基于貝葉斯估計的小波腦電信號去噪算法研究

王宏旭，張晨潔，劉勇，郭濱

（長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022）

大腦是由億萬個神經元組成的復雜系統，負責身體的各個功能的協調運作，通過大腦皮層上電極記錄下的大腦細胞群的電位活動稱為腦電信號[1]。通過對腦電信號進行研究可以獲得豐富的心理及生理的疾病信息，所以腦電信號的分析及去噪算法的研究無論是在臨床的診斷和急病治療上都是十分重要的。一般來說，腦電信號具有背景噪聲強、信號微弱等特點，所以如何消除腦電數據的噪聲，更好地獲取對大腦有用的信息是當今研究的熱門話題。

近年來小波變換廣泛應用于信號處理和圖像融合等領域。小波去噪的方法主要有模極大值法、空間濾波、閾值法，其中閾值法國內外學者廣泛應用的方法[2]。閾值的選取是根據信號的長度設定，其設定的方法具有單一性，無法一次性對信號參數進行選定，由于選取過于零散，無法滿足信號復雜等特點。所以針對這一問題，很多學者提出閾值選取的方法，文獻[3]提出一種全局閾值選取方法，根據分解層數的不同對腦電信號進行去噪，雖然在信號中混入基線漂移，但是還原了腦電特征；文獻[4]利用小波變換對EEG信號進行高頻和低頻系數分解，并且利用改進的閾值選取方法，根據分解層數，對小波變換后的小波系數進行自適應閾值處理，去噪效果優于硬閾值、軟閾值、Garrote閾值；文獻[5]設計了閾值選取器，結合最小均方誤差和小波去噪方法，提出一種LMS算法來自適應控制閾值參數，可較大程度減少噪聲，提高信噪比，且該方法比傳統去噪方法更準確。

實驗研究表明腦電去噪的效果好壞對大腦功能的分析和疾病診斷具有重要的意義，所以本文利用美國波恩醫學中心的癲癇患者實測的腦電時間序列進行去噪處理，通過觀察噪聲特征模型，采用拉普拉斯最大后驗概率進行估計，考慮到小波系數的長拖尾性和噪聲干擾性，提出了一種貝葉斯估計的自適應算法，相比于小波閾值去噪和其他的去噪方法，本文的去噪算法有效的避免了常用的小波去噪造成的細節模糊和信息丟失，實驗研究顯示，本文的算法可較大程度保留原始腦電信號特征同時具有良好的去噪性能，并且可以有效地提高峰值信噪比。

1 小波基本理論

1.1 小波變換

小波變換是對基本小波進行伸縮和平移得到的，小波系數是原信號與小波基函數的相似系 數[6]。 設函數Φ（t）為可積函數且滿足t=L2（R），則傅里葉變換滿足如下條件：

則Φ（t）為小波母函數，將小波母函數進行伸縮和平移得到：

式中，a為尺度系數；b為平移系數；Φa，b（t）是經過伸縮平移后得到的連續小波基函數。信號f（t）在式（2）中進行展開，這樣的變換為連續小波變換，簡稱CWT，表達式為：

式中，a大于0，在CWT中尺度參數和平移參數進行離散采樣后，得到離散小波變換，其表達式為：

1.2 小波基的選擇

小波基的選擇對腦電去噪效果至關重要，一般對稱性好的小波基不會產生相位畸變[8]。正則性好的小波基在進行腦電重構時腦電信號更加平滑，緊支撐的小波在腦電去噪時處理的速度更快。

本文選擇的小波基為dbNv小波，可以滿足以上的條件，db1（簡稱Haar）小波是小波基當中最簡單的小波形式，局域性較差，因此本文選擇db6小波，db6的特點是處理速度更快，MATLAB軟件應用方便，其波形和腦電波形相似，對腦電去噪效果最好。db6小波曲線如圖1所示。

圖1 db6小波函數

1.3 小波去噪原理

小波去噪原理是將小波進行分解，再對小波進行多尺度變換，盡可能提取有用的腦電信號[7]。然后再根據波恩腦電信號特征和噪聲特點，選擇合適的去噪模型，利用貝葉斯估計后的系數進行小波重構，從而得到去噪后的腦電信號。其基本原理如圖2所示，在進行小波變換前，腦電信號的突變處峰值很高，突變處集中了噪聲，很多平穩有用的腦電信號幅值很小，從而大大增加了去噪難度，所以本文以拉普拉斯為去噪模型，結合貝葉斯進行小波估計，已達到去噪的目的。

圖2 腦電去噪原理

2 拉普拉斯最大后驗概率模型

由于拉普拉斯分布模型具有尖峰脈沖特性以及嚴重的拖尾特性、概率密度分布與癲癇患者腦電信號的概率密度分布相似，所以本文采用拉普拉斯為去噪模型，在利用貝葉斯估計方法進行腦電去噪，信號模型的先驗準確性直接影響去噪效果，所以模型的選取至關重要，拉普拉斯分布去噪模型為：

式中，g為含噪的腦電信號；s為真實的腦電信號；ε為噪聲信號。其中 ε服從N（0，?2）高斯噪聲分布，對于含噪的腦電信號g進行相應的小波變換，得到：

式中，y為含噪腦電信號；w為不含噪聲的理想腦電信號；n為噪聲的小波系數。對于小波變換n服從N(0，σ2)分布，拉普拉斯概率分布與噪聲的高斯分布的概率密度函數非常相似，所以對于理想腦電信號w在0點附近有很長的峰值，并且有拖尾現象發生，這和高斯分布相符合，其拉普拉斯概率密度公式為：

式中，w為小波系數的先驗模型；σ為尺度參數。該公式可以有效的估計噪聲模型，對去噪效果至關重要。

3 貝葉斯估計基礎理論

3.1 貝葉斯原理

在腦電信號中通常認為噪聲都是相互獨立的，經過小波變換后的噪聲n的概率密度函數為：

最大后驗估計（MAP）在貝葉斯理論中是一種常用的方法，在給定的腦電數據中，p（y|x）為似然密度函數，p（x）被稱為先驗密度函數，所以為了求p（y|x）的最大值，根據貝葉斯估計方法，可以將貝葉斯公式轉化為：

在給定腦電信號y的條件下，使概率密度函數pw|y(w|y)最大的w，其表示含噪腦電信號為：

根據公式（6）的貝葉斯準則變換得到：

對公式（11）兩邊取對數，則得到如下公式：

將式（7）和式（8）代入上式，得到：

腦電信號的高斯白噪聲符合均值μ=0，標準差為σ2=1，對上式w進行求導，得到公式：

另|w|=sign(w)，并設w=y則公式可轉化為：

3.2 貝葉斯自適應去噪算法

為了使腦電信號去噪算法具有自適應性，可以將小波系數看作拉普拉斯的分布模型，根據公式（14）可估計真實腦電信號的小波系數w，在知道標準差σ和噪聲方差σ2的情況下，噪聲方差可描述噪聲的統計特性，為了對噪聲方差做出更好的估計，1995年Donoho和Johnstone等人[9]提出小波域魯棒中值法對噪聲方差進行估計。表達式是：

因信號與噪聲相互獨立，所以公式中y(i)是第一級小波系數分解后對子帶的分解系數。要得到真實的腦電信號，首先對每個含噪信號進行方差估計，其公式為：

對含噪腦電信號的標準差估計為：

去噪后的小波系數具有不同的拉普拉斯分布，信號的邊緣標準差具有相關的隨機性，所以領域的估計系數標準差為：

根據公式推導基于貝葉斯自適應去噪算法流程為：

（1）對含噪的腦電信號進行小波變換；

（2）利用公式（15）進行噪聲方差估計；

（3）按照公式（16）和公式（17）得到拉普拉斯分布模型的標準差估計，再利用公式（14）進行處理，最后得到真實小波系數的貝葉斯估計；

（4）進行小波反變換進行重構，得到去噪后的腦電信號。

4 腦電去噪性能的評價方法

4.1 信噪比和均方根誤差

腦電去噪效果在主觀和客觀評價主要依靠觀察者的主觀感覺和客觀評價方法。為了改進算法的優越性，本文采用信噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE）兩個指標來檢驗貝葉斯估計去噪算法，其公式為：

式中，n為信號的長度；s(i)為原始信號；x(i)為去噪后的腦電信號。通常情況下信噪比越高去噪效果越好，而均方誤差越低表明去噪后的腦電數據精確度越高，去噪效果越好。

4.2 功率譜估計

經典的功率譜估計需要掌握概率論的先驗方法，而這些先驗知識和方法往往是由人的主觀思維決定的，所以往往會導致頻率低等缺點[10]。現在的功率譜估計方法主要以隨機過程的參數模型為基礎，對加窗函數進行假設，腦電功率譜估計方法大致分為以下幾個步驟：

（1）被估計的隨機過程要選擇一個模型，本文選自回歸模型，即AR模型；

（2）根據觀測數據模型進行白化處理；

（3）根據估計后的參數模型進行功率譜估計。

5 實驗結果及分析

本文的腦電去噪實驗在MATLAB2017a中進行，建立算法的M文件，通過軟件對波恩醫學中心腦電數據進行去噪實驗，腦電去噪用的樣本采樣頻率大致為173.61 Hz，采樣時間為23.6 s，采樣數據點個數為4 096個，為了計算方便，本文截取1 024個點進行分析。如圖2所示為癲癇患者腦電數據圖。從圖中可以看出，癲癇患者的腦電波形持續時間小于70 ms則被稱為棘波，70～200 ms之間常被稱為尖波。

5.1 實驗分析

實驗1：通過第2層、第3層、第4層和第5層進行近似分解，如圖4所示為全局閾值去噪波形圖，小波分解過程中分解層數決定去噪效果，通過圖3和圖4可以看出，全局閾值去噪效果明顯，分解層數越多，去噪效果越好，但是計算量會相應的增大，癲癇患者腦電信號去噪邊緣相對平滑，邊緣丟失了腦電數據信息，且不能很好的保留原始腦電信號特征。

圖3 波恩醫學中心腦電數據圖

圖4 全局閾值去噪

實驗2：小波變換對腦電信號進行高頻和低頻系數分解，并且利用改進的閾值選取方法進行癲癇患者腦電去噪。如圖5所示為改進閾值方法進行腦電信號降噪，該方法不僅抑制了高斯噪聲，相比于全局閾值去噪，改進的閾值方法保留了大部分有用的細節信息，信噪比較高，但是計算量大，不能保留全部的腦電信號。

圖5 改進閾值法

實驗3：采用了自適應閾值選取器，根據腦電信號噪聲強度的不同，在去噪過程中自適應的選取閾值，已達到最優閾值的目的。如圖6所示為自適應閾值去噪方法，該方法有計算量低、運算速度快等特點，且實驗研究表明，此方法優于傳統方法，能較好地提取有用的癲癇患者腦電信號，更好地保留原始信號的細節信息。

圖6 自適應閾值法

針對以上實驗去噪方法存在的不足，本文設計了貝葉斯估計自適應去噪方法，如圖7所示，從圖中可以看出該方法幾乎保留了癲癇患者腦電的高頻部分和低頻部分的所有細節信息，從肉眼可以看出該波形與原始腦電信號的波形相似度較高，光滑性較好，計算量低。

圖7 貝葉斯自適應法

5.2 仿真結果分析

通過實驗的對比可知貝葉斯算法去噪效果明顯優于其他算法，在實驗中也可對SNR和RMSE的值進行測試。從表1中對比SNR和RMSE的值，其中貝葉斯算法的值最高，同時RMSE的值最低，所以從數值和評價指標上表明了貝葉斯算法對腦電去噪效果優于其他算法。

表1 不同的算法去噪效果的SNR和RMSE結果對比

在對腦電進行去噪過程中，可以通過能量比對去噪效果進行評估。從圖8可以得知貝葉斯算法的能量比高于其他算法，表明貝葉斯算法去噪效果最好。

圖8 能量比指標對比

本文分別對不同算法的功率譜進行估計，結果如圖9所示，從圖可以看出全局閾值、改進閾值、自適應閾值的功率譜形狀呈鋸齒形，譜峰點位置不確定，而貝葉斯方法的功率譜更加平坦，去噪性能更好。

圖9 不同算法的功率譜估計

6 結論

本文針對波恩癲癇腦電數據及噪聲模型提出了一種以拉普拉斯為最大后驗概率估計，再對腦電信號進行小波變換，利用貝葉斯算法估計小波變換后的系數，從而達到腦電去噪的目的。從貝葉斯估計算法、全局閾值算法、改進閾值算法和自適應閾值算法對比來看，貝葉斯估計算法取得的信噪比最高，均方根誤差最低，從能量比和功率譜估計來看，貝葉斯算法不僅結構簡單，計算速度快，而且幾乎保留所有的高頻部分和低頻部分的細節信息，沒有對有用的腦電信號頻譜造成傷害，并取得了較大的信噪比增益。有利于未來推動臨床醫學和疾病診斷的研究和預防。