比情況下仍然與結構發生碰撞，提高了單顆粒PTRMD受附加質量比影響的魯棒性;③當頻率比λ較大時(λ=1)，由于顆粒運動碰撞間隙比γ較小，顆粒與容器之間的相對位移及相對速度較小，顆粒與容器之間雖能夠發生碰撞，但顆粒與容器之間的動量交換及耗能均十分有限，因此PTRMD的減振效果較差，幾乎與附加質量相同。

3 外部激勵對減振效果影響分析

3.1 激勵幅值對減振效果的影響分析

選取激勵幅值為0.5g作用下最大位移最優狀態下參數(見表3)進行共振條件下激勵幅值對減振效果的影響分析，數值分析結果如圖13所示。結果顯示:①頻率比λ較小(λ≤0.17)時，當簡諧激勵幅值小于0.5g時，隨著激勵幅值的減小，顆粒在非碰撞狀態下最大位移減小，相比之下碰撞間距越來越趨近于對應激勵幅值最優碰撞間距，所以隨著加速的減小，減振率增加，但是，當激勵幅值過小時，由于對應激勵幅值下顆粒運動幅值過小，無法與碰撞板發生碰撞，反而發生了減振效果的突變；當簡諧激勵幅值大于0.5g時，隨著幅值的增大，碰撞間隙比減小，減振率降低;②頻率比λ較大(λ>0.17)，當激勵幅值大于0.1g時，此時由于碰撞間隙比γ較小，顆粒減振效果并不理想；隨著激勵幅值的減小(<0.1g)，由于結構位移減小，對應激勵幅值下的碰撞間隙比γ增大，顆粒與容器之間的動量交換更加充分，因此提高了阻尼器的減振率。值得注意的是，當激勵幅值極小時，顆粒不發生碰撞，此時共振狀態下減振效果接近完全消振。

圖13 激勵幅值A對減振效果影響分析

考慮到實際工程結構中，結構可能經歷的最大加速度峰值覆蓋范圍較廣，激勵幅值對于減振影響規律可能存在差異性，本文選取曲率半徑R在[0.04 m,10 m]，對應選取最大碰撞間距θmax在[0,0.3 rad]，選取激勵幅值在[0.1g,0.6g]進行參數分析，分析結果如圖14、圖15所示。分析結果顯示，當頻率比λ較小時(λ≤0.17)，如圖14所示。減振率隨γ的增加而線性增加，當碰撞間距臨近顆粒極限碰撞間距時，減振率發生突變。激勵幅值對減振率變化規律影響較小，但須注意碰撞間距比γ相同時，不同激勵幅值對應的實際碰撞間距θmax不同；當λ較大時(λ>0.17)時(見圖15)，減振率隨γ變化規律并非一致，隨著激勵幅值的增加，減振率衰減更加迅速。碰撞間隙比對減振效果影響分析與現有研究成果對比顯示，當頻率比λ≤0.17時，減振率隨碰撞間距比變化規律與文獻[18]數值仿真結果較為一致，但須注意的是，在多顆粒情況下，本文所得變化規律與文獻[18]實測減振率變化規律存在差異，因此多顆粒阻尼器等效單顆粒方法適應性還需進一步研究。

圖14 碰撞間隙比γ及激勵幅值A對減振效果的影響分析(λ=0.17)

圖15 碰撞間隙比γ及激勵幅值A對減振效果的影響分析(λ=1)

3.2 激勵頻率對減振效果的影響分析

為研究激勵頻率對減振效果的影響，選取表3中穩態較優狀態進行參數分析，數值仿真結果如圖16所示，由圖像分析可知，當頻率比λ較大時(λ>0.17)，在當前碰撞間隙下，顆粒以碰撞耗能為主，減振效果并不理想。當λ較小時(λ≤0.17)，由于碰撞間隙比接近顆粒的最大碰撞間隙比，因此只有在頻率比ω/ω0接近1時顆粒才能與碰撞板發生碰撞，從而起到減振的效果。λ=0.17與λ=0.05對比顯示，適當減小容器曲率半徑有利于提高阻尼器的頻帶作用寬度。

圖16 激勵頻率比ω/ω0對減振效果影響分析(A=0.5g)

在上述分析過程中，由于激勵幅值選取較大，當λ較大時，對應碰撞間隙比γ較小，顆粒減振效果并不理想。為研究λ=1時對應阻尼器減振效果，進行了激勵幅值A=0.1g,A=0.05g,A=0.01g時頻率比ω/ω0對減振效果影響分析，分析結果如圖17所示。從圖17可知，隨著激勵幅值的減小，對應碰撞間隙比γ增大，顆粒阻尼器減振效果有所改善。

圖17 激勵幅值A及頻率比ω/ω0對減振效果影響(λ=1, γ=0.014)

4 結 論

本文建立單顆粒滾動碰撞式調制質量阻尼器運動全過程力學模型，提出黏滯振動簡化方法，并基于Runge-Kutta法對力學模型進行了求解，主要結論如下：

(1)在共振簡諧激勵下，當頻率比λ=ωn/ω0較小時(λ≤0.17)，顆粒阻尼器的減振率隨碰撞間隙比γ的增加呈現近似線性增加，且變化規律受激勵幅值影響較小；當頻率比λ較大時(λ>0.17),顆粒阻尼器減振率隨碰撞間距比γ的增加先增大后減小，且變化規律受激勵幅值影響較大。

(2)顆粒的運動狀態對于碰撞阻尼器的減振效果具有重要影響。當頻率比λ較小時(λ≤0.17)時，顆粒發生周期2次碰撞時減振效果較優；當λ>0.37時，隨著λ的增加，最優減振率對應碰撞次數增加。摩擦因數、碰撞恢復系數及質量比對顆粒運動的穩定性具有影響。

(3)相同碰撞間距θmax下，阻尼器減振效果受激勵幅值A及頻率比ω/ω0的影響較大，這主要歸結于激勵對結構及顆粒的運動幅值影響較為顯著，且當λ較大時，影響更明顯。